математика. Рождение и первые шаги Московской
 Скачать 180.54 Kb.
|
1 2 2. Предыстория и возникновение Московской теоретико-функциональной школы В предыстории Московской теоретико-функциональной школы надо отметить роль Б . К. Млодзиевского, который на рубеже X I X и XX столетий стал впервые читать в Московском университете лекции о теории множеств и теории функций. В числе его слушателей были и профессора, например, Д. Ф. Егоров, и тогдашние студенты. (Замечу, что русская терминология по теории множеств и теории функций создана Б . К. Млодзиевским.) В 1902 г. к нему присоединился И. И. Жегалкин. В. В. Голубев вспоминает в биографии Н. Н. Лузина *) о своих и его студенческих годах (1902—1906 гг.), когда среди студенческой молодежи х) Н. К. Б а р и и В. В. Г о л у б е в «Николай Николаевич Лузин» (Н. Н. Л у з и н «Интеграл и тригонометрический ряд», М.— Л., Гостехиздат, 1951). МОЛОДОСТЬ МОСКОВСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ 1 5 7 был силен интерес к вопросам теории множеств. Б . К. Млодзиевский уже начал жаловаться, что математическая молодежь слишком долго останав ливается «на основах», и пора уже перейти к «более высоким областям ана лиза»— уравнениям в частных производных, дифференциальной геометрии и т. д. Однако пришлось сначала перейти в теории множеств и теории функ ций от «интереса» к активной научной работе в них. Лишь позже в Москов ском университете началась интенсивная работа в области дифференциаль ных уравнений. Б . К. Млодзиевский дожил до расцвета в МГУ школы теории функций, но не дожил до расцвета более «высоких» областей анализа. В 1907 г. состоялась в университете защита диссертации И. И. Жегал- кина «Трансфинитные числа». Она была, очевидно, первой книгой по теории множеств на русском языке. Помню, мне в мои школьные годы, когда я имел лишь поверхностные знания элементов анализа, попалась книга Жегалкина, и я по ней ознако мился с основами теории множеств. Какое потрясающее впечатление про извела тогда эта первая встреча с ней, гигантское шествие алефов и транс- финитов! Теперь, когда основы теории множеств вошли в университетские учебники, когда они превратились в часть обязательной программы, сдавае мой на экзаменах, они потеряли, по всей вероятности, значительную часть своей романтической увлекательности. Первой значительной работой в Москве по теории функций и действи тельного переменного была теорема Егорова,— вошедшая в учебную лите ратуру,— о том, что любой сходящийся функциональный ряд путем отбра сывания множества сколь угодно малой меры превращается в равномерно сходящийся ряд. Учениками Д. Ф. Егорова были представители старшего поколения Московской школы теории функций и действительного перемен ного: Н. Н. Лузин, В. В. Голубев, И. И. Привалов, В. В. Степанов. С 1912 г. стали выходить из печати работы Н. Н. Лузина по теории функций, которые потом были объединены в его диссертационную работу «Интеграл и тригонометрический ряд», защищавшуюся им в 1915 г, на сте пень магистра. В виде исключения, Н. Н. Лузину была сразу присуждена степень доктора наук. Приведем некоторые из результатов, вошедших в эту диссертацию: так называемые «С-свойства» измеримых функций — каждую такую функцию можно сделать непрерывной, изменив ее значение на множество сколь угодно малой меры, теорема о существовании у каждой измеримой почти всюду конечной функции f (х) примитивных F (х), для которых почти всюду F' (х) = — / (х) (заметим, что если функция / (х) разрывна, то можно лишь говорить об этом равенстве почти всюду); при этом оказывается, что существует целый класс примитивных у каждой такой функции, отличающихся не на констан ту. Лузин ставит задачу выделения среди этого множества примитивных той, которая «наиболее тесно» связана с данной функцией и которую естественно считать ее неопределенным интегралом. Для суммируемых функций (интегри руемых по Лебегу) неопределенный интеграл Лебега выделяется среди прими тивных как кривая наименьшей длины; дается характеристическое определение 158 Л . А. Л Ю С Т Е Р Н И К я для интеграла Данжуа. Среди результатов по теории тригонометрических рядов укажем на следующий, например: если тригонометрический ряд схо дится абсолютно для двух несоизмеримых значений х = а, |3, то он или схо дится почти всюду или расходится почти всюду. В 1914 г. Лузин начал работать в университете в качестве доцента, а в 1916 г.— в качестве профессора. В 1914—1916 гг. вокруг него сформи ровался активный научный коллектив, куда вошли его младшие товарищи: И. И. Привалов и В. В. Степанов и тогдашние студенты Д. Е. Меньшов, А. Я . Хинчин, В. С. Федоров,М. Я . Суслин, П. С. Александров, В. И. Вениа минов и др. В позднейшей литературе по истории московской математики эту группу математиков называют «первым поколением Лузитании». Первые работы этой группы математиков относились к метрической теории функций (работы Д. Е. Меньшова о единственности тригонометрических рядов и А. Я . Хинчина по теории интеграла Данжуа) и ее применениям к теории аналитических функций. В 1917 г. к этой группе присоединился студент П. С. Урысон. В 1915—1916 гг. впервые начал работать под руководством Н. Н. Лузи на семинар по дескриптивной теории функций, сыгравший важную роль в развитии московской математики. Участник семинара студент П. С. Алек сандров, решая поставленную Лузиным задачу, доказал, что всякое несчет ное В-множество содержит совершенное ядро и, следовательно, имеет мощ ность — континуум. При этом он употребил особую конструкцию, позволяю щую получать все 5-множества. Другой студент — участник этого семинара — М. Я . Суслин показал, что эта конструкция дает гораздо более широкий класс множеств, чем Б-множества, названный им классом А-множеств. Суслин доказал ряд основных свойств теории А -множеств: существование совершенного ядра и, следовательно, континуальную мощность. Лузин показал, что всякое А-множество есть множество значений некоторой функ ции— предела для непрерывных. Таким образом, существовавшее мнение, что операции анализа приводят лишь к 2?-множествам и Б-функциям, было опровергнуто; границы анализа оказались шире. М. Я . Суслин (1894—1919) родился в крестьянской семье в Калужской губернии. В 1913—1917 гг. он был студентом Московского университета; в 1917 г. оставлен в университете. В 1919 г. он во время поездки на родину заболел сыпным тифом и скончался. М. Я . Суслин при жизни успел опубли ковать лишь одну заметку (в Докладах Парижской академии). Но он оставил большой след в истории математики: существует огромная литература по А -множествам (или, как их называют, «суслинским множествам»). Именно здесь московская теория функций вышла за пределы традиционной тема тики французской школы и обрела собственную тематику. Для нас — математиков «второго поколения Лузитании», не заставших М. Я . Суслина в живых, он представлялся легендарной фигурой. В годы мировой войны 1914—1918 гг. в Москве находился польский математик В. Серпинский, интернированный как австрийский подданный, но оставленный в Москве по ходатайству московских математиков. Несколько совместных работ Лузина и Серпинского были опубликованы в 1917— М О Л О Д О С Т Ь М О С К О В С К О Й М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ш К О Л Ы 159 1918 гг. Впоследствии Серпинский воглавлял польскую школу теории множеств. Приведем в заключение выдержку из перечня докладов в Московском математическом обществе (в скобках помечена дата доклада). 1907 1. И. И. Ж е г а л к и н «О трансфинитных числах» (20/111). 2. Н. Н. Л у з и н «О канторианских антиномиях» (1/V). 1911 3. Д. Ф. Е г о р о в «О сходимости последовательностей функций» (25/1). 4. Д. Ф. Е г о р о в «О точках перерыва измеримых функций» (15/III). 1912 5. Студент И. И. П р и в а л о в «О свойствах рядов по ортогональным функциям» (10/XI). 1913 6. И. И. Ж е г а л к и н «Исчисление предложений» (первый доклад по математиче ской логике) (22/Х). 1914 7. Н. Н. Л у з и н «О почленном интегрировании тригонометрических рядов» (10/ХП). •8. Д. Е. М е н ь ш о в «Взаимоотношения определений интеграла Бореля и Данжуа» (10/ХП). 1915 9. Студент А. Я. X и н ч и н «Обобщение теоремы Рисса о последовательностях изме римых функций» (14/1). 10. В. В. С т е п а и о в «О методе Линделефа и теореме Пикара» (17/П). (Этот и предыдущий списки докладов составлены по статье П. С. А л е к с а н д р о в а и О. Н. Г о л о в и н а «Московское математическое общество», УМН 12, вып. 6 (1957), 9—46.) Мы видим, что математическая работа не только не прерывалась, но продолжала развиваться. (Заметим, что работа (8) П. С. Урысона, посвя щенная структуре границы односвязной области, была его первой тополо гической работой.) В 1918—1920 гг. было открыто много вузов и факультетов в разных городах — где условия жизни были лучшими, чем в Москве и Петрограде, и куда переехала на работу значительная часть ученых обеих столиц. Так, В. В. Голубев и И. И. Привалов работали в Саратовском университете, в Трудах которого была опубликована монография Привалова «Интеграл Коши» (1918). Многие ученые Москвы стали работать в Иваново-Вознесенском поли техническом институте, организованном в 1918 г. по инициативе М. В. Фрун зе, который добился создания хороших по тем временам условий жизни и работы для научного персонала института. Среди факультетов института был педагогический с несколькими отделениями, в том числе и математи ческим, В числе организаторов института был профессор строительной меха ники В. М. Келдыш и профессор теоретической механики А. И. Некра сов, который стал деканом машиностроительного факультета института, а затем ректором. Среди математиков были — Н. Н. Лузин, А. Я . Хинчин — декан математического отделения, В. С. Федоров, работающий в Иванове и поныне, Д. Е. Меньшов, В. Н. Депутатов. В. М. Келдыш рассказывал о переговорах с М. Я . Суслиным на предмет его работы в Ивановском инсти туте. Они закончились письмом Суслина, в котором он сообщал о своей болезни, из которой он не надеялся «выкарабкаться»... Ученые, переехавшие в Иваново, получили возможность публиковать свои работы в «Трудах Иваново-Вознесенского политехнического инсти тута». МОЛОДОСТЬ МОСКОВСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ Приведем выдержки из оглавлений первых пяти выпусков этих «Тру дов», выход которых в 1919—1933 гг. несколько компенсировал перерыв в выпуске московских научных журналов; некоторые из приведенных работ докладывались в Москве в математическом обществе; в этом случае в квад ратных скобках ставим дату доклада. 1919 1—2. В. С. Ф е д о р о в «Непрерывность и моногенность» 1 (45—56 и 139—145). 3. Н. Н. Л у з и н «Sur la representation conforme» 2 (72—80). 4. А . И . Н е к р а с о в «О волне Стокса» 2 (81—89) [5.III.18]. 1921 5. А. Я. X и н ч и н «Sur la theorie d'integral de M. Denjoie» 3 (49—51) [15.VI.19]. 6. А. И. Н е к р а с о в «О волнах установившегося вида» 3 (52—65) [17.Х.20]. 1922 7. А. И. Н е к р а с о в «О прерывном движении жидкости вокруг препятствия в форме дуги круга» 5 (3—19) [17.IV.21]. 8. Н. Н. Л у з и н «О существовании аналитических функций, равномерно беско нечных вблизи купюрки» 5 (20—26) [15.V.21]. 9. А. Я. Х и н ч и н «Об одном свойстве непрерывных дробей и его арифметических приложениях» 5 (27—41). 10. А. Я. Х и н ч и н «К вопросу представления числа в виде суммы двух простых чисел» 5 (42—48) [16.11.19]. 11. В. С. Ф е д о р о в «О конформном отображении кругов с разрезами» 5 (49—59) И Успехи матем. наук, т. XXII, вып. 1 2 |