механика Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки. Применение основных теорем динамики к исследованию движения мате. Российской федерации федеральное государственное бюджетное

• Название: Российской федерации федеральное государственное бюджетное
• Анкор: механика Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
• Дата: 04.05.2022
• Размер: 0.79 Mb.
• Имя файла: Применение основных теорем динамики к исследованию движения мате.docx
• Тип: Курсовая; #511894
• страница: 2 из 3

1.4. Теорема о кинетической энергии материальной точки

Кинетической энергией движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы движущейся точки на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия имеет размерность работы и измеряется в системе СИ в Джоулях [Дж].

Теорема:

Изменение кинетической энергии движущейся материальной точки равно работе приложенной к ней силы не пройденном этой точкой пути.

Доказательство:

Пусть материальная точка М массы движется под действием силы по некоторой криволинейной траектории (рис.20.4).

Рис.20.4.

Напишем основное уравнение динамики, выражающее второй закон Ньютона: . Проектируя это векторное равенство на направление скорости , получим:







Где φ – угол между векторами и . Умножая обе части этого равенства на получим:



Или



Правая часть этого равенства представляет собой элементарную работу силы . Следовательно, дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.

Этот результат выражает теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме. Интегрируя, полученное уравнение в соответствующих пределах, получим:



1.5. Понятие о потенциальной энергии

Пусть материальная точка, движущаяся в потенциальном силовом поле, находится в точке М(х,у,z), в которой силовая функция имеет значение U,и пусть точка М⁽⁰⁾(х⁽⁰⁾,у⁽⁰⁾,z⁽⁰⁾) будет какая-либо произвольно выбранная неподвижная (нулевая) точка, в которой силовая функция имеет значение:



Работа, производимая силой поля при перемещении материальной точки из положения М в «нулевую точку» М⁽⁰⁾, называется потенциальной энергией в точке М.



В нулевой точке М⁽⁰⁾ потенциальная энергия равна нулю. За нулевую точку можно принять любую точку поверхности уровня, на которой силовая функция имеет значение .

Пусть материальная точка находится в поле силы тяжести. Примем произвольно взятую горизонтальную плоскость за нулевую и будем считать потенциальную энергию на этой плоскости равной нулю. Потенциальная энергия в точке М, находящейся на высоте над этой нулевой плоскостью равна , где Р – вес данной материальной точки.

Так как величина постоянная, то:

, ,

Отсюда:







Проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам.
1.6. Закон сохранения энергии

Пусть М1 и М2 – два различных положения материальной точки, движущейся в потенциальном силовом поле, и и - соответствующие значения силовой функции в этих точках. Изменение кинетической энергии точки будет равно работе приложенной к ней силы:



Где и - скорости движущейся точки в положениях М1 и М2. Но так как работа А равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях движущейся точки, то



Потенциальная энергия в точках М1 и М2 будет равна:





Откуда:





Подставляя эти значения в уравнение кинетической энергии, получим:



Или



Т.е.



При движении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Этот результат, выражающий закон сохранения механической энергии, представляет собой частный случай общего физического закона сохранения энергии.

3. 
   Практическая часть
   

Дано: ; ; с

Найти: уравнение траектории точки, а также для момента времени t = t₁ (с) определить положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальнее ускорения, радиус кривизны траектории в соответствующей точке

РЕШЕНИЕ:

1. Уравнение траектории.

Определим уравнение траектории точки в координатной форме, исключив время из уравнений движения.

Из первого уравнения

Подставляем найденное выражение во второе уравнение и получаем уравнение траектории

Это уравнение гиперболы.

Положение точки при с:

(см), (см)

2. Скорость точки.

Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси:

,

При с:

(см/с), (см/с)

Модуль скорости:

(см/с)

3. Ускорение точки.

Находим аналогично:

,

При с:

, (см/с²)

Модуль ускорения:

(см/с²)

4. Касательное ускорение.

Используем формулу

При с:

(см/с²)

5. Нормальное ускорение.

(см/с²)

6. Радиус кривизны траектории.

(см)

Координаты, см		Скорость, см/с			Ускорение, см/с2					Радиус кривизны, см
x	y	vx	vy	v	ax	ay	aτ	an	a
-6	-0,67	-2	0,222	2,012	0	-0,148	-0,016	0,147	0,148	27,54

Задача 2 «Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях»

Движение груза 1 должно описываться уравнением ,

где время (с), c0, с1, с2, -некоторые постоянные.

В начальный момент времени (t=0) положение груза определяется координатой , и он имеет скорость . Учесть, что в момент времени координата груза равна .

Определить коэффициенты С0,С1,С2, при которых осуществляется требуемое движения груза 1. Определить также момент времени t=t1 скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схема см. (Приложение А, Рисунок 3):

Дано:

, , , ,

Найти уравнения движения груза, а также скорости и ускорения груза и точки М в момент времени .

Решение:

V, см/с	рад/с		,см/с
37	3,7	3,4	55,5	205,35	51	211,58

Дано: Точка М движется относительно тела D. Уравнение относительного движения т. М: (см). Уравнение движения тела (рад). t=2/3 с; =30^о.

Найти: Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т.М.

РЕШЕНИЕ:

П оложение т.М на теле D определяется расстоянием .

При t=2/3с

=15,1 (см).

Абсолютную скорость т.М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:



Относительная скорость



При =2/3с

= 22(см/с) – вектор направлен в сторону отрицательных значений .

Модуль относительной скорости =22 см/с.

М одуль переносной скорости ,

где R - радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой совпадает в данный момент т.М

(см);