Руководитель проекта А. Н. Надольский 2021 г. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Теоретические основы радиоэлектроники Тема Расчет спектральных характеристик радиотехнических сигналов Проверил

• Название: Руководитель проекта А. Н. Надольский 2021 г. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Теоретические основы радиоэлектроники Тема Расчет спектральных характеристик радиотехнических сигналов Проверил
• Дата: 13.05.2023
• Размер: 450.04 Kb.
• Имя файла: Kursovaya (1).docx
• Тип: Пояснительная записка; #1127106
• страница: 2 из 3

1.2.3  Модулированные  колебания 

Модулированные сигналы – это гармонические колебания высокой частоты, один или несколько параметров которых изменяются по закону несущего колебания. Такие сигналы называют ещё радиосигналами.

Амплитудная модуляция:

s(t) = U(t)cos( ) 

Угловая модуляция:

s(t) = Ucos( ) 

Рисунок 1.6 Модулированное колебание Также в радиоэлектронике часто пользуются такими сигналами как: - дельта-функция - функция единичного скачка (функция Хевисайда). 1.2.4 Дельта-функция Дельта-функция – это математическая модель не существующего сигнала, который имеет бесконечную по величине амплитуду и нулевую длительность (рис. 1.7). Рисунок 1.7 – Дельта функция

Свойства δ- функции:

1. Площадь сигнала, описываемого δ- функцией, равна 1, т.е.

2. Селектирующее свойство: , где f(t)- произвольная функция.

δ- функция относится к числу испытательных сигналов, т.к. реакция устройства на сигнал, описывающий δ- функцию, есть импульсная характеристика устройства.

1.2.5 Функция единичного скачка Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс резкого перехода физического устройства из одного состояния в другое. На рис 1.8 приведен график этой функции.     Рисунок 1.8 – Функция единичного скачка 1.2.6Основные характеристики сигналов Для сигнала, существующего в интервале ,наиболее важными являются следующие характеристики (предполагаем, что сигнал представлен в комплексной форме): 1.Среднее значение сигнала Среднее значение сигнала – это по существу его постоянная составляющая. 2.Мгновенная мощность сигнала 3.Энергия сигнала 4.Средняя мощность сигнала Для периодического сигнала ,энергия которого равна бесконечности, среднее значение и энергетические характеристики определяются в пределах одного периода: 1.Среднее значение сигнала 2.Мгновенная мощность сигнала 3.Энергия сигнала 4.Средняя мощность сигнала В этом разделе мы рассмотрели классификацию и виды радиотехничес- ких сигналов, также основные характеристики сигналов.

2 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ

СИГНАЛОВ

2.1 Спектральный анализ непериодических сигналов

2.1.1 Спектральные характеристики непериодических сигналов
В радиотехнике в качестве непериодических сигналов рассматривают обычно одиночные импульсные сигналы. Для спектрального анализа таких сигналов используются преобразования Фурье [1]:

; (1.1)
2.1.2 Амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала
Для спектральной плотности сигнала справедливы все свойства комплексных чисел. Выполним некоторые преобразования.

,

- фазовый спектр сигнала;

– амплитудный спектр сигнала;

,

где –действительная часть спектра;

– мнимая часть спектра;

– амплитудный спектр сигнала;

- фазовый спектр сигнала;

Как видно из полученных выражений,

и ,

т.е. действительная часть спектра и амплитудный спектр-функции четные;

и ,

т.е. мнимая часть спектра и фазовый спектр –функции нечетные.

При выражение (1.1.1) приобретает вид.

.

Отсюда можно сделать вывод, что спектральная плотность любого сигнала на нулевой частоте равна площади под кривой графика сигнала.

Учитывая, что амплитудный спектр -функция четная, следовательно можно записать

В тригонометрической форме можно представить также формулу (1.1.2):

,

.

Учитывая, что амплитудный спектр - функция четная, следовательно можно записать:

.
Полученные выражения используются для расчета соответствующих характеристик сигнала.

2.1.3 Спектральная плотность четного и нечетного сигналов

Пусть – четный сигнал, т.е. = ,тогда



.

Следовательно, спектральная плотность четного сигнала содержит только действительную часть, подынтегральная функция которой также четная.

Пусть – нечетный сигнал, т.е. = ,тогда



.

Следовательно, спектральная плотность нечетного сигнала содержит только мнимую часть, подынтегральная функция которой четная.

2.2 Спектральный анализ периодических сигналов

2.2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов

Гармонический спектральный анализ периодических сигналов предполагает разложение сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания , которые сохраняют свою форму в процессе преобразований линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фаза), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.

Ряд Фурье можно представить так



Для того чтобы коэффициенты определялись по одной и той же формуле для и , ряд Фурье принято записывать следующим образом:

(2.1)

где . (2.2)

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1.Периодический сигнал можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих (синусоидальных и косинусоидальных) каждая из которых характеризуется своей амплитудой и частотой. Совокупность этих составляющих называют спектром сигнала, а совокупность их амплитуд – амплитудным спектром сигнала.

2.Составляющая – это “нулевая ” (постоянная) составляющая с частотой , равной 0.

3.Амплитуды составляющих определяются по формулам (2.2).

4.Частоты составляющих дискретны ,т.e. имеют значения , кратные основной частоте - частоте сигнала:0, , , ,… .Таким образом, спектр периодического сигнала является дискретным.

Определение спектров периодических сигналов сводится по существу к нахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается , если учитываются особенности сигналов.

Наиболее часто пользуются, другой более компактной формой записи ряда Фурье, называемой комплексной формой.



2.2.2 Амплитудный и фазовый спектры периодических сигналов

Практическое применение имеет другая форма записи тригонометрического ряда Фурье. Известно, что

,

где и = .

Тогда ряд (2.1) можно записать так:



Таким образом, периодический сигнал любой формы представляется постоянной составляющей и бесконечной совокупностью гармонических составляющих с амплитудами и начальными фазами .

Совокупность составляющих и амплитуд называют амплитудным спектром , а совокупность фаз – фазовым спектром сигнала.

Для комплексного ряда Фурье:



Для комплексной формы - спектр амплитуд и спектр фаз .

2.2.3 Спектры четных и нечетных сигналов

Определение спектров периодических сигналов сводится по существу к нахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается , если учитываются особенности сигналов.

Спектр четных сигналов

Если сигнал четный , то коэффициенты равны 0, т.к. подынтегральная функция является нечетной (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен 0). При этом ряд Фурье содержит только косинусы и постоянную составляющую, т.е.



где коэффициенты равны:



Таким образом, для определения коэффициентов ряда Фурье четных сигналов достаточно иметь сигнал , заданный на половине периода.

Спектр нечетных сигналов

Если сигнал нечетный , то коэффициенты равны 0, т.к. подынтегральная функция является нечетной. При этом ряд Фурье содержит только синусы



где коэффициенты равны



В данном случае также для определения коэффициентов Фурье достаточно иметь сигнал заданный на половине периода.

В этом разделе мы рассмотрели спектральный анализ радиотехнических сигналов. В дальнейшем будем использовать формулы полученные в данном разделе для нахождения спектральных характеристик сигнала заданного в курсовом проекте.

3 СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S( ) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S( ) определить сигнал s(t). Соответствие между сигналом и его спектром принято записывать следующим образом:
s(t)↔ S( ).
С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.

Основные свойства:

1. Линейность:

s₁(t)↔ S₁( )

⁞ ⁞ (3.1)

s_n(t)↔ S_n( )

___________________________



Вывод: прямое преобразование Фурье является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.

2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени:
s(t)↔ S( )

_____________________ (3.2)


Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t₀ приводит к изменению фазового спектра на величину ± t₀. Амплитудный спектр не изменяется.

3. Изменение масштаба во времени:
s(t)↔ S( )

___________________ (3.3)


Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр, т.е. длительность сигнала и ширина спектра находятся в обратной пропорциональности между собой.

4. Спектр производной от сигнала:
s(t)↔ S( )

_____________________ (3.4)

ds(t)/dt↔

Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на . При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты ω, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2.

5. Спектр интеграла от сигнала:
s(t)↔ S( )

______________________ (3.5)



Вывод: спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на . При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты , т.е. амплитудный спектр равен S( )/ , а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная -π/2.

6. Спектр радиоимпульса:
s_в(t)↔ S_в( )

___________________________________________ (3.6)

s_в(t)cos t↔

Вывод: обратим внимание, что спектр видеоимпульса отображается в области низких частот – низкочастотный сигнал, а спектр радиоимпульса – высоких частот – высокочастотный сигнал.

7. Спектр произведения двух сигналов:
s₁(t)↔ S₁( )

s₂(t)↔ S₂( )

_____________________________ (3.7)

s₁(t)s₂(t)↔

Вывод: Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1/(2π).
В данном разделе мы рассмотрели свойства преобразования Фурье. Данные свойства в дальнейшем будут использоваться для расчета спектральных характеристик сигнала , заданным в курсовом проекте.