ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ МОЛЯРНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ
C
P
/C
V
ДЛЯ ВОЗДУХА
Ознакомьтесь с теорией в конспекте и учебнике (Савельев И.В., т.1, §68,
§69).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ : экспериментальное определение показателя адиабаты
v
p
C
C /
для воздуха.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:
Адиабатным (адиабатическим) называют термодинамический процесс, происходящий в термодинамической системе без подвода теплоты.
Получим уравнение адиабатного процесса для идеального газа в координатах давление-объем.
Первое начало термодинамики для произвольного термодинамического процесса имеет вид
A
dU
Q
(1)
Здесь
Q
- бесконечно малое количество теплоты, подводимое к термодинамической системе;
dU
- бесконечно малое изменение внутренней энергии системы;
A
- бесконечно малая работа, совершаемая термодинамической системой в результате данного процесса. Для адиабатного процесса соотношение (1) имеет вид
0
A
dU
(2)
Для идеального газа имеем:
dT
C
dU
v
(3)
pdV
A
(4)
Здесь
- количество вещества;
v
C
- молярная теплоемкость при постоянном объеме; p - давление; dT и dV - бесконечно малые изменения температуры и объема, соответственно. Подставляя (3), (4) в (2), получим
0
pdV
dT
C
v
(5)
Идеальный газ подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона:
RT
pV
Дифференцируя его, найдем связь между дифференциалами dP, dV и dT:
RdT
Vdp
pdV
(6)
Из (4. 6) пол учим
R
Vdp
pdV
dT
(7)
Подставляя (7) в (5), получим дифференциальное уравнение, связывающее объем и давление идеального газа в адиабатном процессе:
Страница 67 0
)
(
Vdp
C
dV
p
R
C
v
v
(8)
Учитывая, что
p
v
C
R
C
- молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении, из (8) получим
0
p
dp
V
dV
C
C
v
p
(9).
Известно, что для идеального газа молярные теплоемкости C
p
и C
v
зависят только от числа i степеней свободы молекулы:
R
i
v
C
R
i
p
C
2
;
2 2
Следовательно, показатель
V
P
C
C
y
- постоянная для данного газа величина. В этом случае решение дифференциального уравнения (9) имеет вид
const
pV
(11)
Уравнение (11) называют уравнением адиабаты
(уравнением Пуассона), а показатель
- показателем адиабаты (показателем Пуассона). Если считать воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре идеальным газом, состоящим, в основном, из жестких двухатомных молекул (i= 5), то теоретическое значение показателя адиабаты для воздуха
4
,
1 2
i
i
(12)
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
И ПРОГРАММЫ
Основными частями экспериментальной установки (см. рис. 1а) являются баллон Б, наполненный воздухом; жидкостный (водяной) манометр М и компрессор (подключён к баллону, на рисунке 1а не показан, на рис.1 б - насос). Клапан 1 ( К1) соединяет баллон с атмосферой. Поперечное сечение
Клапана 1 велико. При его открывании процесс установления атмосферного давления в баллоне происходит достаточно быстро. Это быстрое изменение давления происходит практически без теплообмена с окружающей средой, и процесс, происходящий с воздухом в баллоне при открыванииКлапана 1 можно считать адиабатным. С помощью Клапана 2(К2) баллон может быть соединен с компрессором, накачивающим воздух в баллон.
Страница 68
Рис. .1 б) Главное окно программы - модельная установка
ВЫВОД РАСЧЁТНЫХ ФОРМУЛ
Пусть с помощью компрессора накачали воздух, затем закрыли
Клапан 1.Воздух в баллоне немного нагреется при сжатии, но через несколько минут температура воздуха в баллоне станет равной температуре Т
0
воздуха в лаборатории. Давление p
1
воздуха в баллоне при этом будет равно
p
1
=p
0
+p’ , (13) где р
0
– атмосферное давление; р' -избыточное давление воздуха, которое можно определить по показаниям манометра.
Рассмотрим некоторое количество воздуха в баллоне вдали от клапана, занимающее объем V
1
. Если открыть на короткое время Клапан 1, то часть воздуха выйдет из баллона, давление станет равным атмосферному, а рассмотренное количество газа увеличит свой объем от V
1
до V
2
(процесс
a
1
на рис. 2.). Температура в баллоне понизится, так как при вытекании из баллона воздух совершает положительную работу против окружающей атмосферы за счет уменьшения своей внутренней энергии.
Считая процесс
a
1
адиабатным, из (4. 1 ) получим
2 0
1 1
V
p
V
p
(14)
Страница 69
Рис. 2. Графическое изображение основных процессов в координатах
давление-объем
После закрывания Клапана 1 происходит изохорное нагревание содержимого баллона до температуры Т
0
окружающей среды (процесс
2
a
). При этом давление увеличивается на величину р" по сравнению с атмосферным, и становится равным p
2
=p
0
+ р"
(15)
В состояниях 1 и 2 температура газа одинакова, поэтому для них применим закон Бойля-Мариотта:
(16)
Исключив из системы уравнений (14), (16) отношение объемов
1 2
V
V
, получим
2 1
0 1
p
p
p
p
(17)
Прологарифмировав это соотношение, и использовав соотношения (13) и
(15), найдем выражение для
:
Избыточное давление р' и р" значительно меньше атмосферного, т.е. под логарифмами в уравнении (17) стоят величины, близкие к единице.
При x<<1 имеем
x
x
)
1
ln(
. Пренебрегая значением p’’, малым по сравнению с p
0
, заменяем p
0
+p
’’
на р
0
в знаменателе нижней дроби. В результате получим:
'
'
'
'
p
p
p
(18)
2 2
1 1
V
p
V
p
))
(
)
(
1
ln(
)
1
ln(
)
ln(
)
ln(
'
'
0
'
'
'
0
'
2 1
0 1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Страница 70
В формулу (18) значения избыточного давления можно подставлять в любых одинаковых единицах. В этой работе удобнее всего выражать р' и р’’ в сантиметрах водяного столба, тогда р' (см вод. ст.) = h'лев (с.м)- h'пр (см) , р"(см вод. ст.) = h''лев(с.м)- h''пр (см).
(19)
Здесь h'лев и h'пр - отсчеты уровней в левой и правой трубках манометра при измерении р'. Величины h''лев и h''пр определяются аналогично при измерении р". Чтобы определить р", необходимо закрыть Клапан 1 точно в момент окончания адиабатического процесса. Трудность состоит в том, что адиабатический процесс занимает малые доли секунды, и момент его окончания неизвестен. Поэтому р" определяется следующим косвенным методом. При одинаковом начальном давлении р', но разной длительности t
открытия Клапана 1 измеряют конечное давление
(t)
"
p
. Закономерности теплообмена между газом и окружающей средой таковы, что зависимость
(t)
"
p
можно приближенно описать экспоненциальной функцией вида
, где
- длительность адиабатного процесса,
- постоянный коэффициент, характеризующий скорость теплообмена. Пренебрегая
по сравнению с
t, и логарифмируя обе части (2.20), получаем
t
"
ln
(t)
"
ln
p
p
Рис. 3. Зависимость логарифма давления от времени
Поскольку
(t)
"
ln p
линейно зависит от времени, и при t→0 стремится к "
ln p
, то точка пересечения экспериментально найденного линейного графика с вертикальной линией при t=0 позволяет найти "
ln p
и определить "
p
(рис. 3).
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
1). Часть условий проведения опыта (температура T
0
, давление р
0
) заносятся в отчёт автоматически. Приборными погрешностями секундомера (
)
- t
exp(
"
(t)
"
p
p
Страница 71
t) пренебрегаем, так как процессы достаточно медленные. Приборные погрешности уровней жидкости (
h) в трубках манометра следует занести в отчёт самостоятельно.
2) Приведите клапаны в начальное состояние:
Клапан 1, соединяющий баллон с атмосферой – закрыт.
Клапан 2, соединяющий баллон с компрессором – закрыт.
Клапан 3, соединяющий баллон с манометром - открыт.
Клапан можно закрыть или открыть, щелкнув по нему ”мышью”.
3) Включите электропитание компрессора, щелкнув” мышью” по кнопке
«сеть» на лицевой панели насоса.
4) Откройте Клапан 2 , соединяющий баллон с компрессором, и наблюдайте за ростом давления в баллоне по водяному манометру.
Накачивайте воздух в баллон до такого начального давления, при котором разница уровней в правой и левой трубках манометра h'пр - h'лев =(60 70)см.
5) Закройте Клапан 2, затем выключите насос. Учтите, что при выключенном насосе и открытом Клапане 2 давление в баллоне медленно падает за счет утечки воздуха через насос.
6) Дождитесь, когда температура в баллоне сравняется с температурой в лаборатории. Давление при этом уменьшится, но оно должно остаться выше желаемого значения р'. Если это не так - подкачайте еще немного воздуха в баллон.
7) Чтобы уменьшить давление до желательного достаточно точного значения, откройте Клапан 2. Давление станет медленно падать из-за утечки воздуха через насос. Внимательно смотрите на манометр, и закройте Клапан
2 как только давление опустится до нужной величины. Занесите показания манометра в поле ввода
h
1
под окном с установкой.
8) Откройте Клапан 1 и закройте его через требуемое время.
Рекомендуемые значения t: 2 сек; 4 сек; 6 сек; 8 сек; 10 сек. Прошедшее время отображается на секундомере. Занесите реальное время t, в течение которого был открыт клапан, в соответствующее поле ввода.
9) Дождитесь, когда температура в баллоне сравняется с температурой в лаборатории. Занесите показания манометра
h
2 в соответствующее поле ввода и нажмите кнопку "Добавить в отчет".
10) Откройте Клапан 1.
Повторите эксперимент не менее 5 раз при одном и том же уровне начального давления и различных временах t.
После этого откройте форму отчета, выбрав пункт "Отчет" основного меню программы, заполните форму и закройте ее. Сохраните отчет, выбрав пункт "Файл | Сохранить отчет" основного меню.
Внимание! Накачивать воздух в баллон следует медленно, чтобы избежать значительного повышения температуры. Кроме того, надо следить, чтобы нижний уровень жидкости не достиг красной риски – при достижении этого давления автоматически сбрасывается предохранительный клапан.
Страница 72
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАСЧЕТОВ
1. По полученным данным методом наименьших квадратов автоматически проводится прямая
(t)
"
ln p
= a t + b и вычисляются её параметры a и b.
2. По этим параметрам найти наиболее вероятное значение ln p" (см. рис. 3.) и вычислить по нему р" .
3. Найти отношение р" к р' (Как найти p' по полученным данным? )
4. Вычислить
по формуле (18). Непосредственно в пунктах ввода можно пользоваться выражениями типа exp(2.86) или 60/(60- 17.46)
5. Вычислить погрешность нахождения р' по формуле
h
p
2
'
(21)
Почему используется такая формула для погрешности?
6. По погрешностям коэффициентов при проведении графика оценить погрешность
(ln р") и вычислить погрешность р" по формуле
р"= р"
(ln р").
(22)
7. Найти относительную и абсолютную погрешности нахождения
:
2 2
''
''
'
'
''
'
''
p
p
p
p
p
p
p
,
8. Выписать доверительные интервалы для экспериментальных значений р', р" и
.
9. Проверить, попадает ли теоретическое значение
(12) в найденный доверительный интервал.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. В каких единицах измеряются в системе СИ давление, объем, температура, молярные теплоемкости?
2. Что такое молярные теплоемкости С
р
и С
v
?
3. Чем молярная теплоемкость отличается от удельной, удельная – от полной?
4. Что такое адиабатный процесс?
5. Что такое закон Бойля-Мариотта, какой процесс он описывает?
6. Изобразите и координатах p - V изохорное охлаждение, изобарное нагревание, изотермическое и адиабатическое расширение, начинающиеся из одного начального состояния.
7. Как найти бесконечно малое изменение внутренней энергии и бесконечно малую работу, совершаемую идеальным газом в некотором термодинамическом процессе?
8. Как связаны молярные теплоемкости С
р
и С
v
, с числом степеней свободы молекулы i? Каково теоретическое значение
?
9. Что такое уравнение Пуассона?
10. Как изменяется давление некоторого количества воздуха при адиабатном увеличении его объема в два раза?
Страница 73 11. Какие физические законы и определения использованы при выводе уравнения адиабатного процесса?
12. Какие предположения были сделаны при выводе формулы (18), с какой точностью они выполнены?
13. Каково отношение
0
'
p
p
?
14. Из каких элементов состоит лабораторная установка?
15. Что такое внутренняя энергия идеального газа, как она ведет себя в адиабатическом процессе 1
а ?
16. Из какого графика в данной работе находится второе избыточное давление р" и почему?
17. Какие процессы происходят с газом в используемой установке при открытом Клапане 1,если клапан держать открытым 10 секунд?
18. Изобразите в координатах давление-объем все происходящее с некоторым количеством воздуха в баллоне при проведении лабораторной работы.
19. Как теплообмен в процессе «адиабатного» расширения влияет на график 1
а (см. рис. 2.) и на окончательный результат работы?
20. Какая кинетическая энергия приходится на одну степень свободы молекулы в тепловом равновесии при температуре T?
21. Докажите, что для одного моля газа С
р
–С
v
= R.
22. Из каких основных компонентов состоит сухой воздух?
Страница 74
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: «Наука», 1982.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: «Наука», 1978.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3. М.: «Наука», 1979.
4. Тихомиров Ю.В. Лабораторные работы. По курсу физики с компьютерными моделями. Москва, 2002.
5. Монахов В.В., Кожедуб А.В. Кафедра вычислительной математики СПбГУ,
2002.
Страница 75
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Название
Сим- вол
Значение
Размерность
Гравитационная постоянная
или G
6.67 10
-11
Н м
2
/кг
2
Ускорение свободного падения на поверхности Земли g
0 9.8 м с
-2
Скорость света в вакууме c
3 10 8
м с
-1
Постоянная Авогадро
N
A
6.02 10 26
кмоль
-1
Универсальная газовая постоянная
R
8.31 10 3
Дж кмоль
-1
К
-1
Постоянная Больцмана k
1.38 10
-23
Дж К
-1
Элементарный заряд e
1.6 10
-19
Кл
Масса электрона m
e
9.11 10
-31
кг
Постоянная Фарадея
F
9.65 10 4
Кл моль
-1
Электрическая постоянная
о
8.85 10
-12
Ф м
-1
Магнитная постоянная
о
4 10
-7
Гн м
-1
Постоянная Планка h
6.62 10
-34
Дж с
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРИСТАВКИ И МНОЖИТЕЛИ для образования десятичных кратных и дольных единиц
Приставка
Символ
Множи- тель
Приставка
Символ Множи- тель дека да
10 1
деци д
10
-1
гекто г
10 2
санти с
10
-2
кило к
10 3
милли м
10
-3
мега
М
10 6
микро мк
10
-6
гига
Г
10 9
нано н
10
-9
тера
Т
10 12
пико п
10
-12
Страница 76 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ3 1.МЕХАНИКА6 1.1. Лабораторная работа. Механические колебания 6 2. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. ОПТИКА14 2.1. Лабораторная работа. Движение заряженной частицы в электрическом поле 14 2.2. Лабораторная работа. Электрическое поле точечных зарядов 18 2.3. Лабораторная работа. Законы постоянного тока 23 2.4. Лабораторная работа. ЭДС и внутреннее сопротивление источников постоянного тока. Закон Ома для полной цепи 28 2.5. Лабораторная работа. Магнитное поле 32 2.6. Лабораторная работа. Электромагнитная индукция 38 2.7. Лабораторная работа. Явление резонанса в цепи переменного тока 42 2.8. Лабораторная работа. Дифракция и интерференция 45 2.9. Лабораторная работа. Дифракционная решетка 49 3. КВАНТОВАЯ ОПТИКА. АТОМНАЯ ФИЗИКА 53 3.1. Лабораторная работа. Внешний фотоэффект53 3.2. Лабораторная работа. Спектр излучения атомарного водорода 57 4. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 62 4.1. Лабораторная работа. Распределение Максвелла 62 4.2. Лабораторная работа. Определение отношения молярных теплоемкостей C p /C v для воздуха 66 ЛИТЕРАТУРА 74 ПРИЛОЖЕНИЯ 75 ОГЛАВЛЕНИЕ 76 |
Скачать 0.99 Mb.