Вариант 8. Руководство торгового предприятия изучает статистические данные об объемах продаж холодильников П
![]()
|
Вариант 8 Задача 1. Руководство торгового предприятия изучает статистические данные об объемах продаж холодильников (П1, П2…, шт.) в зависимости от их цены (Ц1, Ц2…, тыс.руб.). Требуется выполнить следующие действия. Представить полученные данные на координатной плоскости в виде поля корреляции. Вычислить коэффициент корреляции между рядами данных по ценам и объемам продаж и сделать вывод. Вычислить коэффициенты линейной парной регрессии, представляющей зависимость объема продаж от цены. Построить график регрессии на поле корреляции. Вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации и сделать вывод. Вычислить коэффициент детерминации и сделать вывод. Дать точечный прогноз объема продаж по цене, сниженной на 10% от минимальной цены. Сопоставить доход, который дает продажа по минимальной цене, и прогноз дохода по сниженной цене. Сделать вывод о целесообразности снижения цены. С использованием F-критерия Фишера провести анализ статистической значимости уравнения регрессии при уровне значимости 5%. Дать интервальный прогноз объема продаж по цене, составляющей 105% от максимальной цены, с доверительной вероятностью 0,90. Таблица 1 Исходные данные
Теоретическое значение F-статистики (Fтеор) для указанных исходных данных равно 10,128. Теоретическое значение t-статистики (tтеор) для указанных исходных данных равно 2,353. Решение Построим поле корреляции (рис.1).
Рисунок 1 Поле корреляции Для расчета параметров уравнения линейной регрессии построим расчетную таблицу (Таблица 2). Таблица 2 Расчетная таблица
Коэффициенты уравнения регрессии определим по формулам (1.1), (1.2): ![]() ![]() Используя данные расчетной таблицы (Таблица 2), получим значение коэффициентов a, b уравнения регрессии: ![]() ![]() Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: ![]() Экономический анализ решения регрессии показывает, что с уменьшением объёма продаж на 1 шт., цена товара увеличивается в среднем на 10,79%-ных пунктов. Тесноту линейной связи между изучаемыми показателями оценит коэффициент корреляции rxy и детерминации R2. Для расчета rxy и R2 вычислим дисперсии факторов х, у по формулам (1.3), (1.4), (1.5): Величина дисперсии факторов x,y для наших данных:
Коэффициент корреляции rxy устанавливает количественную меру тесноты связи и формирует качественную характеристику силы связи: ![]() Коэффициент корреляции ![]() Найдем коэффициент детерминации: ![]() Экономический смысл этого означает, что 86,06% вариации объема продаж (y) объясняется вариацией фактора цены на холодильники (х). Вычислим значения ![]() Таблица 3 Значения ![]()
Найдем среднюю ошибку аппроксимации, которая определяет качество полученной модели. Для расчета используются формулы (1.7), (1.8): Например, для первой строки данных таблицы имеем: ![]() Аналогично найдем значения ![]() ![]() ![]() ![]() Качество построенной модели оценивается как неудовлетворительное, так как фактическое значение ![]() Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия вычисляется по формуле (1.9). Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным значением Fтабл(a ; k1; k2) при уровне значимости α и степенях свободы k1= m и k2= n - m -1. При этом, если фактическое значение F – критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом. Табличное значение критерия при ![]() ![]() Сравниваем полученное значение с табличным: Fфакт=18,52> Fтабл= 10,128. Так как, полученное (фактическое) значение больше табличного, то уравнение регрессии признается статистически значимым и может использоваться для прогноза премиального фонда. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t -статистики Стьюдента. Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n - 2 = = 5 - 2 = 3 и уровня значимости a = 0,05 составит tтабл= 2,353. Определим случайные ошибки параметров ma, mb и коэффициента корреляции ![]() Предварительно найдем выборочную остаточную дисперсию ![]() ![]() ![]()
Расчеты фактической t-статистики Стьюдента приведены ниже:
Сравниваем полученные значения с табличным значением. В результате имеем: ![]() ![]() ![]() Из полученных расчетов видно, что фактическое значение t-статистики параметров а, bиrxy превосходят табличное, а следовательно, онине случайно отличаются от нуля и статистически значимы. Найдем прогнозное значение объема продаж по цене, сниженной на 10% от минимальной цены при х = 13,18. По уравнению регрессии находим: ![]() Доход, полученный по минимальной цене (Дпр), сниженной на 10% (при х=13,18), равен: Дпр = 13,18 * 195 = 2570,1 т.р. Доход, полученный при исходном значении х=14,64 (Д), равен: Д = 14,64 * 209 = 3053,76 т.р. Поскольку Дпр < Д, можно сделать вывод, что снижение цены нецелесообразно. Найдем прогнозное значение объема продаж по цене, составляющей 105% от максимальной цены, при х = 32,35. По уравнению регрессии находим y(32,35) = 337,71 - 10,79 * 32,35 = -11 шт. Определим доверительный интервал для данного индивидуального прогноза по формуле 1.13: ![]() Тогда доверительный интервал рассчитаем по формуле 1.14: ![]() Построим в поле корреляции полученное уравнение линейной регрессии (рис.2).
Рисунок 2 График регрессии на корреляционном поле Как видно, на графике большинство точек поля корреляции расположены вдоль расчетной теоретической прямой y = 337,71 - 10,79*x, следовательно, полученное нами уравнение регрессии может использоваться для рассмотрения определенных вопросов, относящихся к исследуемому процессу. Задача 2. Исследовалось влияние индивидуальных качеств (особенностей, заслуг) продавцов на объем выручки магазина. Определить, влияют ли индивидуальные качества продавцов на объем выручки магазина? Данные, полученные в ходе исследования, представлены в таблице 4. Таблица 4 Данные исследования
По имеющимся данным ![]() Например, для первого продавца: ![]() Аналогично находим для второго и третьего продавцов: ![]() Найдем общее число опытов по формуле (1.16). Имеем: ![]() Среднее значение переменной Y по всем значениям находим по формуле (1.17) ![]() Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 5 ( n– число наблюдений, m– число параметров при переменной x). Таблица 5 Схема дисперсионного анализа
Данные, необходимых для решения данной задачи, сведем в таблице 5. Таблица 5 Данные для расчета
Количество уровней фактора m=3. Число измерений на каждом уровне равно: 6,5,5. Вычислим общую среднюю: ![]() Для расчета Sобщ составим таблицу 6 квадратов: Таблица 6 Квадраты отклонений
Найдем Sобщ сумму квадратов отклонений: ![]() Найдем Sфакт: ![]() Найдем Sост: ![]() Определим факторную дисперсию: ![]() и остаточную дисперсию: ![]() Сведем полученные показатели в общую таблицу 7: Таблица 7 Сводные показатели дисперсионного анализа
Критическое значение находим по таблицам квантилей F – распределение при уровне значимости ![]() ![]() ![]() Заметим, что ![]() Так как ![]() |