Лаб.практикум по инф-ке_МУ. С. Л. Миньков лабораторный практикум по информатике

• Название: С. Л. Миньков лабораторный практикум по информатике
• Дата: 22.05.2022
• Размер: 4.64 Mb.
• Имя файла: Лаб.практикум по инф-ке_МУ.pdf
• Тип: Практикум; #542916
• страница: 3 из 10

Раздел 2. Численное решение уравнений
Цель раздела:освоить приемы решения нелинейных урав- нений, систем линейных и нелинейных уравнений в среде Excel, познакомиться с возможностями сервисных программ Подбор
параметра и Поиск решения.
С помощью Excel можно решать разнообразные математи- ческие задачи, возникающие при реализации методов экономико- математического моделирования (и не только). Например, балан- совая модель производства и потребления совокупного обще- ственного продукта представляет собой замкнутую систему ли- нейных алгебраических уравнений, финансовое моделирование сводится к решению нелинейных уравнений, реализация методов экстраполяции на основе кривых роста приводит к решению си- стем линейных и нелинейных уравнений и т. п. [5].
2.1 Решение полиномов
Для полиномов
1 1
1 0
( )
n
n
n
n
n
P x
a x
a
x
a x
a







модули всех действительных корней
,
1
k
x k
n

расположены в диапа- зонах
k
A
x
B


,
(2.1) где
1 1
0 1
;
max{
,
,
,
}
1
n
n
A
a
a
a
a



1 2
0
max{
,
,
,
}
1
n
n
n
a
a
a
B
a


 
Следовательно, все действительные положительные корни лежат в интервале [ , ],
A B а все действительные отрицательные корни — в интервале [
,
].
B
A
 
Задание 2.1. Корни полинома
Найти корни полинома с заданной точностью

Предлагается следующий алгоритм.

42 1. В диалоговом окне Параметры Excel задать относитель- ную погрешность вычислений корней

= 0,00001: Файл | Пара-
метры | Формулы | Относительная погрешность.
2. Определить
A
и
B
по формуле (2.1), разместив предва- рительно на листе Excel таблицу коэффициентов выбранного по- линома (табл. 2.1).
3. Составить таблицу
{ , ( )},
x P x
табулируя полином в най- денных интервалах, например с шагом


10
h
B
A


(см. п. 1.7.2 лабораторной работы 1).
Таблица 2.1
Вариант
Уравнение
Вариант
Уравнение
1 0
28 2
11 6
2 3
4





x
x
x
x
11 0
5 8
3 2
3 4




x
x
x
2 0
1 5
9 5
2 3
4





x
x
x
x
12 0
28 2
11 6
2 3
4





x
x
x
x
3 0
2 3
3 2
3 4




x
x
x
13 0
1 5
9 5
2 3
4





x
x
x
x
4 0
6 8
11 2
3 4





x
x
x
x
14 0
2 3
3 2
3 4




x
x
x
5 0
5 16 10 3
4




x
x
x
15 0
6 8
7 2
3 4





x
x
x
x
6 0
3 4
3 2
3 4





x
x
x
x
16 0
5 16 10 2
4




x
x
x
7 0
1 4
4 4
2 3
4





x
x
x
x
17 0
3 4
3 2
3 4





x
x
x
x
8 0
1 10 13 6
2 3
4





x
x
x
x
18 0
1 4
4 4
2 3
4





x
x
x
x
9 0
8 16 4
2 3
4





x
x
x
x
19 0
2 2
3 2
2 3
4





x
x
x
x
10 0
3 11 4
2 3
4





x
x
x
x
20 0
1 10 13 6
2 3
4





x
x
x
x
4. Определить две соседние ячейки столбца
x
, где функция меняет свой знак, и выделить их цветом. Одно из значений, для которого значение функции ближе к нулю, принять за начальное
приближение к корню полинома.
5.Уточнить значение корня с помощью сервисной команды
Подбор параметра (Данные | Анализ «что если» | Подбор па-
раметра) (рис. 2.1). В поле Установить в ячейке ввести адрес ячейки, где вычисляется значение полинома, соответствующее выбранному начальному приближению. В поле Значение ввести
0 (т. е. искомое значение полинома). В поле Изменяя значение
ячейки ввести адрес ячейки, где находится начальное приближе- ние к корню полинома.

43
Рис. 2.1 — Диалоговое окно
Подбор параметра
Примечание. В этой ячейке (D3 на рис. 2.1) должно содер- жаться числовое значение, а не формула, его вычисляющая. Для того чтобы заменить в ячейке формулу на ее числовое значение, необходимо, находясь в этой ячейке, вызвать контекстно- зависимое меню и выбрать Копировать. Затем, находясь в той же ячейке, снова вызвать контекстно-зависимое меню и выбрать
Специальная вставка (рис. 2.2).
В появившемся диалоговом окне отметить Вставить значе-
ния. После этого ячейка готова к использованию в поле Изменяя
значение ячейки диалогового окна Подбор параметра.
Рис. 2.2 — Специальная вставка

44 6. После подбора параметра (нажать ОК) получит значение корня с заданной ранее степенью точности. Процесс повторяется для всех найденных начальных приближений в диапазонах, опре- деляемых формулой (2.1).
2.2 Решение нелинейных уравнений
2.2.1 Решение нелинейного уравнения методом итерации
Пусть дано уравнение
( )
0.
f x

Для нахождения его корней методом итераций уравнение представляют в виде
( )
x
F x

(оче- видно, что это можно сделать не единственным способом) и за- писывают итерационную схему
1
(
)
k
k
x
F x


, (2.2) с помощью которой строится итерационный процесс уточнения корней, начиная с начального значения
0
,
x выбираемого само- стоятельно. Достаточное условие сходимости процесса: в окрест- ности корня
( )
1.
F x


Если процесс расходится (получающиеся приближения уда- ляются друг от друга) или сходится очень медленно, то необхо- димо сменить вид представления
( ).
x
F x

В этом может оказать помощь другой итерационный метод решения нелинейных урав- нений — метод Ньютона. Его итерационная схема имеет вид
1
(
)
(
)
k
k
k
k
f x
x
x
f x




(2.3)
Сравнивая формулы (2.2) и (2.3), замечаем, что в качестве функции F(x
k
) можно взять правую часть из формулы (2.3). В большинстве случаев метод Ньютона сходится быстрее.
Задание 2.2. Метод итерации
Решить нелинейное уравнение методом итераций.
Порядок действий в Excel может быть следующий.
1. Представить данное уравнение в виде
( )
x
F x

, взяв его из табл. 2.2. Задать точность решения

= 0,0001.

45
Таблица 2.2 1
0
)
1
(
)
ln(
3



x
x
11 25
,
0
)
sin(


x
x
2 1
2

x
x
12 2
)
1
,
0 58
,
0
(
tg
x
x


3
x
x
/
1 1


13 0
)
387
,
0
cos(


x
x
4 0
)
cos(


x
x
14 0
1
)
cos(
3



x
x
5 0
1
)
cos(
3



x
x
15 0
)
6 2
/(
7
)
lg(



x
x
6 5
,
0
)
ln(


x
x
16 5
,
0
)
lg(


x
x
7
)
ln(
2
x
x


17 0
)
sin(
4 3


x
x
8 2
/
)
exp(
)
1
(
2
x
x


18 0
)
05
,
1
(
ctg
2


x
x
9 5
,
0
)
exp(
)
2
(


x
x
19 0
2
,
1
)
lg(


x
x
10 0
2 2
,
2


x
x
20 0
4
/
)
(
ctg


x
x
2. Создать таблицу с заголовками столбцов Номер шага,
Очередное приближение к корню, Проверка на точность.
3. В первую ячейку первой строки таблицы занести значение
0, во вторую — начальное приближение.
4. В следующие строки занести соответственно номер оче- редного шага, итерационную формулу, вычисляющую правую часть итерационной схемы, и условную формулу, позволяющую помещать в ячейку текст «Стоп» или «Дальше» в зависимости от выполнения заданной точности решения (см. п. 5 алгоритма).
5. Процесс копирования формулы продолжать до получения необходимой точности: разность двух рядом стоящих приближе- ний по модулю должна быть меньше заданного значения

.
6. После получения решения построить график, иллюстри- рующий процесс сходимости: по оси абсцисс отложить номер шага, по оси ординат — очередное приближение к корню.
7. Ответить на вопрос: любое ли начальное приближение можно задавать в вашем варианте? Определить (примерно) диа- пазон возможных начальных значений, проведя численный экс- перимент.
2.2.2 Решение нелинейного уравнения методом бисекции
Если метод итераций сходится не всегда, то метод бисекции
(или метод деления отрезка пополам, или метод дихотомии) — безусловно сходящийся метод нахождения корней нелинейного

46 уравнения
( )
0,
f x

лишь бы был известен отрезок, на котором расположен один корень уравнения.
Пусть непрерывная функция
( )
f x
меняет знак на концах отрезка
[ , ],
a b
т. е.
( )
( )
0.
f a
f b


Назовем такой отрезок отрез-
ком локализации корня: на нем есть, по крайней мере, один ко- рень. Найдем координату середины этого отрезка
(
) / 2
c
a
b


и рассмотрим два получившихся отрезка [ , ]
a c и
[ , ].
c b
Если
( )
( )
0,
f a
f c


то корень находится на отрезке [ , ],
a c в против- ном случае — на отрезке
[ , ].
c b
Процесс деления пополам все но- вых и новых отрезков локализации корня продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной величины точно- сти решения

Задание 2.3. Метод бисекции
Решить нелинейное уравнение методом бисекции.
Для решения уравнения этим методом в Excel достаточно внести в некоторые ячейки, лежащие в одной строке, формулы, осуществляющие следующие операции:
– вычисление значений левой и правой границ отрезков ло- кализации;
– нахождение середины отрезка;
– вычисление произведения значений функций на левой и правой границах отрезка (для контроля правильности алгорит- ма);
– проверку на точность решения (аналогично предыдущему заданию).
Затем формулы копируются вниз по столбцам до тех пор, пока не будет найден корень с заданной степенью точности, например

= 0,0001.
Данные для решения взять из табл. 2.2, то есть решить одно и то же уравнение двумя способами.
2.3
Решение систем линейных уравнений
Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида

47 11 1 12 2 1
1 21 1 22 2 2
2 1 1 2 2
;
;
;
n n
n n
n
n
nn n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

 




 






 


(2.4) или в матричном виде A
,
X
B


где
A
{
}
ij
a

— матрица коэф- фициентов при неизвестных;
{ }
ij
B
b

— вектор-столбец правых частей уравнений;
{
}
ij
X
x

— вектор-столбец неизвестных.
Ее решение — вектор столбец
*
*
{ }
ij
X
x

в Excel можно найти разными способами, например используя специальные функции для работы с матрицами (Формулы

Математические):
МОБР — вычисление обратной матрицы
1
À ;

МОПРЕД — вычисление определителя матрицы D;
МУМНОЖ — нахождение произведения двух матриц.
Задание 2.4. Метод обратной матрицы
Решение имеет вид
1
A
,
X
B



где
1
A

— матрица, обрат- ная по отношению к матрице
A.
С помощью функции МОБР находится обратная матрица, а затем с помощью функции МУМНОЖ она перемножается с вектором-столбцом правых частей уравнений.
Можно проверить найденное решение умножением матрицы коэффициентов на вектор-столбец решения. Должен получиться вектор-столбец правых частей.
СЛАУ взять из таблицы 2.3.
Примечание. Если функция в качестве ответа должна выда- вать не одно значение, а вектор или матрицу, то перед вводом формулы необходимо выделить область на рабочем листе, куда будет выведен результат вычисления, а после задания исходных данных в поле функции выйти не как обычно, нажатием клавиши
Enter или кнопки ОК, а нажатием клавиш Ctrl + Shift + Enter.

48
Задание 2.5. Метод Крамера
Если определитель

матрицы А, составленной из коэффи- циентов при неизвестных, отличен от нуля, то решение имеет вид
/ ,
1, ..., ,
j
j
x
j
n
  

(2.5) где
j

— определитель вспомогательной матрицы, полученной из матрицы А путем замены ее j-го столбца вектором-столбцом правых частей уравнений В (дополнительный определитель).
Рекомендуется сформировать на листе три вспомогательные матрицы, поочередно заменяя столбцы матрицы из коэффициен- тов столбцами правых частей, затем с помощью функции
МОПРЕД найти главный определитель

и дополнительные определители
j

, а затем по формуле (2.5) вычислить корни
СЛАУ.
Таблица 2.3 — Системы линейных алгебраических уравнений
Вариант
СЛАУ
Вариант
СЛАУ
1 1
,
2 7
,
1 8
,
5 1
,
4
;
7
,
1 8
,
2 7
,
1 5
,
3
;
1
,
2 3
,
1 3
,
3 7
,
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 28
,
1 75
,
0 35
,
2 17
,
1
;
17
,
0 18
,
0 65
,
0 71
,
0
;
08
,
2 63
,
0 71
,
0 34
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 1
,
2 3
,
1 3
,
3 2
,
4
;
1
,
1 8
,
1 4
,
3 1
,
2
;
7
,
0 9
,
1 8
,
2 7
,
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
4 05
,
0 81
,
1 17
,
3 22
,
0
;
11
,
1 12
,
0 11
,
0 11
,
2
;
75
,
0 17
,
0 28
,
0 75
,
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
5 6
,
5 8
,
4 8
,
3 5
,
7
;
1
,
2 1
,
2 1
,
3 9
,
1
;
2
,
0 9
,
1 8
,
2 1
,
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
6 13
,
0 11
,
0 33
,
0 01
,
3
;
00
,
2 11
,
0 75
,
0 13
,
0
;
11
,
0 75
,
0 18
,
0 21
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
7 8
,
5 2
,
1 7
,
5 1
,
4
;
7
,
6 8
,
2 1
,
5 8
,
3
;
8
,
9 8
,
7 6
,
5 1
,
9 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
8 12
,
0 39
,
0 17
,
0 28
,
0
;
11
,
0 77
,
0 18
,
0 75
,
0
;
15
,
0 00
,
2 14
,
0 13
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
9 3
,
3 1
,
1 8
,
1 7
,
2
;
7
,
5 8
,
4 7
,
3 1
,
4
;
8
,
0 8
,
2 1
,
2 3
,
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
10 17
,
0 71
,
0 11
,
2 17
,
0
;
13
,
0 75
,
0 13
,
0 11
,
1
;
00
,
1 15
,
0 14
,
0 01
,
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
11 8
,
7 8
,
3 1
,
2 9
,
2
;
7
,
9 7
,
2 1
,
4 8
,
3
;
1
,
10 7
,
4 8
,
5 6
,
7 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
12 88
,
0 67
,
0 81
,
0 73
,
0
;
62
,
0 43
,
0 54
,
0 24
,
0
;
15
,
2 62
,
0 83
,
0 92
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
13 3
,
4 5
,
1 3
,
2 6
,
1
;
2
,
0 7
,
1 34
,
0 5
,
0
;
5
,
6 7
,
3 5
,
2 2
,
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
14 35
,
0 63
,
0 25
,
1 48
,
0
;
50
,
1 44
,
1 45
,
0 11
,
2
;
46
,
0 17
,
3 87
,
0 24
,
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x

49
Вариант
СЛАУ
Вариант
СЛАУ
15 9
,
1 4
,
7 4
,
2 4
,
3
;
7
,
2 3
,
2 7
,
1 2
,
4
;
3 4
,
3 3
,
2 4
,
5 3
2 1
3 2
1 3
2 1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
16 54
,
0 88
,
0 77
,
0 86
,
0
;
71
,
1 43
,
1 83
,
0 58
,
0
;
23
,
2 2
,
4 83
,
0 64
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
17 6
,
1 3
,
3 5
,
4 5
,
1
;
4
,
0 9
,
1 6
,
3 7
,
2
;
83
,
3 7
,
4 8
,
1 6
,
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
18 64
,
0 52
,
0 23
,
2 84
,
0
;
44
,
0 58
,
0 43
,
1 63
,
0
;
32
,
1 85
,
0 42
,
0 32
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
19 2
,
1 7
,
3 3
,
1 8
,
0
;
4
,
2 7
,
6 6
,
3 4
,
3
;
9
,
1 7
,
1 7
,
2 6
,
5 3
2 1
3 2
1 3
2 1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
20 92
,
0 83
,
0 22
,
1 75
,
0
;
66
,
0 78
,
0 66
,
0 25
,
1
;
58
,
0 38
,
0 24
,
1 73
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
2.4
Решение систем нелинейных уравнений
В общем случае система нелинейных уравнений имеет вид:






1 1
2 2
1 2
1 2
,
,
,
0;
,
,
,
0;
,
,
,
0.
n
n
n
n
f
x x
x
f
x x
x
f
x x
x










(2.6)
Системы нелинейных уравнений в Excel можно решать с помощью средства анализа Поиск решения (Данные | группа
Анализ | Поиск решения).
Если на ленте Данные отсутствует вкладка Анализ, то для ее установки нужно выполнить последовательность действий:
Файл | Параметры | Надстройки | Пакет анализа | Перейти
(рис. 2.3) | ОК.
Составим новую функцию (назовем ее целевой функцией)
1 2
( ,
,
,
),
n
F x x
x
представляющую собой сумму квадратов левых частей уравнений данной системы (2.6):
2 1
2 1
2 1
(
,
,
,
)
(
,
,
,
)
n
n
i
n
i
F x x
x
f
x x
x



(2.7)
Очевидно, переменные
1 2
,
,
,
,
n
x x
x являющиеся решением системы (2.6), с необходимостью и достаточностью являются также решением уравнения:
2 1
2 1
( ,
,
,
)
0
n
i
n
i
f
x x
x



. (2.8)
Окончание табл. 2.3

50
Рис. 2.3 — Установка Поиска решения
Таким образом, найдя с помощью Поиска решения вектор
{
1 2
,
,
,
n
x x
x }, доставляющий целевой функции нулевое значе- ние, мы также получим решение системы нелинейных уравнений
(2.6).
Задание 2.6. Метод целевой функции
Найти все корни системы нелинейных уравнений, взяв дан- ные из таблицы 2.4. Проверить найденное решение.
Построить поверхность, описываемую функцией F(x, y) в окрестности всех найденных корней, пользуясь описанием, приведенным в п.1.7.3.
Путь решения следующий.
На листе Excel отводим ячейки для неизвестных заданной системы уравнений, например с А1 по А5 (если пять перемен- ных), и вводим туда начальные приближения. В ячейку В2 вво- дим формулу, вычисляющую функцию (2.7).

51
Рис. 2.4 — Диалоговое окно Параметры поиска решения при решении
Таблица 2.4
Вариант
СНУ
Вариант
СНУ
1







1 2
6
,
0
)
4
,
0
(
tg
2 2
2
y
x
x
xy
2







3 9
5 3
5 2
2 2
y
x
y
x
3








1 0
6
,
1
)
sin(
2 2
y
x
x
y
x
4







2 4
3 4
4 3
2 2
y
x
y
x
5








2
)
cos(
2 2
,
1
)
1
sin(
y
x
y
x
6







1 7
2 4
2 5
2 2
y
x
y
x
7








3
)
cos(
5
,
0
)
1
cos(
y
x
y
x
8







1 3
5 3
5 4
2 2
y
x
y
x
9








1
)
5
,
0
sin(
2 5
,
1
)
cos(
y
x
y
x
10







1 3
7 3
6 5
2 2
y
x
y
x
11







1
)
1
,
0
(
tg
2 2
2
y
x
x
xy
12







2 2
5 3
5 3
2 2
y
x
y
x
Таблица 2.4
Вариант
СНУ
Вариант
СНУ
1







1 2
6
,
0
)
4
,
0
(
tg
2 2
2
y
x
x
xy
2







3 9
5 3
5 2
2 2
y
x
y
x
3








1 0
6
,
1
)
sin(
2 2
y
x
x
y
x
4







2 4
3 4
4 3
2 2
y
x
y
x
5








2
)
cos(
2 2
,
1
)
1
sin(
y
x
y
x
6







1 7
2 4
2 5
2 2
y
x
y
x
7








3
)
cos(
5
,
0
)
1
cos(
y
x
y
x
8







1 3
5 3
5 4
2 2
y
x
y
x
9








1
)
5
,
0
sin(
2 5
,
1
)
cos(
y
x
y
x
10







1 3
7 3
6 5
2 2
y
x
y
x

52
Вариант
СНУ
Вариант
СНУ
11







1
)
1
,
0
(
tg
2 2
2
y
x
x
xy
12







2 2
5 3
5 3
2 2
y
x
y
x
13








1 2
,
0 2
,
1
)
sin(
2 2
y
x
x
y
x
14







2 3
5 3
6 7
2 2
y
x
y
x
15






1 2
8
,
0
)
(
tg
2 2
2
y
x
x
xy
16







2 2
3 3
6 5
2 2
y
x
y
x
17








2
)
cos(
2 1
)
1
sin(
x
y
x
y
18







3 7
2 2
2 3
2 2
y
x
y
x
19










2
)
5
,
0
(
1
)
exp(
2 2
2
y
x
y
x
y
x
20







2 5
3 3
5 2
2
y
x
y
x
Примечание. При неудачном выборе вектора начального приближения решение может быть не найдено. Поэтому необхо- дим предварительный анализ системы уравнений с целью опре- деления лучшего (более близкого к корню) начального прибли- жения.
Задавая разные начальные приближения, можно получить разные решения системы.
Окончание табл. 2.4

53