Лаба_1. санктпетербургский горный университет

• Название: санктпетербургский горный университет
• Дата: 20.10.2021
• Размер: 141.69 Kb.
• Имя файла: Лаба_1.docx
• Тип: Практическая работа; #251757

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ



МИНИСТЕРСТВО науки и высшего ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра транспорта и хранения нефти и газа

Практическая работа 1

Вариационные ряды и их характеристики. Предварительный анализ статистических данных

По дисциплине Математические методы анализа процессов транспорта и хранения углеводородов

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

Выполнил: студент гр. ТНГ-18 Пунченко Г.С.

^{(шифр группы) (подпись) (Ф.И.О.)}

Проверил

руководитель работы: Доцент Иваник С.А.

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2021

1 Цель работы

Освоить способы построения рядов распределения и методики расчета основных характеристик случайной величины статистического распределения.

2 Основные теоретические сведения

Случайная величина – величина, которая принимает то или иное значение, заранее неизвестное

Генеральная совокупность – полный набор всех значений, которая принимает значение случайной величины.

Выборка – часть генеральной совокупности, выделенная для оценки характеристик случайной величины.

Объем – число значений случайной величины, входящей в выборку.

Варианты – различные элементы выборки.

Вариационный ряд – ряд вариант, расположенный в порядке возрастания.

Размах – диапазон изменения признака.

Частота – количество элементов в интервале.

Частость – относительная частота – отношение частоты к объему выборки.

Интервальный ряд распределения – ряд распределения единиц по признаку, заключенному в интервалы, с указанием частот в каждом интервале.

Гистограмма – график интервального распределения ряда.

Дисперсия – среднее арифметическое значение квадратов отклонений вариант от их средней арифметической.

Мода – значение варианты с наибольшей частотой.

Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд пополам по числу вариант.

Закон распределения – математическое соотношение, связывающее случайную величину и вероятность.

Доверительная вероятность – вероятность того, что действительное значение измеряемой величины лежит в пределах доверительного интервала.

Число степеней свободны – число независимых измерений за вычетом числа связей, которые наложены на эти измерения.

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратичного отклонения к среднему значению случайной величины, выраженное в процентах

Оценка коэффициента асимметрии A_s характеризует симметричность распределения относительно среднего .

Оценка эксцесса E_x – мера островершинности распределения по сравнению с нормальным распределением.

Если то вершина более острая, а если , то более плоская, чем у нормального распределения. У нормального распределения .
Размах варьирования признака:

, (1)

где – вариант с наибольшим значением, – вариант с наименьшим значением.

Определение количества интервалов (формула Стерджеса):

. (2)

где – объем выборки,

Длина интервала разбиения:

. (3)

Отношение частоты n_i к объему n выборки называют относительной частотой (частостью) варианты х_i :

, (4)

где n_i – частота; n – объем выборки.

Среднее арифметическое значение случайной величины :

, (6)

Вычисление дисперсии D:

, (7)

где – значение случайной величины в середине i-го интервала.

Выборочное среднее квадратичное отклонение:

. (8)

Коэффициент вариации ν:

. (9)

Формула для вычисления моды:

, (10)

где – нижняя граница модального интервала, т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному интервалу; – частота интервала, следующего за модальным интервалом.

При нечетном объеме выборки медиана определяется по формуле 11:

, (11)

где - средний член упорядоченного ряда значений.

При четном объеме выборки медиана определяется по формуле 12:

, (12)

где – варианта, которая находится слева от середины вариационного ряда, а – справа от нее.

Оценка коэффициента асимметрии A_s:

. (13)

Оценка эксцесса E_x:

. (14)

Нормальный закон распределения выполняется, если справедливы два условия:

(15)

, (16)

где σ_Аи σ_Е – соответственно среднеквадратическое отклонение ассиметрии и эксцесса нормального закона распределения, которые можно определить по формулам 17-18:

(17)

. (18)

Если среднее взвешенное значение , найденное по результатам анализа выборки объемом n, является точечной оценкой математического ожидания , то чем меньше разность , тем точнее оценка. Точность этой оценки можно выразить неравенством:

, (19)

где величина Δ, являющаяся пределом, который с определенной вероятностью не превосходит разность и называется предельной ошибкой выборки.

Вероятность того, что действительное значение измеряемой величины лежит в пределах от до , представляет собой доверительную вероятность Р, определяемую по формуле 20:

, (20)

где – доверительная вероятность (статистическая надежность), в технике принимается равной 0,9-0,95 (90-95%); α – уровень значимости, для надежности, равной 0,9 и 0,95, соответствуют уровни значимости 0,1 (10%) и 0,05 (5%), соответственно; – математическое ожидание (или истинное значение случайной величины).

Интервал ; , который с заданной доверительной вероятностью или надёжностью покрывает оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом.

Таким образом, зная предельную ошибку выборки Δ, можно определить доверительный интервал, в котором заключена генеральная средняя, из неравенства 19:

. (21)

Предельную ошибку выборки определяют по формуле 22:

, (22)

где – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятого уровня значимости α и числа степеней свободы m.

Число степеней свободы вычисляется по формуле:

, (23)

С помощью математической аппроксимации табличных данных удалось получить формулы для расчета значений коэффициента Стьюдента.

При α=0,05 определяем по формуле 22:

. (24)

При α=0,1 определяем по формуле 23:

. (25)

При объеме выборки n>50 для отбраковки резко выделяющихся замеров можно использовать правило «трех сигм»: вероятность попадания случайной величины в интервал 26:

до (26)

3 Исходные данные

Вариант 28.

4 Обработка экспериментальных данных

1. 
   Объем выборки n = 51.
   
2. 
   Запишем ряд чисел в порядке возрастания и определим размах по формуле 1:
   

.

3. 
   По формуле 2 найдём количество интервалов :
   

.

Округляя в большую сторону, получим k=7.

4. 
   По формуле 3 определяем шаг h:
   

.

5. 
   Найдем границы интервалов, частоту n_i и частость m_i по формуле 4 и внесем данные в таблицу 1:
   

Таблица 1

Интервальный вариационный ряд

Номер интервала	Граница интервала	Частота		Частость
1	(30,09;31,408]	4		0,078
2	(31,408;32,725]	6		0,118
3	(32,725;34,042]	8		0,157
4	(34,042;35,359]	13		0,255
5	(35,359;36,676]	8		0,157
6	(36,676;37,993]	10		0,196
7	(37,993;39,31]	2		0,039
			51		1

Построим гистограмму распределения и полигон рассеивания случайной величины (рисунок 1).




Рисунок 1 – Гистограмма распределения и полигон рассеивания случайной величины

6. 
   Данная выборка является большой, поэтому для нахождения среднего арифметического нужно использовать формулу 6:
   

.

7. 
   По формулам 7 и 8 найдем дисперсиюDи среднее квадратичное отклонение σ:
   

; .

8. 
   Теперь произведём отбраковку резко выделяющихся результатов по правилу «трёх сигм» (26):
   

27,944 до

Из полученного интервала можно сделать вывод, что все числа выборки прошли отбраковку и пересчёта делать не нужно.

9. 
   По формуле 9 найдём коэффициент вариации ν:
   

.

Из полученного коэффициента вариации можно сделать вывод, что разброс данных выборки небольшой и данные значения можно отнести к инструментальным лабораторным исследованиям.

10. 
    По формуле 10 определяется значение моды m₀:
    

.

11. 
    По формуле 11 находится медианна:
    

.

12. 
    Вычисление коэффициента асимметрии A_s выполняется по формуле 13:
    

.

Из полученного коэффициента асимметрии можно сделать вывод, что асимметрия левосторонняя.

13. 
    Вычисление эксцесса E_x производится по формуле 14:
    

.

Из полученного коэффициента эксцесса делаем вывод, что вершина более плоская, чем у нормального распределения.

14. 
    Определим среднеквадратические отклонения σ_А и σ_Е по формулам 17-18 для проверки на соответствие нормальному закону распределения по условиям 15-16:
    

,

,





Неравенства верны, значит выборка подчиняется нормальному закону распределения.

15. 
    Число степеней свободы по формуле 23:
    

.

16. 
    Теперь определим критерий Стьюдента при уровне значимости равной 10% и 5% по формулам 24 и 25:
    

при α=0,05: ;

при α=0,1: .

17. 
    Предельную ошибка выборки определятся по формуле 22:
    

.

Доверительный интервал по формуле 21 будет следующим:



При 95% доверительной вероятности доверительный интервал получился шире на одно значение, чем при 90%.

5 Вывод

В ходе выполнения работы освоены способы построения рядов распределения и методики расчёта основных характеристик случайной величины статистического распределения.

Предложенная выборка подчиняется нормальному закону распределения.