Санктпетербургский
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
3 Анализ сигналов 3.1 Обработка аналоговых сигналов Аналоговая обработка сигнала включает в себя все базовые математические операции: • сложение сигналов • вычитание сигналов • умножение сигналов • деление сигналов Также аналоговая обработка позволяет выполнять и более сложные операции, такие как: • интегрирование • дифференцирование • фильтрация Типичной процедурой обработки аналогового сигнала является преобразование в циф- ровой сигнал. Аналого-цифровой преобразователь — устройство, преобразующее входной ана- логовый сигнал в дискретный код - цифровой сигнал. Обратное преобразование осуществляет- ся при помощи ЦАП (цифро-аналогового преобразователя). 3.2 Обработка цифровых сигналов Изучение принципов цифровой обработки сигналов не требует глубоких и всесторонних знаний по математике. Все, что необходимо, — это немного опыта в элементарной алгебре, способах декомпозиции (разложения) произвольных сигналов на простейшие составляющие и их обратной реконструкции. Физические величины макромира, как основного объекта наших измерений и источника Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 42 информационных сигналов, как правило, имеют непрерывную природу и отображаются непре- рывными (аналоговыми) сигналами. Цифровая обработка сигналов (ЦОС или DSP - digital signal processing) оперирует исключительно с дискретными величинами, причем с квантовани- ем как по координатам динамики своих изменений (во времени, в пространстве, и любым дру- гим изменяемым аргументам), так и по амплитудным значениям физических величин. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычис- лительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дис- кретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, а его игнорирование может приводить к су- щественным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике. Стимулом быстрого развития дискретной математики является и то, что стоимость циф- ровой обработки данных меньше аналоговой и продолжает снижаться, даже при очень сложных ее видах, а производительность вычислительных операций непрерывно возрастает. Немаловаж- ным является также и то, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью. Их можно допол- нять новыми программами и перепрограммировать на выполнение различных функций без из- менения оборудования. В последние годы ЦОС оказывает постоянно возрастающее влияние на ключевые отрасли современной промышленности: телекоммуникации, средства информации, цифровое телевидение и пр. Следует ожидать, что в обозримом будущем интерес и к научным, и к прикладным вопросам цифровой обработки сигналов будет нарастать во всех отраслях науки и техники. Цифровые сигналы формируются из аналоговых операцией дискретизации – последова- тельными квантованными отсчетами (измерением) амплитудных значений сигнала через опре- деленные интервалы времени t или любой другой независимой переменной x. В принципе известны методы ЦОС для неравномерной дискретизации данных, однако области их примене- ния достаточно специфичны и ограничены. Условия, при которых возможно полное восстанов- ление аналогового сигнала по его цифровому эквиваленту с сохранение всей исходно содер- жавшейся в сигнале информации, выражаются теоремами Найквиста, Котельникова, Шеннона, сущность которых практически одинакова. Для дискретизации аналогового сигнала с полным сохранением информации в его циф- ровом эквиваленте максимальные частоты в аналоговом сигнале должны быть не менее чем вдвое меньше, чем частота дискретизации (f дискретизации) =f д, то есть: Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 43 ции дискретиза f f 2 max ; min t 2 1 = Д f 3.1 Если это условие нарушается, в цифровом сигнале возникает эффект маскирования (подмены) действительных частот «кажущимися» более низкими частотами. Наглядным при- мером этого эффекта может служить иллюзия, довольно частая в кино – колесо автомобиля начинает вращаться против его движения, если между последовательными кадрами (аналог ча- стоты дискретизации) колесо совершает более чем пол-оборота. При этом в цифровом сигнале вместо фактической регистрируется «кажущаяся» частота, а, следовательно, восстановление фактической частоты при восстановлении аналогового сигнала становится невозможным. 3.2. 1 Арифметические операции над наблюдениями Вычисление среднего значения. Выборочное среднее значение находится в виде: = − = 1 1 n n u N u где N — число отсчетов, а un - значения отсчетов. Рассчитываемая по этой формуле величина - u представляет несмещенную оценку истинного среднего значения . Приведение процесса к нулевому среднему значению Для упрощения последующих расчетов и выкладок желательно преобразовать процесс таким образом, чтобы среднее его значение было равно нулю. Определим новую реализацию в виде: - u - u(t) x(t) = Тогда последовательность {x n } значений функции x(t) определяется в виде: − − = + = u u nh t x x n n ) ( 0 N 1,2,....., n = Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 44 В этом случае имеем: 0 x - = . Цель представления исходного процесса в виде последова- тельности {x n }, вместо {u n }состоит в том, чтобы показать, что среднее значение последова- тельности {x n } равно нулю. Вычисление стандартного отклонения. Этот параметр определяется как стандартное отклонение. Выборочное стандартное отклонение вычисляется как: 2 / 1 N 1 n 2 n ] 1 ) (x [ s = − = N где N — число отсчетов, а x n значения преобразованного процесса со средним 0 x - = . Рассчи- тываемые по этой формуле величины s и s 2 представляют собой несмещенные оценки истин- ных значений стандартного отклонения х и дисперсии х 2 Приведение к единичному стандартному отклонению. При использовании компьютера удобно выполнить еще одно преобразование процесса. Умножая преобразованные значения x n на 1/s, подучим последовательность: , z n s x n = N ,........, 2 , 1 = n Такой процесс будет иметь нулевое выборочное среднее значение равное единице и рав- ное единице выборочное стандартное отклонение. Исключение тренда В некоторых случаях в данные наблюдений приходится вводить специальную поправку, чтобы исключить тренд, который определяется как любая составляющая процесса, период ко- торой превышает длину реализации. Отметим, в частности, что высокочастотные цифровые фильтры не позволяют подавить такие колебания. Поэтому необходим специальный метод ис- ключения тренда. Линейный или полиномиальный более высокого порядка тренд может быть исключен при помощи метода наименьших квадратов. Другим, сравнительно менее точным ме- тодом исключения линейного (и только линейного) тренда является метод среднего наклона. Рассмотрим эти методы. Метод среднего наклона. Пусть исходная случайная реализация u(t) имеет вид: ) ( ) 2 ( u u(t) - t x T t r u + − + = − r T t 0 Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 45 где − u - выборочное среднее значение функции u(t) на интервале (О, Т r ); параметр − u означает средний наклон функции u(t) относительно t, a x(t) - исправленная реализация с нуле- вым средним значением и с нулевым средним наклоном. Полагаем, что исследуемая функция имеет нулевой средний наклон, который характеризуется значением: 0 = − u Интегрируя u(t) в пределах от 0 до Т r /3 и от 2 Т r /3 до Тr и вычитая первый интеграл из второго, найдем значение параметра аи в виде: − = − r r r T T T r r dt t u dt t u T T 3 / 2 3 / 0 u ) ( ) ( 3 / 2 )( 3 / ( 1 Заменяя непрерывные функции дискретной последовательностью: N ........, , 3 , 2 , 1 }, {u n = n Где Д r f T N = получаем: − = − = = − N N n n n n u u 1 д u ) - N )( f ( 1 где частота дискретизации min д 1 f = , а параметр соответствует наибольшему целому числу, примерно равному N/3 Метод наименьших квадратов. Покажем теперь, каким образом используется для исключения тренда метод наименьших квад- ратов. Обозначим, как и прежде, значения процесса, отстоящие друг от друга на интервал f д , через {un}, n= 1, 2,……, N. Пусть для тренда, содержащегося в анализируемых данных, требу- ется найти приближение в виде полинома степени К: Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 46 N n nf b Д K k k ,......, 2 , 1 , ) ( u k 0 ^ = = = Согласно методу наименьших квадратов, последовательность коэффициентов {b k } вы- бирается таким образом, чтобы неотрицательная при любых значениях b = (b 0 , b 1 , b 2 , …. b k ) величина: 2 0 0 k 2 ^ N 1 n n ) ( ) (u Q(b) = = = − = − = N k K k Д k n n nf b u u была наименьшей. Искомая последовательность коэффициентов отыскивается путем прирав- нивания нулю частных производных уравнения этого выражения по переменной b l ; ] ) ( ][ ) ( [ 2 b Q k 0 1 l l Д Д K k k N n n nf nf b u − − = = = В результате получается система из К + 1 уравнений, решение которых позволяет опре- делить: − − − + = = = ) 1 ( 6 ) 1 2 ( 2 b 1 1 0 N N nu u N N n N n n n − + − − − = = = 1) N )( 1 ( ) 1 ( 6 12 b 1 1 0 N Nf u N nu Д N n N n n n 1) N )( 1 ( ) 1 ( 6 12 b 1 1 1 + − − − = = = Т Nf u N nu Д N n N n n n Полученные таким путем оценки оказываются более точными, чем в случае исключения линейного тренда по методу среднего наклона. Метод наименьших квадратов позволяет доста- точно эффективно и просто исключить и тренд, представленный полиномом второго или треть- Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 47 его порядка. Пример исключения линейного тренда показан на рис. 3.1. Пример исключения низких и высоких частот, фильтрации сигнала, показан на рис. 3.2. Исключение тренда является важным промежуточным этапом цифрового анализа, и ему следует уделять должное внимание. Если в данных наблюдений содержится тренд, то при по- следующей обработке в оценки корреляционных функций и спектральных плотностей могут быть внесены сильные искажения. В частности, совершенно недостоверной окажется оценка спектральной плотности на низких частотах. В некоторых задачах знание тренда желательно само по себе. Однако здесь нужно проявлять осторожность: исключение тренда следует производить только в том случае, если его присутствие очевидно или вытекает из физических соображений. Рис. 3.1 Примеры обработки сигналов: исключения линейного тренда Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 48 Рис. 3.2 Пример фильтрации сигнала а) исходная реализация сигнала; б) реализация после фильтрации высоких частот; в) реализа- ция после фильтрации низких частот 3.3 Применение цифровых фильтров Фильтрацию данных наблюдений можно осуществлять с целью сглаживания процесса, выделения составляющих в отдельных частотных диапазонах и исследования их свойств. На рис. 3.2 показано действие высокочастотного и низкочастотного фильтров на процесс, состоя- щий из суммы гармонического колебания и высокочастотного шума. Высокочастотный фильтр пропускает обладающий высокой частотой шум, а низкочастотный — выделяет сглаженное гармоническое колебание. Преимуществами цифровых фильтров перед аналоговыми являются: • Высокая точность (точность аналоговых фильтров ограничена допусками на элементы). • В отличие от аналогового фильтра передаточная функция не зависит от дрейфа характе- ристик элементов. • Гибкость настройки, легкость изменения. • компактность — аналоговый фильтр на очень низкую частоту (доли герца, например) потребовал бы чрезвычайно громоздких конденсаторов или индуктивностей. Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 49 Недостатками цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми являются: • Трудность работы с высокочастотными сигналами. Полоса частот ограничена частотой Найквиста, равной половине частоты дискретизации сигнала. Поэтому для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, либо, если на высоких частотах нет полезного сиг- нала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра, за- тем обрабатывают сигнал цифровым фильтром. • Трудность работы в реальном времени — вычисления должны быть завершены в тече- ние периода дискретизации. • Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП. Рассмотрим теоретические основы цифровой фильтрации. Общее соотношение между процессами x(t) на входе и у(t) на выходе линейного фильтра дается интегралом свертки: = - )d - )x(t h( y(t) 3.2 где h() — весовая функция фильтра. Его частотная характеристика представляет собой преобразование Фурье функции h(): d ) 2 )exp(- h( H(f) - = 3.3 При построении цифрового фильтра в противоположность аналоговому случаю нет необходи- мости вводить условие физической осуществимости. Иначе говоря, не нужно требовать, чтобы весовая функция h() была равна нулю при < 0 поскольку данные могут быть накоплены в компьютере и в нужный момент поданы на фильтр, реализуемый программно. Примеры идеальных амплитудных частотных характеристик H(f) низкочастотного, вы- сокочастотного и полосового фильтров показаны на рис. 3.3. Частотные характеристики рас- сматриваемых ниже цифровых фильтров изображены на рис. 3.4 . Такие фильтры легко про- граммируются, причем в программе достаточно указать лишь некоторые простые их парамет- ры, в частности, частоту среза f 0 и требуемую скорость затухания частотной характеристики. 3.4 Нерекурсивные цифровые фильтры Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 50 Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр) представляет один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограни- ченность по времени его импульсной характеристики. Для такого фильтра с какого-то момента времени импульсная характеристика становится точно равной нулю. Фильтр называют нере- курсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого филь- тра представлен константой. Эквивалентная уравнению (3.2) конечная сумма при t k t = , k = 1, 2, ….., М, может быть записана в виде выражения: ), ( y 1 n k n M k k n k x x h − = + + = N ,........, 2 , 1 = n 3.4 характеризующего симметричный фильтр, для которого h k = h -k . Заметим, что в равенство (3.4) входят будущие значения входного процесса. Для удоб- Рис. 3.3 Амплитудные час- тотные характеристики иде- альных фильтров а) низкочастотный фильтр; б)высокочастотный фильтр; в) полосовой фильтр Рис. 3.4 Амплитудные час- тотные характеристики циф- ровых фильтров а) низкочастотный фильтр; б)высокочастотный фильтр; в) полосовой фильтр Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 51 ства интервал дискретности t обычно включается в значения весовой функции h k фильтра. В случае симметричного фильтра эквивалентная уравнению (3.3) конечная сумма определяет фильтр, фазовая частотная характеристика которого равна нулю: = = M 1 k ) 2 cos( 2 H(f) t fk h k 3.5 Если из физических соображений желательно получить отличную от нуля фазовую ча- стотную характеристику, то это можно сделать используя несимметричный фильтр. Заметим, что общее число коэффициентов h k (называемых весами фильтра) в формулах (3.4) и (3.5) рав- но М. Эти веса определяются обратным преобразованием Фурье уравнения (3.5): df t fk f H ) 2 cos( ) ( h k − = 3.6 Симметричные или несимметричные фильтры такого типа называются нерекурсивными цифровыми фильтрами, поскольку каждое значение выходного процесса есть результат преоб- разования лишь конечного числа значений процесса на входе. В качестве примера рассмотрим нерекурсивный низкочастотный цифровой фильтр. Рас- смотрим в качестве примера последовательность весов симметричного нерекурсивного низко- частотного фильтра с идеальной частотной характеристикой: Согласно формуле (3.6), веса фильтра {h k } определяются выражением: Таким образом, значения весов пропорциональны величине 1/k, так что первые весовые коэф- фициенты фильтра затухают довольно медленно. На практике для построения подобного филь- тра приходится задавать слишком много весовых коэффициентов. Типичный случай соответ- ствует примерно 100 коэффициентам. Вычисление столь длинного ряда весовых коэффициен- тов характеризует метод фильтрации неэффективным. Значение частотной характеристики (3.7) − = f __других__ __ 0 f __ __ 1 H(f) 0 0 при f f при 3.7 − = = 0 0 ) 2 sin( ) 2 cos( h 0 k f f t k t k f df t fk 3.8 Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 52 резко меняется от нуля к единице, в результате чего частотная характеристика, построенная по усеченной последовательности весов, значительно отличается от желаемой формы (3.7). Это отличие заключается, в частности, в «эффекте Гиббса», характеризующимся в всплеске ампли- тудной частотной характеристики вблизи частоты среза. Известны и другие типы нерекурсивных фильтров, для которых ошибки усечения уменьшены за счет сравнительно более медленного, чем в функции (3.7), изменения частотной характеристики от нуля к единице. Применение этих фильтров также связано с введением до- вольно большого числа весовых коэффициентов. |