Санктпетербургский
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
Классификация детерминированных процессов Процессы, описывающие детерминированные явления, могут быть периодическими или непериодическими. В свою очередь периодические процессы можно разделить на гармониче- ские и полигармонические. К непериодическим относятся почти периодические и переходные процессы. Эта классификация изображена схематически на рис. 2.2. Понятно, что может наблюдаться любая комбинация перечисленных типов. комбинация перечисленных типов. Ниже дается краткий обзор детерминированных процессов различных типов с примерами из физики. Рис. 2.2 Классификация детерминированных процессов 2.1.1. Гармонические процессы Гармоническими называются периодические процессы, которые описываются функцией времени: ) 2 sin( ) ( 0 + = f X t x (2.2) где X — амплитуда; f 0 — циклическая частота, измеряемая в циклах в единицу времени; — начальная фаза, измеряемая в радианах; x(t)—значение функции в момент времени t. Описываемая формулой (1.2) гармоническая функция времени называется обычно гар- моническим колебанием. На практике при анализе гармонического процесса начальной фазой часто пренебрегают. В этом случае справедливо выражение: Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 20 t f X t x 0 2 sin ) ( = (2.3) Соотношение (2.3) можно представить графически (рис. 2.3) в виде функции времени или в амплитудно-частотного образа, который часто называют частотным спектром. С точки зрения анализа гармонические процессы представляют собой одну из простей- ших форм функций времени. Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, или один цикл гармонического процесса, называется периодом Тр. Число циклов в единицу времени называется частотой f 0 . Частота и период определяют- ся через соотношение: 0 1 f T p = (2.4) Введя в рассмотрение это соотношение, отметим, что представленный на рис. 2.3 частотный спектр состоит только из одной составляющей амплитуды на данной частоте. Такой спектр называют дискретным, или линейчатым. Рис. 2.3 Образ сигнала и спектра гармонического процесса Можно привести много примеров физических явлений, которые с достаточным для практики приближением описываются гармоническими процессами. К их числу относятся ко- Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 21 лебания напряжения на выходе генератора переменного тока. 2.1.2. Полигармонические процессы К полигармоническим процессам относятся такие типы периодических процессов, кото- рые могут быть описаны функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинако- вые интервалы: ) ( ) ( p nT t x t x = , 3 , 2 , 1 = n (2.5) Как и в случае гармонического процесса, интервал времени, в течение которого проис- ходит одно полное колебание, называется периодом Тр. Число циклов в единицу времени назы- вают основной частотой f 1 . Очевидно, гармонический процесс есть частный случай полигармо- нического процесса при f 1 = f 0 . За некоторыми исключениями, полигармонические процессы могут быть представлены рядом Фурье. = + + = 1 1 1 0 ), 2 sin 2 cos ( 2 ) ( n n n t nf b t nf a a t x (2.6) где p T f 1 1 = , = p T p n tdt nf t x T a 0 1 , 2 cos ) ( 2 3 , 2 , 1 = n = p T p n tdt nf t x T b 0 1 , 2 sin ) ( 2 3 , 2 , 1 = n Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса: ), 2 cos( ) ( 1 1 0 − + = = t nf X X t x n n Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 22 где 2 0 0 a X = 2 2 n n n b a X + = , 3 , 2 , 1 = n ), ( n n n a b arctg = 3 , 2 , 1 = n (2.7) Как видно из формулы (2.7) полигармонические процессы состоят из постоянной ком- поненты Х 0 и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с ам- плитудами Х n и начальными фазами n Частоты всех гармоник кратны основной частоте f 1 На практике при анализе периодических процессов начальные фазы n часто не прини- маются во внимание. В этом случае формуле (1.7) соответствует дискретный спектр, показан- ный на рис. 2.4. Иногда полигармонические процессы состоят всего из нескольких компонент. В других случаях компонента с основной частотой может отсутствовать. Предположим, например, что периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных волн с ча- стотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5 Гц, поэтому период результирующего периодического процесса Тр составляет 0,2 сек. Следовательно, при разло- жении в ряд Фурье значения Х n будут равны нулю при всех n, кроме n = 12, n= 15 и n= 20. Фи- зические явления, которым соответствуют полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией. Рис. 2.4 Спектр полигармонического процесса В действительности, когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зача- стую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, при тщательном исследовании колебаний напряжения на выходе генератора переменного тока можно обнаружить небольшие колебания с Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 23 частотами высших гармоник. В других случаях в периодическом физическом процессе могут присутствовать гармонические компоненты с относительно большими амплитудами. 2.1.3. Почти периодические процессы Как указывалось в предыдущем подразделе, обычно периодический процесс можно опи- сать рядом гармонических колебаний, частоты которых соизмеримы. И обратно, процесс, обра- зованный суммированием двух или более синусоидальных волн с соизмеримыми частотами, является периодическим. Однако процесс, который формируется в результате суммирования двух или более синусоидальных волн с произвольными частотами, не будет, вообще говоря, периодическим. Конкретнее, сумма двух или более синусоидальных волн образует периодический процесс только в том случае, если отношения всех возможных пар частот представляют собой рацио- нальные числа. Это означает, что существует некоторый основной период, удовлетворяющий формуле (2.5). Так, например, процесс, задаваемый выражением: ) 7 sin( ) 3 sin( ) 2 sin( ) ( 3 3 2 2 1 1 + + + + + = t X t X t X t x Это периодический процесс, поскольку 2/3, 2/7 и 3/7 — рациональные числа с основным пери- одом, равным 1. В противоположность этому, процесс: ) 50 sin( ) 3 sin( ) 2 sin( ) ( 3 3 2 2 1 1 + + + + + = t X t X t X t x не является периодическим, поскольку числа 50 / 2 и 50 / 3 иррациональные и основной пе- риод равен бесконечности. В этом случае процесс является почти периодическим, но соотно- шение (2.5) не удовлетворяется при любых конечных значениях Т р = + = 1 ) 2 sin( 0 ( n n n n t f X t x 2.8 где не все отношения f n /f m представляют собой рациональные числа. Физические явления, ко- торым соответствуют почти периодические процессы, встречаются довольно часто при сумми- ровании двух или более независимых гармонических процессов. Хорошим примером почти пе- риодического процесса может служить колебания сетевого напряжения. Важнейшее свойство почти периодических процессов таково. Если пренебречь началь- Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 24 ными фазами n то формуле (2.8) будет соответствовать дискретный спектр, аналогичный спек- тру полигармонического процесса. Единственное различие состоит в том, что, как показано на рис. 2.5, частоты компонент несоизмеримы. Рис. 2.5 Спектр почти периодического процесса 2.1.4. Переходные непериодические процессы Переходные процессы широко распространены, и их изучение представляет особый ин- терес в задачах создания электронной аппаратуры. К переходным относятся все непериодиче- ские процессы, не являющиеся почти периодическими процессами, описанными в подразделе 2.1.3. Другими словами, переходные процессы включают в себя все не рассмотренные ранее процессы, которые могут быть описаны подходящими функциями времени. В иллюстративной форме рассмотрим три примера переходных процессов, представленных на рис. 2.6. Физические явления, которым соответствуют переходные процессы, весьма многочис- ленны и разнообразны. Например, процесс, изображенный на рис. 2.6, а, может описывать из- менение во времени температуры процессора компьютера относительно температуры воздуха в комнате после выключения компьютера. Кривая на рис. 2.6, б может характеризовать свободные колебания инерционной элек- тронной системы стабилизатора сетевого электропитания после выключения компьютера. График, на рис. 2.6в, иллюстрирует изменение во времени электрического напряжения на вы- ходе логического элемента. Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 25 Рис. 2.6 Примеры переходных процессов Важное отличие переходных процессов от периодических и почти периодических состоит в том, что их сложно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве слу- чаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов (рис. 2.7), ис- пользуя интеграл Фурье: − − = dt ft f t x f X ) 2 exp( ) ( ) ( 2.9 Спектр Фурье X(f) в общем случае является комплексной функцией, которая может быть записана в показательной форме: ) exp( ) ( ) ( f f f X f X − = Здесь ) ( f X - модуль, (f) — аргумент. Модули | X(f) | преобразования Фурье трех пере- ходных процессов, изображенных на рис. 2.6, показаны на рис. 2.7. 2.2. Классификация случайных процессов Следуя введенным представлениям, отметим, что процессы, соответствующие слу- чайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, по- скольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим абсолютно точно Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 26 Рис. 2.7 Спектры переходных процессов Другими словами, исход любого данного наблюдения представляет собой лишь один из многих возможных результатов. Рассмотрим, например, изменение во времени напряжения на выходе генератора теплового шума. Запись этого напряжения будет иметь примерно такой вид, как показано на рис. 2.8. Полагаем, что имеется несколько экземпляров генераторов. Принимая во внимание наличие технологических факторов, так или иначе вносящих отличия в структуру генераторов, наблюдаем незначительные отличия в выходных сигналах. И вообще записи изменения во вре- мени напряжения на выходе разных генераторов теплового шума имеют разные графические образы (рис. 2.8). Рис. 2.8 Образы выходных сигналов Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 27 Сделанные наблюдения составляют основу вывода о том, что запись напряжения на вы- ходе какого-либо генератора сигнала представляет собой лишь одну из бесконечного множе- ства возможных реализаций зависимости напряжения от времени. Такой вывод хорошо согла- суется с известными представлениями о действии множества факторов, способных исказить выходной сигнал генератора или иного электронного устройства. Развивая эти представления, рассмотрим некоторый выходной сигнал электронного устройства, форма которого зависит от ряда случайных факторов. Функция времени, описыва- ющая случайное явление, называется выборочной функцией или при конечном интервале вре- мени — реализацией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, называется случайным, или стохастическим, процессом. Следова- тельно, реализация, полученная в результате наблюдений над случайным физическим явлени- ем, может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случай- ного процесса. Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. В свою очередь ста- ционарные случайные процессы могут быть эргодическими или неэргодическими. Связь между различными классами случайных процессов показана на рис. 2.9. Рис. 2.9 Классификация случайных процессов 2.2.1. Стационарные случайные процессы Физическое явление при рассмотрении с позиций теории случайных процессов можно описать в любой момент времени путем осреднения величин по множеству выборочных функ- ций, представляющих данный случайный процесс. Рассмотрим, например, множество выбо- рочных функций (называемое также ансамблем), образующее случайный процесс (рис. 2.10). Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 28 Среднее значение (первый момент распределения) случайного процесса в момент вре- мени t 1 может быть найдено путем суммирования мгновенных значений каждой выборочной функции ансамбля в момент t 1 и деления этой суммы на число выборочных функций. Рис. 2.10 Ансамбль выборочных функций Аналогичным образом корреляция между значениями случайного процесса в два раз- личных момента времени (смешанный момент, называемый автокорреляционной функцией) определяется путем осреднения по ансамблю произведений мгновенных значений процесса в моменты t 1 и t 1 + . Иначе говоря, среднее значение ) ( 1 t x и автокорреляционная функция ) , ( 1 1 + t t R x случайного процесса {x(t)} (фигурные скобки означают ансамбль выборочных функций) опре- деляются из соотношений: Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 29 = → = N k k N ч t x t N 1 1 1 ) ( ) ( 1 lim (2.10 а) = → + = + N k k k N x t x t x t t R N 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) , ( 1 lim (2.10 б) Сделаем замечание о введенных обозначениях: фигурные скобки для выделенной функ- ции означают ансамбль выборочных функций. Помимо этого укажем, что в процедуре сумми- рования предполагается появление всех выборочных функций с равной вероятностью. В общем случае, когда функции ) ( 1 t x и ) , ( 1 1 + t t R x , определяемые уравнениями (2.10), меняются с изменением момента времени t 1 случайный процесс {x(t)} называется неста- ционарным, В частном случае независимости ) ( 1 t x и ) , ( 1 1 + t t R x от t 1 случайный процесс {x(t)} называется слабо стационарным, или стационарным в широком смысле. Среднее значе- ние слабо стационарных процессов постоянно, а автокорреляционная функция зависит только от величины сдвига , т. е. x x t = ) ( 1 и ) ( ) , ( 1 1 x x R t t R = + Для случайного процесса {x(t)} можно рассчитать бесконечное множество начальных и смешанных моментов более высоких порядков. Их совокупность полностью описывает плот- ности распределения процесса. Когда все начальные и смешанные моменты распределения не зависят от времени, случайный процесс {x(t)} называется строго стационарным, или стацио- нарным в узком смысле. Для многих практических приложений доказательства слабой стацио- нарности процесса вполне достаточно, чтобы оправдать справедливость предположения о стро- гой стационарности. 2.2.2. Эргодические случайные процессы Указывая на распространенность процедуры усреднения значений случайного процесса, в частности усреднения по ансамблю функций, следует помнить о возможной потере важной для анализа информации. Чтобы несколько ослабить такую информационную потерю часто Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М. 30 проводят осреднение по отдельным функциям ансамбля. Рассмотрим, например, k-ю выбороч- ную функцию случайного процесса, изображенного на рис. 1.10. Среднее значение ) ( x и ав- токорреляционная функция ) , ( k R x этой выборочной функции определяются выражениями: → = T k T ч dt t x T k 0 ) ( 1 ) ( lim (2.11 а) + = → T k k T x dt t x t x T k R 0 ) ( ) ( 1 ) , ( lim (2.11 б) Если случайный процесс {x(t)} стационарен и не противоречит выражениям (2.11), а значения ) ( x и ) , ( k R x одинаковы для различных выборочных функций, то случайный про- цесс {x{t)\ называется эргодическим. Для эргодического случайного процесса среднее значение и автокорреляционная функция, а также и другие моменты, полученные осреднением по вре- мени, равны соответствующим средним по ансамблю: x x = ) ( и ) ( ) , ( x x R k R = (2.11 б) Здесь важно указать на то, что только стационарные процессы могут обладать свойством эргодичности. Эргодические случайные процессы, очевидно, представляют важный класс слу- чайных процессов, так как все их свойства могут быть определены осреднением по времени одной выборочной функции. К счастью, на практике случайные процессы, соответствующие стационарным физическим явлениям, как правило, обладают свойством эргодичности. Именно поэтому в большинстве случаев можно правильно определить характеристики стационарного случайного процесса по одной выборочной реализации. |