alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
 Скачать 2 Mb.
|
|
[233] Шкапенюк М. Выпуклость функций и доказательство неравенств // № 3. 1980. — Тоже Матем. кружок. Вып. 4. — М Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу Квант. № 5). [234] Шуликовская В. Неравенство Коши и объемы // № 9. 1990. [235] Яглом И. Две игры со спичками // № 2. 1971. — Тоже Яглом И. Заплаты на кафтане // № 2. 1974. [237] Яглом И. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики // № 7. 1984. [238] Яглом И. Почти простые числа // № 9. 1981. [239] Янкелевич В. Неприводимый случай // № 11. 1971. [240] Ярский А. Как доказать неравенство // № 2. 1997. [241] Ярский А. Рациональные корни многочлена // № 6. 1995. [242] Ясиновый Э. Геометрия помогает решать уравнения // № 12. Статьи журнала «Компьютерра» [243] Кноп К. Все врут календари // № 21. 1998. [244] Кноп К. Да и Нет не говорите // № 3. 1998. [245] Кноп К. 12 монет // № 51. 1997. [246] Кноп К. Классические головоломки // № 25. 1999. [247] Кноп К. Мини-конкурс для программистов // № 48. 1997. [248] Кноп К. Ним-игры // № 20. 1998. Приложение А Программа курса В данное приложение помещена программа курса алгебры, читавшегося в школе им. АН. Колмогорова на двухгодичном потоке. Темы, взятые в квадратные скобки, включались в курс по усмотрению лектора. Тема 1. Метод математической индукции. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Доказательство тождеств и неравенств. Применение индукции в геометрии и комбинаторике. Тема 2. Комбинаторика. Множества и операции сними. Основные правила комбинаторики. Принцип Дирихле. Перестановки. Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки с повторениями (анаграммы). Биномиальная и полиномиальная теоремы. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля и его свойства. Сочетания с повторениями. Функции на множествах. Формула включений-исключений. Ее приложения.] Тема 3. Целые числа. Простые числа. Делимость с остатком и без остатка. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Линейное представление наибольшего общего делителя. Решение неопределенных уравнений первой степени в целых числах. Основная теорема арифметики. Теоретико-числовые функции. Формула Лежандра для максимальной степени простого числа, делящего факториал. Цепные дроби. Уравнение Пелля.] Тема 4. Сравнения. Отношение эквивалентности. Классы вычетов. Сравнения и их свойства. Неразрешимость некоторых уравнений в целых числах. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера и ее свойства. Решение сравнений с одним неизвестным. Теоремы Ферма, Эйлера, Вильсона. Длина периода бесконечной десятичной дроби рационального числа. Китайская теорема об остатках. Признак делимости Паскаля.] Тема 5. Рациональные и иррациональные числа. Доказательство иррациональности радикалов. Метод спуска. Теорема о рациональных корнях многочлена. Иррациональность значений тригонометрических функций. Сопряженные числа. Избавление от иррациональности в знаменателе. Десятичное представление рациональных чисел. Свойства периодов.] Тема 6. Многочлены. Квадратный трехчлен и фазовая плоскость. Ре- зультант двух многочленов второй степени. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида для многочленов. Линейное представление наибольшего общего делителя. Теорема Безу. Схема Горнера. Теорема о числе корней многочлена. Ряд Тэйлора для многочлена. Теорема единственности. Однознач- Программа курса ность разложения многочлена на неприводимые сомножители. Многочлены с кратными корнями. Избавление от кратных корней. Теорема Виета. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Симметрические системы алгебраических уравнений. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Формула Кардано. Формулировка теоремы Руффини – Абеля. Необходимость введения комплексных чисел. Интерполяционный многочлен Ньютона. Правило знаков Декарта.] Тема 7. Комплексные числа. Комплексные числа и операции с ними. Геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел модуль и аргумент. Алгебраическое извлечение квадратного корня из комплексного числа. Решение квадратных уравнений надмножеством комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Корни из единицы. Решение уравнений третьей степени при помощи комплексных чисел. Неприводимый случай кубического уравнения. Суммирование ряда обратных квадратов при помощи комплексных чисел и теоремы Виета.] Тема 8. Отображения комплексной плоскости. Пути и отображения комплексной плоскости. Основная теорема алгебры. Разложение на неприводимые многочлены над действительными и комплексными числами. Принцип аргумента. Теорема Штурма о корнях тригонометрического полинома.] Тема 9. Неразрешимость трех классических задач на построение. Построения циркулем и линейкой с алгебраической точки зрения. Числовые поля. Понятие квадратичного расширения числового поля. Алгебраические числа. Трансцендентность числа π (без доказательства. Невозможность квадратуры круга. Теорема о невозможности построения циркулем и линейкой корней кубического уравнения. Невозможность удвоения куба. Невозможность трисекции угла. Невозможность построения правильного семиугольника. Построение правильных пятиугольника и семнадцатиуголь- ника.] Тема 10. Последовательности и ряды. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Метод конечных разностей. Суммирование последовательностей. Линейные рекуррентные последовательности второго порядка. Формула го члена. Метод производящих функций. Формальные степенные ряды. Числа Фибоначчи. Формула Бине. Тема 11. Неравенства, уравнения, системы. Доказательство неравенств. Возвратные уравнения. Уравнения с целыми коэффициентами. Метод подстановок и сведение уравнений к системам. Тригонометрические замены. Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод Ньютона. Метод итераций. Решение уравнений рекуррентного типа. Системы линейных уравнений. Аналитические методы решения задач с параметрами Приложение Б Путеводитель Указанная литература послужила источником задачи теоретического материала. Здесь также указаны ссылки на публикации, которые могут служить учебными пособиями или содержат более обширный материал поданной теме. Ссылки после названия главы указывают на литературу, которая имеет отношение к содержанию всей главы. Издания, выделенные жирным шрифтом содержат наиболее полную информацию по соответствующему вопросу. 1 Метод математической индукции [ 16 ], [ 38 ], Аксиома индукции [ 32 ], [ 35 ], Тождества, неравенства и делимость [ 7 ], [ 32 ], [ 35 ], [ 36 ], [ 58 ], [ 60 ], Индукция в геометрии и комбинаторике [ 1 ], [ 6 ], [ 9 ], [ 36 ], [ 58 ], Комбинаторика [ 6 ], [ 14 ], Сложить или умножить [ 8 ], [ 30 ], [ 38 ], [ 51 ], [ 113 ], [ 148 ], Принцип Дирихле [ 26 ], [ 35 ], [ 36 ], [ 38 ], [ 46 ], [ 51 ], [ 93 ], Размещения, перестановки и сочетания [ 8 ], [ 11 ], [ 13 ], [ 19 ], [ 30 ], [ 38 ], [ 39 ], [ 40 ], [ 51 ], [ 66 ], [ 71 ], [ 84 ], [ 101 ], [ 113 ], [ 165 ], [ 170 ], [ 173 ], [ 224 ], Формула включений и исключений [ 30 ], [ 51 ], [ 104 ], [ 170 ], Числа Каталана: [ 13 ], [ 74 ], [ 121 ], [ 232 ], Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики [ 5 ], [ 13 ], [ 33 ], [ 34 ], [ 36 ], [ 37 ], [ 38 ], [ 42 ], Простые числа [ 10 ], [ 16 ], [ 24 ], [ 30 ], [ 54 ], [ 80 ], [ 115 ], [ 116 ], [ 120 ], [ 192 ], [ 152 ], [ 154 ], [ 157 ], [ 159 ], [ 171 ], [ 176 ], [ 187 ], [ 215 ], Алгоритм Евклида [ 9 ], [ 16 ], [ 24 ], [ 30 ], [ 35 ],[ 43 ], [ 59 ], [ 99 ], [ 104 ], [ 158 ], [ 175 ], [ 203 ], Мультипликативные функции [ 39 ], [ 54 ], [ 103 ], [ 104 ], [ 134 ], [ 192 ], [ 160 ], [ 203 ], О том, как размножаются кролики [ 9 ], [ 11 ], [ 41 ], [ 47 ], [ 54 ], [ 57 ], [ 83 ], [ 193 ], [ 172 ], [ 184 ], [ 196 ], [ 198 ], [ 235 ], Цепные дроби [ 9 ], [ 24 ], [ 26 ], [ 28 ], [ 57 ], [ 88 ], [ 89 ], [ 175 ], [ 226 ], Арифметика остатков [ 5 ], [ 13 ], [ 33 ], [ 37 ], [ 38 ], [ 42 ], [ 49 ], Четность [ 9 ], [ 26 ], Делимость [ 26 ], [ 142 ], [ 177 ], [ 229 ], Сравнения [ 24 ], [ 26 ], [ 79 ], [ 82 ], [ 105 ], [ 114 ], [ 125 ], [ 138 ], [ 142 ], [ 144 ], [ 150 ], [ 162 ], [ 167 ], Теоремы Ферма и Эйлера [ 10 ], [ 15 ], [ 24 ], [ 114 ], [ 125 ], [ 144 ], [ 152 ], [ 188 ], [ 203 ], [ 238 ]. 256 Путеводитель 5 Признаки делимости [ 9 ], [ 10 ], [ 56 ], [ 69 ], Китайская теорема об остатках [ 138 ], [ 146 ], Числа, дроби, системы счисления: 1 Рациональные и иррациональные числа [ 5 ], [ 10 ], [ 16 ], [ 18 ], [ 26 ], [ 30 ], [ 32 ], [ 33 ], [ 37 ], [ 41 ], [ 48 ], [ 51 ], [ 136 ], [ 100 ], [ 119 ], [ 140 ], [ 151 ], [ 163 ], [ 167 ], [ 203 ], [ 219 ], [ 227 ], [ 228 ], [ 197 ], Систематические дроби [ 15 ], [ 37 ], [ 127 ], [ 188 ], Двоичная и троичная системы счисления [ 1 ], [ 13 ], [ 34 ], [ 123 ], [ 191 ], [ 200 ], [ 210 ], [ 231 ], [ 244 ], [ 245 ], [ 247 ], Многочлены [ 7 ], [ 21 ], [ 25 ], [ 32 ], Квадратный трехчлен [ 35 ], [ 43 ], [ 48 ], [ 50 ], [ 75 ], [ 90 ], [ 91 ], [ 94 ], [ 97 ], [ 98 ], [ 135 ], [ 139 ], [ 141 ], [ 147 ], [ 183 ], Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу: [ 20 ], [ 23 ], [ 30 ], [ 50 ], [ 81 ], Разложение на множители [ 22 ], [ 30 ], [ 43 ], [ 50 ], Многочлены с кратными корнями [ 20 ], [ 23 ], [ 30 ], [ 43 ], Теорема Виета: [ 22 ], [ 23 ], [ 44 ], [ 48 ], [ 50 ], [ 156 ], [ 168 ], Интерполяционный многочлен Лагранжа [ 23 ], [ 30 ], [ 101 ], Комплексные числа [ 8 ], [ 20 ], [ 31 ], [ 63 ], [ 77 ], [ 126 ], Комплексная плоскость [ 23 ], [ 32 ], [ 39 ], [ 41 ], [ 43 ], [ 47 ], [ 50 ], [ 51 ], [ 76 ], [ 107 ], [ 112 ], [ 122 ], [ 129 ], [ 178 ], [ 180 ], [ 186 ], [ 204 ], [ 208 ], [ 213 ], Преобразования комплексной плоскости [ 17 ], Алгебра + геометрия: 1 Геометрия помогает алгебре [ 26 ], [ 48 ], [ 109 ], [ 169 ], Комплексные числа и геометрия [ 17 ], [ 31 ], [ 77 ], Тригонометрия [ 41 ], [ 44 ], [ 50 ], Уравнения и системы Уравнения третьей степени [ 25 ], [ 43 ], [ 44 ], [ 50 ], [ 97 ], [ 124 ], [ 126 ], [ 145 ], [ 153 ], [ 174 ], [ 181 ], [ 189 ], [ 190 ], [ 212 ], [ 230 ], Тригонометрические замены [ 72 ], Итерации [ 19 ], [ 23 ], [ 34 ], [ 51 ], [ 55 ], [ 67 ], [ 92 ], [ 95 ], [ 110 ], [ 143 ], [ 161 ], Системы линейных уравнений [ 32 ], [ 36 ], [ 43 ], [ 50 ], [ 61 ], [ 64 ], Неравенства [ 2 ], [ 27 ], [ 32 ], [ 34 ], [ 38 ], [ 48 ], [ 49 ], [ 51 ], Различные неравенства [ 3 ], [ 35 ], [ 41 ], [ 43 ], [ 47 ], [ 50 ], [ 53 ], [ 73 ], [ 78 ], [ 86 ], [ 87 ], [ 117 ], [ 128 ], [ 131 ], [ 139 ], [ 155 ], [ 164 ], [ 201 ], [ 202 ], [ 206 ], [ 207 ], Суммы и минимумы Выпуклость [ 3 ], [ 60 ], [ 149 ], Симметричные неравенства [ 133 ], Последовательности и ряды: 1 Конечные разности [ 10 ], [ 12 ], [ 13 ], [ 30 ], [ 37 ], [ 47 ], [ 70 ], [ 85 ], [ 101 ], Рекуррентные последовательности [ 12 ], [ 13 ], [ 47 ], [ 57 ], [ 62 ], [ 100 ], [ 106 ]. Путеводитель Производящие функции [ 6 ], [ 19 ], [ 30 ], [ 45 ], [ 47 ], [ 57 ], [ 101 ], [ 102 ], [ 107 ], [ 112 ], [ 118 ], [ 165 ], [ 220 ], Многочлены Гаусса [ 21 ], [ 30 ], Шутки и ошибки [ 4 ], [ 9 ], [ 13 ], [ 39 ], [ 96 ]. Приложение В Формулы и числа. Греческий алфавит альфа β бэта Γ гамма дельта эпсилон дзета эта тэта ι иота K каппа λ ламбда M мю ню o омикрон Ξ кси пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи 1 1 1 2 1 1 3 5 1 2 1 8 13 1 3 3 1 21 34 1 4 6 4 1 55 89 1 5 10 10 5 1 144 233 1 6 15 20 15 6 1 377 610 1 7 21 35 35 21 7 1 987 1597 1 8 28 56 70 56 28 8 1 2584 4181 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 6765 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 III. Степени, числа Каталана, факториалы n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 3 n 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 C n 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 IV. Константы Десятичная запись констант, наиболее часто возникающих в задачах знаков = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85697 . . . √ 3 = 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 . . . √ 5 = 2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 . . . Формулы и числа = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41972 . . . e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 . . . ϕ = 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 . . Двоичная запись тех же констант (40 знаков = 1,01101 01000 00100 11110 01100 11001 11111 10011 . . . √ 3 = 1,10111 01101 10011 11010 11101 00001 01100 00100 . . . √ 5 = 10,00111 10001 10111 01111 00110 11100 10111 11110 . . . π = 11,00100 10000 11111 10110 10101 00010 00100 00101 . . . e = 10,10110 11111 10000 10101 00010 11000 10100 01010 . . . ϕ = 1,10011 11000 11011 10111 10011 01110 01011 11111 . . . V. Многочлены. Многочлены Чебышёва: T 0 (x) = 1, U 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, U 1 (x) = 2x, T 2 (x) = 2x 2 − 1, U 2 (x) = 4x 2 − 1, T 3 (x) = 4x 3 − 3x, U 3 (x) = 8x 3 − 4x, T 4 (x) = 8x 4 − 8x 2 + 1, U 4 (x) = 16x 4 − 12x 2 + 1, T 5 (x) = 16x 5 − 20x 3 + 5x, U 5 (x) = 32x 5 − 32x 3 + 6x, T 6 (x) = 32x 6 − 48x 4 + 18x 2 − 1, U 6 (x) = 64x 6 − 80x 4 + 24x 2 − 1, T 7 (x) = 64x 7 − 112x 5 + 56x 3 − 7x, U 7 (x) = 128x 7 − 192x 5 + 80x 3 − 8x. 2. Многочлены Фибоначчи и Люка) = 0, L 0 (x) = 2, F 1 (x) = 1, L 1 (x) = x, F 2 (x) = x, L 2 (x) = x 2 + 2, F 3 (x) = x 2 + 1, L 3 (x) = x 3 + 3x, F 4 (x) = x 3 + 2x, L 4 (x) = x 4 + 4x 2 + 2, F 5 (x) = x 4 + 3x 2 + 1, L 5 (x) = x 5 + 5x 3 + 5x, F 6 (x) = x 5 + 4x 3 + 3x, L 6 (x) = x 6 + 6x 4 + 9x 2 + 2, F 7 (x) = x 6 + 5x 4 + 6x 2 + 1, L 7 (x) = x 7 + 7x 5 + 14x 3 + 7x, F 8 (x) = x 7 + 6x 5 + 10x 3 + 4x, L 8 (x) = x 8 + 8x 6 + 20x 4 + 16x 2 + 2, F 9 (x) = x 8 + 7x 6 + 15x 4 + 10x 2 + 1, L 9 (x) = x 9 + 9x 7 + 27x 5 + 30x 3 + 9x. 3. Многочлены Гаусса 1 1 1 1 + x 1 1 1 + x + x 2 1 + x + x 2 1 1 1 + x + x 2 + x 3 1 + x + 2x 2 + x 3 + x 4 1 + x + x 2 + x 3 1 Формулы и числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения ± x) = − cos x; sin(π ± x) = ∓ sin x; cos π 2 ± x = ∓ sin x; sin π 2 ± x = cos x; cos 3π 2 ± x = ± sin x; sin 3π 2 ± x = − cos x; tg π 2 ± x = ∓ ctg x; ctg π 2 ± x = ∓ tg x. 5. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов cos x; tg(x ± y) = tg x ± tg y 1 ∓ tg x tg y ; ctg(x ± y) = ctg x ctg y ∓ 1 ctg y ± ctg x 6. Тригонометрические функции кратных аргументов 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x; cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x = sin x (4 cos 2 x − 1); cos 4x = 8 cos 4 x − 8 cos 2 x + 1; sin 4x = 4 sin x cos x (2 cos 2 x − 1); tg 2x = 2 tg x 1 − tg 2 x ; ctg 2x = ctg 2 x − 1 2 ctg x ; tg 3x = 3 tg x − tg 3 x 1 − 3 tg 2 x ; ctg 3x = ctg 3 x − 3 ctg x 3 ctg 2 x − 1 7. Тригонометрические функции половинного аргумента x 2 = ± r 1 − cos x 2 ; cos x 2 |