alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
 Скачать 2 Mb.
|
|
= i tg(−π/2 + kπ/n) = i ctg(kπ/n) (1 6 k 6 n − 1). Для нахождения суммы квадратов корней раскроем в уравнении скобки по Ответы, указания, решения формуле бинома Ньютона и сделаем сокращения z n−1 + C n−3 n z n−3 + . . . = По теореме Виета σ 1 (z 1 , . . . , z n−1 ) = 0, σ 2 (z 1 , . . . , z n−1 ) = C n−3 n C n−1 n = (n − 1)(n − Далее, применяя результат задачи, д, находим z 2 1 + z 2 2 + . . . + z 2 n−1 = − (n − 1)(n − 2) 3 7.80 . Так как n = 1 + ctg 2 π m n = 1 − i ctg π m то n−1 X m=1 1 sin 2 π m n = n−1 X m=1 1 − i ctg π m n 2 = n − 1 − n−1 X m=1 i ctg π m Согласно задаче, последняя сумма равна − (n − 1)(n − 2) 3 . Следовательно. Воспользуйтесь тем, что 0 < 1 sin 2 x − 1 x 2 < при x ∈ (0; см. задачу) и результатом задачи 7.82 . Многочлен P(x) не имеет действительных корней, поэтому все его корни разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел z 1 , z 1 , . . . , z n , z см. задачу. Пусть n Y k=1 (x − z k ) = a(x) + Тогда n Y k=1 (x − z k ) = a(x) − Отсюда P(x) = a 2 (x) + b 2 (x) Ответы, указания, решения 7.85 . а) Параллельный перенос на вектор a; б) гомотетия с центром вначале координат и коэффициентом 2; в) поворот против часовой стрелки на угол ϕ вокруг начала координата+ б) w = 2z + 3 + в) w = (z − i) i + 1 √ 2 + где. Композиция гомотетий H k 1 A 1 : w = k 1 (z − A 1 ) + A 1 ; H k 2 A 2 : w = k 2 (z − A 2 ) + имеет вид w = k 1 · k 2 · z + k 2 (1 − k 1 )A 1 + (1 − Если k 1 · k 2 = 1 , то получаем параллельный перенос. Если же k 1 · k 2 6= то это гомотетия с коэффициентом k 1 · k 2 , центр A которой находится из уравнения k 1 · k 2 · z + k 2 (1 − k 1 )A 1 + (1 − k 2 )A 2 = k 1 · k 2 (z − A) + A. 7.93 . а) Воспользуйтесь задачей, а); б) Воспользуйтесь задачей, б); в) Воспользуйтесь задачей, а) – б. Формулу ( 7.1 ) можно переписать в виде w = a c − δ c(cz + где δ = ad − bc 6= Глава 8.1 . Сумма векторов, направленных из центра правильного угольника в его вершины, сохраняется при повороте на угол, поэтому она может быть только нулевым вектором. а) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность. б) Рассмотрим правильный семиугольник A 1 A 2 . . . A 7 . Пусть M точка пересечения диагоналей и A 2 A 5 . Равенство задачи следует из подобия треугольников ив) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного двена- дцатиугольника, вписанного в единичную окружность. cos 36 ◦ = √ 5 + 1 4 = ϕ 2 ; cos 72 ◦ = √ 5 − 1 4 = − b ϕ 2 8.6 . а) x = arccos 21 − √ 21 б) x = arccos 2 в) x = arccos 14 − √ 21 20 Ответы, указания, решения. Рассмотрите на координатной плоскости треугольник OAB, вписанный в прямоугольник OKLM, где O(0, 0), A(1, 2), B(3, 1), K(0, 2), L(3, 2) , M(3, 0). 8.8 . Рассмотрите равнобедренный треугольник с углом при вершине. Сделайте замены x = p − a, y = p − b, z = p − c. Ответ 2. 8.10 . Раскройте скобки в формуле Герона. Ответ 3 · 5 4 6 S 6 3 · 8 4 8.11 . x k = 2kπ 7 (k = 1, 2, 3); x 3 + x 2 − 2x − 1 = 0. 8.12 . Система приобретает геометрический смысл, если положить x = cos α, y = cos β, z = cos γ. 8.13 . Равенство x 2 + xy + y 2 = можно трактовать как теорему косинусов в треугольнике со сторонами x, y, a и углом 120 ◦ . Ответ + yz + xz = r p(p − a)(p − b)(p − где p = a + b + c 2 8.14 . а) Часть прямой, проходящей через точки и z 2 , расположенная вне отрезка [z 1 ; б) Внутренность отрезка, соединяющего точки и z 2 8.21 . W(z 0 1 , z 0 2 , z 0 3 , z 0 4 ) = W(z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ). 8.26 . а) w = i + 1 z + б) w = Re iϕ + R 2 z − в) w = z 0 + R 2 z − z 0 8.28 . A 0 = Aa¯ a + Ba¯ c − Ba¯ c + Cc¯ c , B 0 = Aa¯ b + Ba¯ d − Bc¯ b + Cc¯ d , C 0 = Ab¯ b + Bb¯ d − ¯ B¯ bd + Cd¯ d 8.38 . а) б) 1/16. 8.39 . Найдите отдельно произведения и cos 3π 15 cos 6π 15 8.40 . Сделайте умножение на sin a. 8.41 . а + 1 2 n ; б) √ n 2 n−1 ; в) 1 г 8.43 . Домножьте уравнение на 32 sin πx 31 . Ответ x 1 = 2n , n 6= 31l; x 2 = 31 33 (2n + 1) , n 6= 33l + 16 (n, l ∈ Z). 8.45 . Изданных соотношений находим 2β = 3 2 sin 2α, 3 sin 2 α = 1 − 2 sin 2 β = cos 2β. Ответы, указания, решения 219 Отсюда cos(α + 2β) = cos α · 3 sin 2 α − sin α · 3 2 sin 2α = 0. 8.46 . а) Воспользуйтесь равенствами sin 15 ◦ = sin(45 ◦ − и cos 15 ◦ = cos(45 ◦ − б) Воспользуйтесь результатом задачи 8.47 . Воспользуйтесь равенствами sin 6 ◦ = sin(60 ◦ − и sin 54 ◦ = = cos 36 ◦ 8.48 . а) На первом шаге нужно применить формулы для суммы и разности синусов к величинами+ б) Решается аналогично предыдущему пункту. Сумма tg α + tg β + tg γ приводится к виду tg α + tg β + tg γ = sin(α + β + γ) + sin α sin β sin γ cos α cos β cos γ 8.50 . α + β + γ = kπ. 8.51 . Воспользуйтесь равенством а) из задачи 8.55 . n = ±1, ±3, ±5, ±15. 8.58 . Наибольшее значение — 1, наименьшее — 1/4. 8.59 . Воспользуйтесь равенством = ( sin 2 x + cos 2 x) 2 = sin 4 x + cos 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x. 8.63 . x = 2(cos α + cos β + cos γ) + 8 cos α cos β cos γ; y = −2 − 4( cos α cos β + cos α cos γ + cos β cos γ); z = 2( cos α + cos β + cos γ). 8.64 . а) 9π 14 ; б) − π 10 8.65 . а) Пусть y = arcsin x (−π/2 6 x 6 π/2). Тогда sin y = x, cos y = = p 1 − sin 2 y = √ 1 − x 2 , причем перед корнем выбирается знак плюс, так как cos y > 0. Остальные формулы доказываются аналогично. На основании определения имеем x < π 2 , 0 6 arcctg x 6 Отсюда x + arcctg x Остается проверить равенство sin(arctg x + arcctg x) = Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что x + arccos x < 3π 2 Ответы, указания, решения и найти sin(arcsin x + arccos x). 8.68 . π/2 при x > 0 и −π/2 при x < 0. 8.69 . Прежде всего нетрудно показать, что величины arctg x + arctg y и arctg x + y 1 − xy отличаются друг от друга на επ, где ε — целое число. Действительно, tg(arctg x + arctg y) = x + y 1 − xy = tg x + y 1 − Так как < arctg x + arctg y < то ε может принимать лишь три значения 0 и ±1. Для нахождения рассмотрите косинусы левой и правой частей исходного равенства. 8.70 , 8.71 Воспользуйтесь формулой из задачи 8.74 . По формуле котангенса суммы ctg(arcctg F 2n − arcctg F 2n+2 ) = F 2n F 2n+2 + 1 F 2n+2 − F 2n = Тем самым равенство ( 8.2 ) доказано. Суммируя его по n от 1 до ∞, находим arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 + . . . + arcctg F 2n+1 + . . . = arcctg 1 = π/4. 8.75 . Пусть α = 2 arctg x + arcsin 2x 1 + x 2 . Докажите, что угол α лежит в пределах 0 < α 6 3π/2 и sin α = 0. 8.76 . 0 6 x 6 4. 8.80 . arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = π/2. 8.82 . По формуле из задачии 8.69 2 arctg 1/5 = arctg 5/12. Ответ 0. 8.83 . Для доказательства соотношения a = b cos γ + c cos β воспользуйтесь равенством sin α = sin β cos γ + cos β sin Другие соотношения проверяются аналогично. Из первых двух равенств системы ( 8.4 ) находим = c( cos α + cos β cos γ) sin 2 γ , a = c( cos β + cos α cos После подстановки этих равенств в третье уравнение системы, приходим к соотношению − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ − 2 cos α cos β cos γ = 0. Ответы, указания, решения 221 Отсюда cos α + cos β cos γ = sin α sin β, cos β + cos α cos γ = sin α sin γ, α + β + γ = π , a sin γ = c sin α, b sin γ = c sin β. 8.86 . Из первого равенства cos A = cos α − cos β cos γ sin β sin Отсюда sin 2 A = 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin 2 β sin 2 γ , sin 2 A sin 2 α = 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos Так как данные формулы переходят одна в другую при круговой перестановке переменных α, β, γ, A, B, C и от этого преобразования правая часть последнего равенства не меняется, то Так как все величины α, β, γ, A, B, C заключены в пределах от 0 до то sin A sin α = sin B sin β = sin C sin Глава 9.2 . После подстановки z = x + β, коэффициент при оказывается равен A + 3β. Поэтому нужно выбрать β = −A/3. 9.3 . а) Функция f(x) = x 3 + px — нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. б) График функции f(x) = = x 3 + px + q получается из графика функции f(x) = x 3 + px параллельным переносом, поэтому он также имеет центр симметрии. в) Из задачи 9.2 следует, что функция f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d может быть получена из функции f(x) = x 3 + px + q линейной заменой переменной и умножением на число. Оба эти преобразования сохраняют свойство графика иметь центр симметрии. Приведите уравнение к виду 2x 3 + (x + 1) 3 = 0 9.6 . Воспользуйтесь условиями x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = 0 , x 1 x 2 x 3 = b > 0 9.7 . Числа a и b должны удовлетворять системе уравнений a 3 + b 3 = −q, a 3 b 3 = −p 3 /27. Ответы, указания, решения Поэтому и можно найти как корни квадратного уравнения y 2 + + qy − p 3 /27 = То есть a 3 , b 3 = − q 2 ± r q 2 4 + p 3 27 ; a, b = 3 s − q 2 ± r q 2 4 + p 3 27 9.8 . Разложение выглядит следующим образом+ b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a + bω + cω 2 )(a + bω 2 + Здесь ω и ω 2 — кубические корни из 1: ω = −1 + i √ 3 2 , ω 2 = −1 − i √ 3 2 9.9 . x 1 = a + b , x 2 = aω + bω 2 , x 3 = aω 2 + bω , где ω и кубические корни из 1 (смотрите задачу. Так как a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac = (a + bω + cω 2 )(a + bω 2 + cω), x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz = (x + yω + zω 2 )(x + yω 2 + то+ b 2 + c 2 − ab − bc − ac)(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz) = = (X + Yω + Zω 2 )(X + Yω 2 + Zω) = X 2 + Y 2 + Z 2 − XY − YZ − XZ. 9.11 . Формула Кардано получается, если воспользоваться ответом задачи 9.7 и формулой для корня из задачи. Для того, чтобы найти два других корня, заметим, что при нахождении чисел a и b кубический корень можно извлечь тремя способами. Всего получается 9 комбинаций x видано только три из них будут корнями, поскольку a и b связаны условием a · b = −p/3. Если в качестве a и взять пару чисел из решения задачи, то кроме корня x 1 = a + исходное кубическое уравнение будет иметь корни x 2 = ωa + ω 2 b и ω 2 a + ωb , где ω — кубический корень из 1. 9.12 . Подбором находим корень x 0 = 1 . Так как x 3 + x − 2 = (x − 1)(x 2 + x + то других действительных корней нет. Поэтому формула Кардано дает корень x 0 = 1 : 1 = 3 s 1 + r 1 + 1 27 + 3 s 1 − r 1 + 1 27 Ответы, указания, решения 9.13 . x 3 + 3/4x − 7/4 , α = 1. 9.14 . При a ∈ − 2 3 √ 3 ; 2 уравнение имеет 3 решения, при a = = ± 2 3 √ 3 — два решения и при a / ∈ h − 2 3 √ 3 ; 2 3 √ 3 i — 1 решение. По формуле Кардано находим корень x 1 = 2/ √ 3 . После деления столбиком, приходим к равенству x 3 − x − 2 3 √ 3 = x − 2 √ 3 x 2 + 2 √ 3 + 1 Полученный квадратный трехчлен оказывается полным квадратом. В итоге получается, что уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают. Ответ x 1 = 2/ √ 3 , x 2 = x 3 = −1/ √ 3 9.16 . Воспользуйтесь равенством x 1 + x 2 + x 3 = 0 9.17 . D(x 3 + px + q) = −4p 3 − 27q 2 9.18 . Решение непосредственно следует из результата задачи 9.19 . a = 1, b = 2, x 1,2 = 1 ± √ −5 9.25 . а) x k = 2 cos π 1 + 6k 9 (k = 0, 1, б) x k = 2 cos π 1 + 12k 18 (k = 0, 1, 2). 9.27 . Вычитая из одного уравнения другое, находим − p 0 )x + (q − q 0 ) = Умножая первое уравнение на q 0 , а второе на q и вычитая почленно, будем иметь x 3 (q 0 − q) + x(pq 0 − qp 0 ) = 0, x 2 (q 0 − q) + pq 0 − qp 0 = Исключая теперь из уравнений ( 13.7 ) и ( 13.8 ) переменную x, получим искомый результат. Чтобы правая часть уравнения 9.5 была полным квадратом необходимо и достаточно выполнение двух условий дискриминант равен нулю старший коэффициент неотрицателен. Запишем эти условия в явном виде) = (C + α 2 )(A + 2α) − B 2 = 0, α > Первое соотношение является кубическим уравнением относительно Его корни могут быть найдены по формуле Кардано. Остается заметить, что) = −B 2 6 0, lim α →∞ D(α) = ∞, Ответы, указания, решения поэтому один из найденных корней обязательно будет удовлетворять условию α > −A/2. 9.30 . Сделайте замены x = cos t, y = sin t, t ∈ [0; 2π]. 9.31 . (x, y, z) = cos 2πk 9 , cos 4πk 9 , cos 8πk 9 (k = 0, . . . , 4), или, y, z) = cos 2πk 7 , cos 4πk 7 , cos 8πk 7 (k = 1, 2, 3). 9.32 . Представьте семь данных чисел как тангенсы некоторых углов. Сделайте замены x = 2 cos ϕ, y = 2 sin ϕ, z = 3 cos ψ, t = 3 sin ψ. 9.34 . а) Сделайте замену x = cos t. Ответ x ∈ − 1 √ 2 , p 2 + √ 2 2 , − p 2 − √ 2 б) Ответ x ∈ {5/3, 5/4}; в) Сделайте замену x = sin t, t ∈ [−π/2; π/2]. Относительно t уравнение будет иметь одно решение t = π/5. Ответ x = г) Сделайте замену x = cos t. 9.35 . Если h n = sin 2α, то h n+1 = sin α. Поскольку то задача сводится к оценке суммы S = ∞ P n=1 sin π 3 · 2 n . Из неравенства sin x < x (x > 0) находим < 1 2 + ∞ X n=2 π 3 · 2 n = 1 2 + π 6 < 1,03. 9.36 . Сделаем замену x = cos t, t ∈ [0; π/2]. Уравнение перепишется в виде 8 cos t cos 2t cos 4t+1 = 0. Домножая на sin t, получаем, что корни последнего уравнения лежат среди корней уравнения sin 8t + sin t = или sin(7t/2) cos(9t/2) = 0. Решая уравнение и делая проверку, находим, что на отрезке [0; π/2] лежит 3 корня. Ответ 3. 9.40 . б) Система может быть переписана в виде = 2x 1 − x 2 z = 2y 1 − y 2 x = 2z 1 − После замены x = tg α, α ∈ (−π/2, π/2) получаем, что y = tg 2α, z = tg 4α, x = tg 8α. Решая уравнение tg α = tg 8α, находим, что α = πk 7 , −4 6 x 6 3. Ответ (x, y, z) = (tg πk 7 , tg 2πk 7 , tg 4πk 7 ) (−3 6 k 6 3). 9.43 . Сделайте замены a = 2 − x, b = 2 − y, c = 2 − z, a = 2 cos α. Ответы, указания, решения 9.44 . После замены x = sin t, t ∈ [−π/2; π/2], приходим к уравнению r 1 + sin 2t 2 = cos Решая его, находим sin 2t = −1 или sin 2t = 1/2, где t ∈ [−π/4; Отсюда t = −π/4 или t = π/12. Ответ x ∈ − 1 √ 2 , p 2 − √ 3 2 9.46 . Обозначим через d разность d n = x n − √ 2 . Тогда последовательность будет удовлетворять рекуррентному соотношению d n+1 = d 2 n 2( √ 2 + d n ) (n > Если для некоторого n окажется, что 0 < d n < 1 , то начиная с этого момента d будет убывать не медленнее, чем геометрическая прогрессия. В нашем случае d 2 = 3/2 удовлетворяет нужному условию, поэтому lim n →∞ d n = 0, lim n →∞ x n = √ 2. 9.47 . Последовательность будет сходиться к − √ 2 9.48 . Как и при решении задачи, обозначим через d разность d n = x n − √ k . Тогда d n+1 = d 2 n 2( √ k + d n ) (n > Последовательность n } оказывается монотонной и ограниченной. Значит она имеет предел, который может быть только равным 0. 9.49 . Воспользуйтесь методом математической индукции. a n = 2a 1 + a 0 3 + (−1) n a 1 − a 0 3 · 2 n−1 9.51 . Рассмотрите последовательность, которая задается условиями y n+1 = s r q p x 3 y n (n > 0). 9.52 . Так как lim k →∞ ln N 1/2 k N 1/2 k − 1 = то ln N = lim k →∞ 2 k (N 1/2 k − 1). Ответы, указания, решения При вычислении ln N на калькуляторе не следует брать k очень большим, поскольку это приводит к росту погрешности. Пусть OAKB — данный прямоугольник, расположенный на координатной плоскости так, что его вершины имеют координаты O(0; 0), A(a; 0) , K(a; b), B(0; b). Тогда искомая точка будет иметь координаты x = aq 1 − q 4 , y = aq 4 1 − где q = √ 5 − 1 2 = − b ϕ. 9.60 . Как и при решении задачи, обозначим через d разность d n = a n − 3 √ a . Тогда d n+1 = 2d 3 n + 3d 2 n 3 √ a 3( 3 √ a + d n ) 2 |