alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике

• Название: Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
• Дата: 27.01.2020
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: alfutova(алгебра и теория чисел).pdf
• Тип: Сборник задач; #106051
• страница: 23 из 23

=
±
r
1 +
cos x
2
;
tg x
2
=
±
r
1 −
cos x
1 +
cos x
=
sin x
1 +
cos x
=
1 −
cos x sin x
;
ctg x
2
=
r
1 +
cos x
1 −
cos x
=
1 +
cos x sin x
=
sin x
1 −
cos x
8. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 2x =
2
tg x
1 +
tg
2
x
;
cos 2x =
1 −
tg
2
x
1 +
tg
2
x
;
tg 2x =
2
tg x
1 −
tg
2
x
;
ctg 2x =
1 −
tg
2
x
2
tg x

Формулы и числа 9. Суммы и разности тригонометрических функций α + cos β = 2 cos
α + β
2
cos
α − β
2
;
cos α − cos β = −2 sin
α + β
2
sin
α − β
2
;
sin α ± sin β = 2 sin
α
± β
2
cos
α
∓ β
2
;
tg α ± tg β =
sin(α ± β)
sin α sin β
;
ctg α ± ctg β =
sin(α ± β)
sin α sin β
10. Произведения тригонометрических функций α sin β =
1 2
[
cos(α − β) − cos(α + β)];
cos α cos β =
1 2
[
cos(α − β) + cos(α + β)];
sin α cos β =
1 2
[
sin(α − β) + sin(α + β)];
tg α tg β =
tg α + tg β
ctg α + ctg β
11. Степени тригонометрических функций =
1 2
(1 −
cos 2x);
cos
2
x =
1 2
(1 +
cos 2x);
sin
3
x =
1 4
(3
sin x − sin 3x);
cos
3
x =
1 4
(3
cos x + cos 3x);
sin
4
x =
1 8
(
cos 4x − 4 cos 2x + 3);
cos
4
x =
1 8
(
cos 4x + 4 cos 2x + 3).
12. Введение вспомогательного аргумента sin x ± b cos x
=
√
a
2
+ b
2
·

a
√
a
2
+ b
2
sin x ±
b
√
a
2
+ b
2
cos x

=
=
√
a
2
+ b
2
· (sin x cos ϕ ± cos x sin ϕ) =
=
√
a
2
+ b
2
· sin(x ± где ϕ = arcsin b
√
a
2
+ В частности x ± cos x =
√
2
· sin

x
±
π
4

13. Решение простейших тригонометрических уравнений x = a,
|a| 6 1 ⇐⇒ x = (−1)
n arcsin a + πn
(n
∈ Z);
cos x = a,
|a| 6 1 ⇐⇒ x = ± arccos a + 2πn (n ∈ Z);
tg x = a
⇐⇒ x = arctg a + πn (n ∈ Z);
ctg x = a
⇐⇒ x = arcctg a + πn (n ∈ Z).

Формулы и числа. Таблица квадратов 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 20 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 30 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 40 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 50 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 60 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 70 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 80 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 90 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
VIII. Таблица простых чисел
В таблицу помещены первые 275 простых чисел 101 233 383 547 701 877 1049 1229 1429 1597 3
103 239 389 557 709 881 1051 1231 1433 1601 5
107 241 397 563 719 883 1061 1237 1439 1607 7
109 251 401 569 727 887 1063 1249 1447 1609 11 113 257 409 571 733 907 1069 1259 1451 1613 13 127 263 419 577 739 911 1087 1277 1453 1619 17 131 269 421 587 743 919 1091 1279 1459 1621 19 137 271 431 593 751 929 1093 1283 1471 1627 23 139 277 433 599 757 937 1097 1289 1481 1637 29 149 281 439 601 761 941 1103 1291 1483 1657 31 151 283 443 607 769 947 1109 1297 1487 1663 37 157 293 449 613 773 953 1117 1301 1489 1667 41 163 307 457 617 787 967 1123 1303 1493 1669 43 167 311 461 619 797 971 1129 1307 1499 1693 47 173 313 463 631 809 977 1151 1319 1511 1697 53 179 317 467 641 811 983 1153 1321 1523 1699 59 181 331 479 643 821 991 1163 1327 1531 1709 61 191 337 487 647 823 997 1171 1361 1543 1721 67 193 347 491 653 827 1009 1181 1367 1549 1723 71 197 349 499 659 829 1013 1187 1373 1553 1733 73 199 353 503 661 839 1019 1193 1381 1559 1741 79 211 359 509 673 853 1021 1201 1399 1567 1747 83 223 367 521 677 857 1031 1213 1409 1571 1753 89 227 373 523 683 859 1033 1217 1423 1579 1759 97 229 379 541 691 863 1039 1223 1427 1583 1777

Предметный указатель
Аксиома индукции Алгоритм вавилонский вычисления Евклида 29 – 33, 40, 42, 179
— — для многочленов 84 – 89
— жадный 174, Алфавит греческий 253
— племени Мумбо-Юмбо 13, Анаграммы Аргумент комплексного числа Бином Ньютона 18, 21, 106, 182,
212, Биномиальный коэффициент 106,
149 – Вероятность 23, 156, Гомотетия Деление с остатком многочленов — чисел Диаграмма Юнга 147, 148, 162,
228, 236, 237
— — мажорирующая 147, Дискриминант 123
— кубического уравнения 124
Дискриминантная кривая для кубического уравнения 124
— парабола 83, Дроби бесконечные непрерывные — периодические 45 – 46
— — чисто периодические 45
— десятичные 73 – 74
— — периодические 69
— — чисто периодические 73
— подходящие 42
— цепные (непрерывные) 41 – Задача Бхаскары 71
— Иосифа Флавия 78
— Леонардо Пизанского 37
— Сильвестра 12
— Ферма Золотое сечение 39, Игра Йога 50, 79
— Ним 79, 201
— Шоколадка 79, 201
— на монотонности Инверсия Итерационная ломаная Календарь восточный 68
— Григорианский 43, 166
— персидский 45
— Юлианский Квадратичная иррациональность
45
Класс вычетов Комплексная плоскость 99
— — расширенная Конечная разность 149 – 153
— — первого порядка 150
— — порядка n Корень й степени из комплексного числа 102
— квадратный из комплексного числа 101
— многочлена кратный 91
— — простой 91
— — рациональный 91
— цифровой Коэффициенты биномиальные – 23, 163
— — обобщенные 41
— фибоначчиевы 41, Круговое свойство дробно-линей- ных отображений 113
— — инверсии Лягушка путешественница 155
— сапер Марсианские амебы 50, 79, Метод Архимеда 135
— Виета 124
— возведения в степень, бинарный

Предметный указатель Гаусса Метод итераций 129
— Лобачевского 135
— математической индукции 6 –
12, 165
— неопределенных коэффициентов Ньютона 133, 222
— спуска Многочлен 81 – 98
— Гаусса 163 – 164, 254
— Лагранжа интерполяционный – 98
— Люка 155, 160, 231, 254
— положительный 108
— симметрический 93 – 96, 146 –
148
— Фибоначчи 155, 160, 231, 254
— целозначный 152
— Чебышёва 103, 155, 160, 210, 254
— элементарный симметрический
93
Множество Кантора Модуль комплексного числа Набор показателей 146
— — мажорирующий 147
— — несравнимый Наибольший общий делитель многочленов чисел Наименьшее общее кратное Неполные частные Неравенство 140 – 148
— Бернулли 9
— Гёльдера 145
— Иенсена 145, 226, 227
— Коробова 142
— Коши – Буняковского 143
— между средним арифметическими средним геометрическими средним квадратиче- ским 143
— Минковского 145
— Мюрхеда 148
— симметрическое 146 – 148
— Чебышёва 142
Ним-сумма 78 – 80, Окружность Аполлония Окружность Эйлера 115
Ортоцентр треугольника Осевая симметрия Основная теорема алгебры 104
— — арифметики Отношение двойное 113
— — четырех точек 113
— трех точек Отображение дробно-линейное
109 – 110
— комплексной плоскости Параллельный перенос Перестановка 16, Период десятичной дроби 69
— непрерывной дроби Племя Мумбо-Юмбо 13, Поворот Последовательность линейная рекуррентная Люка 40
— Морса 77
— Фибоначчи Правило знаков Декарта 87
— произведения 13
— суммы 13
Предпериод десятичной дроби 69
— непрерывной дроби Преобразование Абеля 151
— комплексной плоскости Преферанс 19, Признак делимости 63 – 65
— — на 2, 4 и 8 63
— — на 19 64
— — на 3 и 9 65
— — на числа вида 10
k n
± 1 64
— — Паскаля Принцип Дирихле 14 – 16, 52, 58,
190, Производящая функция 157 – 163
— — многочленов Люка 160
— — — Фибоначчи 160
— — — Чебышёва 160
— — чисел Каталана 162
— — — Люка 160
— — — Фибоначчи 160

Предметный указатель
265
Прямая корневая 83, Прямая Симсона 115
— Эйлера Радикальная ось Радикальный центр Разбиение прямоугольника 42
— числа 161 – Размещения 16
Результант 81
Репьюнит 5, 73 – Ряд обратных квадратов 108
— формальный степенной Свойства подходящих дробей 42 –
43
— сравнений 53
— чисел Фибоначчи Свойство шестиугольника Система вычетов полная 53, 67
— — приведенная 60, 67
— сравнений 65 – 66
— счисления биномиальная 21
— — в остатках 65
— — двоичная 36, 73, 75 – 80, 201 –
202, 236, 254
— — десятичная 73 – 74
— — позиционная 6
— — троичная 75 – 80
— — факториальная 8
— — фибоначчиева 38, 167
— уравнений, линейных 136 – Сочетания Сравнения 53 – 68
— с одним неизвестным Среднее арифметико-гармониче- ское 132
— арифметико-геометрическое 132
— арифметическое 9, 145, 148
— гармоническое 145
— геометрико-гармоническое 133
— геометрическое 9, 145, 148
— квадратическое 145
— степенное 145 – Степень точки относительно окружности Схема Горнера 88, Счастливые билеты 159, Теорема Безу 84, 203, 204, 206
— Валена 46
— Вейерштрасса 128, 222
— Виета 93 – 96, 212
— — для квадратного уравнения, 203
— Вильсона 57
— Вильсона, обратная 57
— Гаусса – Люка 107
— Евклида 27
— китайская об остатках для многочленов для чисел 65 – 68, 196
— Клемента 57
— косинусов 120, 214
— — для трехгранного угла 120
— Лагранжа 46
— — оконечном приращении 222
— Ламе 40
— Лежандра 46
— Лейбница 57
— Лиувилля 153
— Люка 38
— о рациональных корнях многочлена о симметрических многочленах о трех центрах подобия 109
— основная алгебры 104
— — арифметики 33
— полиномиальная 19, 58
— синусов 120
— — для трехгранного угла 120
— Ферма малая 58 – 62, 192 – 195
— Эйлера 11, 35, 58 – 62, 195, Термит Тождество Гаусса 61
— Кассини 37, 183
— Фибоначчи Треугольник Лейбница, гармонический Паскаля 20, 22, 39 – 41, 175, Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрические замены 126 –
127
— тождества 255 – Уравнение биквадратное 101

Предметный указатель
Уравнение кубическое 122 – 126
— — неприводимый случай 124
— характеристическое 153 – Фазовая плоскость для квадратного уравнения 83
— — для кубического уравнения
124
Факториал 7, Формула го члена линейной рекуррентной последовательности для чисел Каталана 26, 163, 236
— Бине 39, 155, 160, 182
— включений и исключений 23 –
25, 60, 175 – 176
— Герона 121, 214
— — итерационная 128
— Кардано 123, 124, 218 – 219
— Лежандра 36, 181, 189
— Муавра 102, 105, 209, 210
— Ньюкома 185
— Ньютона,
интерполяционная
152
— Рамануджана 121
— сложного радикала 71
— сокращенного умножения 89
— Тэйлора для многочлена 89
— Эйлера Функция ν(n) 76, 200, 236
— σ(n) 34 – 35, 181
— τ(n) 34, 61
— вполне мультипликативная 35
— выпуклая вверх (вниз) 144
— гармоническая 153
— многозначная 211
— мультипликативная 33 – 36
— показательная от комплексного аргумента 105
— производящая 157 – 164
— — многочленов Люка 160
— — — Фибоначчи 160
— — — Чебышёва 160
— — — Каталана Функция производящая чисел Люка Фибоначчи 160, 235
— Эйлера ϕ(n) 60 – 62, 66, 67, 193 –
194, Ханойская башня 10, 78, Цифровой корень числа Числа автоморфы 67
— гармонические 57
— дружественные 35
— Евклида, e n
28, 55
— из электрической розетки 45
— иррациональные 69 – 73
— Кармайкла 62
— Каталана C
n
25 – 26, 163, 253
— комплексно сопряженные 99
— комплексные 99 – 110
— Люка L
n
40, 135, 155, 160, 183,
223
— Мерсенна 29, 35, 181
— несоизмеримые 69
— простые 27 – 29, 55, 257
— — близнецы 28, 57
— рациональные 69 – 73
— совершенные 35, 63, 181
— составные 27 – 28
— Ферма f n
28, 31
— Фибоначчи, F
n
36 – 41, 47, 119,
134 155, 160, 182 – 184, 222, Число π 5, 108, 135, 253
—
√
2 46, 73
— 1/7 74
—
√
2 128, 131, 154, 253
— e 5, 72, 73, 142, 198, 223, 253
— i 5, 99
— Фейнмана 69
— Фидия, ϕ 5, 39, 160, 213, Шахматный город Экспонента 151, 159
— комлексного аргумента 105

Оглавление
Предисловие
3
Обозначения
5 Метод математической индукции Аксиома индукции Тождества, неравенства и делимость Индукция в геометрии и комбинаторике 2. Комбинаторика Сложить или умножить Принцип Дирихле Размещения, перестановки и сочетания Формула включений и исключений Числа Каталана
25 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики Простые числа Алгоритм Евклида Мультипликативные функции О том, как размножаются кролики Цепные дроби 4. Арифметика остатков Четность Делимость Сравнения Теоремы Ферма и Эйлера Признаки делимости Китайская теорема об остатках 5. Числа, дроби, системы счисления Рациональные и иррациональные числа Десятичные дроби Двоичная и троичная системы счисления 6. Многочлены Квадратный трехчлен Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу
86 Разложение на множители Многочлены с кратными корнями Теорема Виета
95 Интерполяционный многочлен Лагранжа 7. Комплексные числа Комплексная плоскость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Преобразования комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . 110 8. Алгебра + геометрия Геометрия помогает алгебре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Комплексные числа и геометрия. . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Тригонометрия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Предметный указатель. Уравнения и системы Уравнения третьей степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Тригонометрические замены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Итерации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Неравенства Различные неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Суммы и минимумы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Выпуклость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Симметрические неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Последовательности и ряды Конечные разности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Рекуррентные последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . 155 Производящие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Многочлены Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Шутки и ошибки
168
Ответы, указания, решения
172
Глава 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Литература
244
А. Программа курса
253
Б. Путеводитель
255
В. Формулы и числа
258
I.
Греческий алфавит. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи. . . . . . . . . Степени, числа Каталана, факториалы. . . . . . . . . . Константы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Многочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные тригонометрические тождества. . . . . . . . . Таблица квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Таблица простых чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель
263
Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Оглавление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Надежда Борисовна Алфутова,
Алексей Владимирович Устинов
Алгебра и теория чисел.
Сборник задач для математических школ
Издательство Московского Центра непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 27.6.2002 г. Формат 60 × 90 1
/
16
. Бумага офсетная № Печать офсетная. Печ. л. 16,5. Тираж 2000 экз. Заказ №
МЦНМО
121002, Москва, Большой Власьевский пер, Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Облиздат».
248640, г. Калуга, пл. Старый торг, д. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга»,
Большой Власьевский пер, д. 11. Тел. [phone]. E-mail: [e-mail]