вкр. План ВКР 2. Сборник задач по теме Элементы комбинаторики и теории вероятностей Заключение
 Скачать 39.48 Kb.
|
|
Элементы комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики Введение………………………………………………………………………...…2 Глава 1. Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей в школьном курсе математики………………………………..….3 История развития теории вероятностей и комбинаторики……………..5 Анализ школьных учебников для 5-9 классов, включающих в себя материал теории вероятностей и комбинаторики……………………...7 Анализ школьных учебников для 10-11 классов, включающих в себя материал теории вероятностей и комбинаторики……………………...8 Требования ФГОС к преподаванию вероятно-комбинаторной линии в школьном курсе маематики………………………………………………9 Выводы по первой главе………………………………………………….10 Глава 2. Теория вероятностей и комбинаторики в заданиях ОГЭ и ЕГЭ….…8 Теория вероятностей и комбинаторика в заданиях ОГЭ …………..….8 Теория вероятностей и комбинаторика в заданиях ЕГЭ …………..….9 Олимпиадные задания по теории вероятностей и комбинаторике…..10 Выводы по второй главе…………………………………………………11 Глава 3. Реализация практических заданий по теме «Комбинаторика и теория вероятностей»………………………………………………………………….…8 3.1 Сборник задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»……………………………………………………………………9 Заключение…………………………………………………………….………..11 Список используемой литературы………………………………….…………12 История развития теории вероятностей и комбинаторики История развития теории вероятностей начинается с систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появления соответствующего математического аппарата. В начале XVII века знаменитый физик Галилей уже пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности. Необходимо было начать изучение закономерности случайных явлений на более простом материале. Таким материалом исторически оказались «азартные игры». Эти игры с давних времен создавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независим от поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Само слово «азарт» произошло от французского «lehasard» и означает «случай». Схемы «азартных игр» дают исключительные по простоте и прозрачности модели случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы, а возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условии действительной массовости явлений. Вплоть до настоящего времени примеры из области «азартных игр» и аналогичные им задачи на «схему урн» широко применяются при изучении теории вероятностей как упрощенные модели случайных явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядном виде основные законы и правила теории вероятностей. Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623-1662 гг.), Ферма (1601-1665 гг.) и Гюйгенса (1629-1695 гг.) в области «теории азартных игр». В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли прежде всего в задачах страхования. В 30-е годы XVIII века классическое понятие вероятности стало общепринятым в употребление. Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705 гг.). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемый «закон больших чисел», а также в трактате Бернулли «Искусство предположений» присутствуют уже обе концепции вероятности – классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрение и использование. Яков Бернулли дал простейшую формулировку «закона больших чисел», которая устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления. Однако уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому возникла необходимость его расширения. Таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Жоржа-Луи Бюффона (1707-1788 гг.), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение. В XX столетии интерес к геометрической вероятности многократно возрос. Помимо чисто математического интереса, такие задачи приобрели и серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и других областях. Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Муавра (1667-1754 гг.). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый «нормальный закон» (иначе - «закон Гаусса»). Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновавшие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральная предельная теорема». Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу (1749-1827 гг.). Он впервые дал систематически стройное изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы (теорема Муавра-Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности к анализу ошибок наблюдений и измерений. Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777-1855 гг.), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метод наименьших квадратов». Следует также отметить работы Пуассона (1781-1840 гг.), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместное увлечение ее изучением. В это время в России создается знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Среди ученых Петербургской математической школы следует отметить В.Я. Буняковского (1804-1889 гг.) – автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии. Учеником В.Я. Буняковского был великий русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894 гг.). Среди обширных и разнообразных математических трудов П.Л. Чебышеву принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П.Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов. Учеником П.Л. Чебышева был А.А. Марков (1856-1922 гг.), также обогативший теорию вероятностей открытиями и методами большой важности. А.А. Марков существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А.А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей – теории случайных, или «стохастических», процессов. Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворок науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук. Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, тесно связанную с потребностями практики и техники. А.Я. Хинчин (1893-1959 гг.) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, и главным образом своими исследованиями в области так называемых стационарных случайных процессов. Подход, предложенный А.Н. Колмогоровым, тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, а также теорией множеств. Аксиоматическое построение теории вероятностей отталкивается от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. На этой базе удалось построить логически совершенное задание современной теории вероятностей и то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания. В.И. Романовский (1879-1954 гг.) и Н.В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е.Е. Слуцкий (1880-1948 гг.) – в теории случайных процессов, Б.В. Гнеденко – в области теории массового обслуживания, Е.Б. Дынкин – в области марковских случайных процессов, В.С. Пугачев – в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления. Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с требованиями практики. Значительные работы в этой области принадлежат таким ученым, как Н. Винер, В. Феллер, Д. Дуб. Важные работы в области теории вероятностей и математической статистики принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру. За последние годы появились методы применения прикладной теории вероятностей. Речь идет о таких дисциплинах, как «теория информации» и «теория массового обслуживания». Связь теории вероятностей с практическими потребностями была основной причиной ее бурного развития в последние годы. Намного раньше началось развитие комбинаторики. Ее история освещает развитие большого раздела конечной математики, который исследует в основном различные способы выборки заданного числа m элементов из заданного конечного множества: размещения, сочетания, перестановки, перечисления и смежные проблемы. Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н.э.). По мнению ее авторов, все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в «Го» и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времен неизменно вызывали магические квадраты. Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается еще в сутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н.э.). Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. Во II веке до н.э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна 2n. Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп (III век до н.э.) и Гиппарх (II век до н.э.) подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом; методика подсчета нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось более миллиона, а у Гиппарха – более 100000. Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трехчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. В XII веке индийский математик Бхаскара в своем основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями. В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчета и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний. Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Ученик Лейбница Якоб Бернулли изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713 г.) множество сведений по комбинаторике. В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» («combination») впервые встречается у Паскаля (1653 г., опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» («permutation») употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» («arrangement»). После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала. Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы: - задача о ходе коня; - задача о семи мостах, с которой началась теория графов; - построение греко-латинских квадратов; - обобщенные перестановки. Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями. В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского-Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука-Улама и Люстерника-Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдеш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики. Анализ учебников В данной статье представлен анализ содержания раздела школьного курса математики «Комбинаторика и элементы теории вероятностей» в наиболее распространенных учебниках за 5 – 9 классы общеобразовательной школы. Стохастическая линия, комбинаторика, элементы теории вероятностей, математическая статистика, школьный курс математики. В наше время никто не сомневается в необходимости включения стохастической линии в школьный курс математики, так как теория вероятностей занимает большое место в науке и прикладной деятельности. В обыденной жизни мы постоянно сталкиваемся с такими явлениями, как выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Мы должны уметь анализировать и обрабатывать информацию и принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Вместе с тем, внедрение стохастической линии в школьный курс сопряжено с определенными проблемами, что, прежде всего, связано с методической неподготовленностью учителей и отсутствием единой методики в школьных учебниках. Изучим и проанализируем содержание и методику изложения раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в наиболее распространенных учебно-методических комплексах для 5-9 классов общеобразовательной школы. Содержание материала, обязательно изучаемого по данной теме в курсе основной школы, должно включать: понятие и примеры случайных событий; понятия частоты события и вероятности; равновозможные события и подсчет их вероятности; представление о геометрической вероятности; представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков; средние результаты измерений; понятие о статистическом выводе на основе выборки. Вот уже несколько лет большинство школ нашего региона работают по учебным комплектам «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 5 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия. Материал в данных учебниках излагается простым языком и постоянно делается упор на жизненный опыт учащихся. В 5 классе рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события, а в 6-ом классе - эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. Приводятся жизненные примеры, делающие данный материал более доступным. Комбинаторные задачи решаются методом перебора, для их решения строится дерево возможных вариантов. Так же формируются умения работать с информацией, представленной в форме таблиц, столбчатых и круговых диаграмм. Седьмой класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах. Снова приводится множеством примеров из жизни. Опять рассматриваются комбинаторные задачи, вводятся перестановки. В завершении курса 7 класса продолжаем рассматривать вероятность и частоту случайных событий. В 8 классе вводится новая статистическая характеристика – медиана. Вводятся таблицы частот. Рассматриваются практические примеры, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом. Рассматриваются геометрические вероятности. В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики, новые понятия: генеральная совокупность, выборка, репрезентативность, объем выборки, ранжирование. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, наиболее интересные школьнику, такие как: «Как исследуют качество знаний школьников?» или «Какая профессия наиболее востребована в наше время?». Вводится новый способ графического представления результатов – полигоны и появляются новые понятия, такие как, выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Изучив, данный комплект учебников, можно сделать следующий вывод: во-первых, курс рассчитан на 5- 9 классы, в отличие от большинства других учебников, в которых эти вопросы рассматривают лишь с 7 по 9 классы; во-вторых, в этом учебно-методическом комплексе темы комбинаторика, статистика и теория вероятностей изучаются параллельно. На данный момент одним из действующих в общеобразовательных школах является комплект учебников А.Г. Мордковича: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика 5-6», А.Г. Мордкович «Алгебра 7-9» В пятом классе в главе «Введение в вероятность» рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события, приводятся задачи на определение характера события, затем методом перебора возможных вариантов решаются комбинаторные задачи. В шестом классе вводится понятие вероятность. Приводятся задания на определение степени вероятности того или иного события, при выполнении которых школьники должны опираться на интуицию. Далее вводится классическое определение вероятности. На мой взгляд, комбинаторные задачи приведены не совсем удачно. Для первого знакомства было бы логичнее взять более простые задачи. К УМК «Курс алгебры 7-9 классов» имеется дополнительный вкладыш: А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных», содержащий пять параграфов. Каждый параграф, в свою очередь, делится на две части: в первой части на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей, и статистики; во второй собраны упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ. Первые два параграфа посвящены комбинаторике. Вначале приводятся простые комбинаторные задачи, решаемые с помощью перебора и дерева возможных вариантов. Рассматриваются сочетания. Третий параграф – случайные события и их вероятность. Вводится классическое определение вероятности. Четвертый параграф посвящен статистике. Формируется умение работать с информацией в виде таблиц, диаграмм. В этом параграфе вводится много новых терминов (среднее арифметическое, мода, медиана и др.) и все они оформлены в виде таблицы, где кроме определений есть еще и их описание. Далее вводится определение статистической вероятности. И завершает учебник параграф, содержащий материал по следующим вопросам: схема Бернулли (при рассмотрении двух возможных исходов), вычисление вероятности с помощью функции φ, закон больших чисел. В этом учебном пособии, на мой взгляд, недостаточно внимания уделено теории вероятностей: как теоретической, так и практической ее части, что, несомненно, является недостатком. Достоинство данного пособия то, что теоремы и определения формулируются только после рассмотрения достаточного количества практических примеров, когда становится ясной необходимость их введения. Рассмотрим еще один комплект учебников Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра 7-9», под редакцией С.А. Теляковского. Дополнением к этому комплекту является учебное пособие: «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей», под редакцией С.А. Теляковского. Пособие состоит из четырех параграфов, в каждом из которых содержатся теоретические сведения и практические задания. В каждом параграф имеются задания повышенной сложности и упражнения на повторение изученного материала. В седьмом классе (параграф «Статистические характеристики») учащиеся знакомятся со статистическими характеристиками, такими как среднее арифметическое, мода, медиана, размах. В восьмом классе (параграф «Статистические исследования») рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами В девятом классе дается самое большое количество материала, который распределен по двум параграфам. «Элементы комбинаторики»: школьники знакомятся с комбинаторными задачами и их решением с помощью перебора возможных вариантов и построения дерева возможных вариантов; вводятся понятия перестановки, размещения и сочетания. «Начальные сведения из теории вероятностей»: подача нового материала начинается с рассмотрения эксперимента, после вводится понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Затем вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». В данном УМК многие элементы вводятся так же образом, как и в учебном комплекте Г.В. Дорофеева. Но практически весь материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше и теории, и задач. На мой взгляд, комбинаторику и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно, что является минусом этого пособия. Плюсом данного УМК является практическая часть, содержащая большое количество хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности. Изучив и проанализировав данную литературу, можно предпринять попытку выделить несколько параметров, по которым можно сравнить содержание темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» в этих УМК: доступность изложения материала, научность (строгость, доказательность), наглядность, объем и полнота задачного материала. Оценивать параметры будем по трех бальной шкале: «1» – удовлетворительно; «2» – хорошо; «3» – отлично.
Таким образом, я пришла к следующему выводу: из изученных учебников нет идеального. Наиболее удачно в школьный курс математики стохастическая линия вводится именно в учебном комплекте под редакцией Г.В. Дорофеева. Недостатком данного комплекта является недостаточно хорошо разработанная практическая часть. Из таблицы видно, что наиболее хорошо подобранные задания в УМК Ю.Н. Макарычев Н.Г. и др. Для успешной работы учителю можно использовать оба этих комплекта, что не очень удобно в работе со школьниками. Следовательно, необходимо разработать методический материал, преимущественно практического содержания, дополняющий учебный комплект под редакцией Г.В. Дорофеева. Это является целью моей дальнейшей работы. АНАЛИХ ЕГЭ и ОГЭ Комбинаторика, статистика и теория вероятностей на итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов Выполнил: Казак Вадим Михайлович, учитель математики МАОУ СОШ №147 города Челябинска На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе. Каждый ребёнок сталкивается в своей жизни ежедневно с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и реальных жизненных коллизиях – всё это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности. Подготовку человека к таким проблемам во всём мире осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения этой линии ведётся и в старших классах. В новых учебных комплектах последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с другими темами курса. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. Накопленный опыт преподавания свидетельствует о безусловной доступности этого материала, очевидном интересе, который он вызывает у учащихся, позитивном влиянии на развитие мышления школьника. Отдельные элементы вероятностно-статистического материала можно использовать на факультативах, математических кружках. Например, при решении задач широко используются вероятностные графы, что делает решения более наглядными и доступными. В соответствии с государственными стандартами общего образования первого поколения с 2010 года в контрольные измерительные материалы по математике уже включены задания стохастической линии. Содержание и структура контрольно-измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена (ЕГЭ и ГИА) продолжает совершенствоваться. Аттестация за курс средней школы проходит не по алгебре, а по математике. В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия, стереометрия) и теории вероятностей. В контрольно-измерительные материалы ГИА по математике включены задания по алгебре, геометрии(планиметрия), статистике и теории вероятностей. Сближаются концепции экзаменов по математике в 9 и 11 классах, так как стало больше практико-ориентированных заданий, в которых проверяются не только формальные знания , но и общематематическую компетентность выпускников основной и средней школы. В 2011-2012 учебном году варианты КИМ ЕГЭ и ГИА по математике будут составляться с использованием Федерального банка тестовых заданий, опубликованного на сайтах: www.mathege.ru. и www.mathgia.ru. В 2011 г. уже включены в работу ЕГЭ за курс средней школы (11 класс) задания по разделу «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Могут быть включены задания, предполагающие анализ данных, представленных в табличной или графической форме. СОДЕРЖАНИЕ МАТЕРИАЛА СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ, ОБЯЗАТЕЛЬНОГО ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ В КУРСЕ ОСНОВНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ: понятие и примеры случайных событий; понятия частоты события и вероятности; равновозможные события и подсчёт их вероятности; представление о геометрической вероятности; представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков; средние результаты измерений; понятие о статистическом выводе на основе выборки. Согласно требованиям государственного стандарта общего образования по математике после изучения данного раздела обучающиеся должны уметь: находить вероятности случайных событий в простейших ситуациях; находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; вычислять средние значения результатов измерений; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией; понимать статистические рассуждения; анализировать реальные числовые данные, представленные в виде диаграмм, графиков, таблиц. В ХОДЕ ГОСУДАРСТВЕННОЙ (ИТОГОВОЙ) АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ПРЕДУСМОТРЕН КОНТРОЛЬ СЛЕДУЮЩИХ РАЗДЕЛОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ: статистические характеристики. Сбор и группировка статистических данных. Наглядное представление статистической информации: представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков; комбинаторика: перебор вариантов; правило умножения. Решение комбинаторных задач путём систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения; вероятность случайных событий: вычисление частоты события готовых статистических данных, нахождение вероятности случайных событий в простейших случаях. Задания по этой теме относится к списку заданий чтобы преодолеть минимальный порог, т.е. минимальный тестовый балл для получения школьного аттестата. Задание типа В10 в ЕГЭ направлено на математические ситуации в повседневной жизни. Такие задачи приходится решать на вокзалах, в банках, в магазинах, при вызове такси и во время ремонта квартиры. Задание является несложным, так как основано на использовании жизненных наблюдений и здравого смысла. Правильное выполнение такого задания оценивается одним баллом. Примерное время выполнения учащимся задания изменяется от 3 до 10 минут, с учетом уровня изучения математики в данном учебном заведении, знаний и умений самого выпускника и его психологической готовности к сдаче экзамена. Существует большое количество учебно-методических пособий, задачников, связанных с теорией вероятностей, можно рекомендовать следующие издания: Вероятность и статистика. 5-9 кл.:Пособие для обшеобразоват. учеб.заведений./ Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002-2010. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2011. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. обшеобразоват. Учреждений /М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М.: Просвещение, 2011. Вероятность: примеры и задачи. / А. Шень. – М.: МЦНМО, 2007-2010. Теория вероятностей и статистика для школьников: задачи и решения: учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2009-2011. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Задания В10. /А.Л. Семенов и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие. / А.В. Семенов и др.; под ред. И.В. Ященко; МЦНМО. – М.: Интеллект-Центр, 2012. –с. 38-41. Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7-В14). Пособие для «чайников». / Е.Г. Коннова и др.; под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие. /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. Начала теории вероятностей для школьников. /О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: ИЛЕКСА, 2009-2011. Теория вероятностей и статистика /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008-2010. Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: МИОО, 2011. Теория вероятностей и статистика. Контрольные работы и тренировочные задачи. 7-8 классы. /В.В. Бородкина, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. Вероятность и статистика. 7-9 классы. Решение задач из учебников под ред. Г.В. Дорофеева. /И.Л. Бродский, Р.А. Литвиненко. – М.: АРКТИ, 2006-2010. Вероятность и статистика. 10-11 классы. Планирование и практикум: Пособие для учителя. / И.Л. Бродский, О.С. Мешавкина. – М.: АРКТИ, 2009. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7- 9 классы. /авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2006-2010. Для реализации государственного стандарта образования по математике необходимо изменить календарно-тематическое планирование (КТП). Учитель должен составить КТП таким образом, чтобы осталось достаточное количество часов на заключительное повторение этого раздела школьного курса математики. Опыт показывает, что достаточно выделить 1-2 урока на заключительное повторение теории вероятностей. 1.Включать в изучение темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» задания из Федерального банка тестовых заданий (в настоящее время задачи по комбинаторике отсутствуют в банке тестовых заданий ЕГЭ). 2.В содержание текущего контроля включать экзаменационные задания. 3. Изменить систему контроля над уровнем знаний и умений учащихся по математике. 4.Итоговое повторение построить исключительно на отработке предметных компетенций, требующих преодоления минимального тестового балла. |