Бернулли. Схема Бернулли. Примеры решения задач
 Скачать 41.23 Kb.
|
|
Схема Бернулли. Примеры решения задач 5 июля 2011 Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения. Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении nиспытаний событие A появится ровно k раз. Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы. Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода: A — появление события A с вероятностью p; «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q= 1 − p. Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p. Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности. Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы: Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:  где Cnk — число сочетаний, q = 1 − p. Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным. Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10. По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию Aпротивопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия. Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2. Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):  Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: герб выпадет три раза; герб выпадет один раз; герб выпадет не менее двух раз. Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз. Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5. Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:  Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:  Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P6(2) + P6(3) + ... + P6(6). Заметим, что эта сумма также равна (1 − P6(0) − P6(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P6(1) нам уже известно, осталось найти P6(0):  Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три? Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8. Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8. Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3): P20(2)=C220p2q18=20!2!18!⋅0,22⋅0,818≈0,137P20(3)=C320p3q17=20!3!17!⋅0,23⋅0,817≈0,41P20(2)=C202p2q18=20!2!18!⋅0,22⋅0,818≈0,137P20(3)=C203p3q17=20!3!17!⋅0,23⋅0,817≈0,41 Очевидно, P20(3) > P20(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая. Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению. P. S. А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь. Формула Бернулли. Примеры задач с решением.12.05.2012 Artman formula_bernulli_primery_zadach_s_resheniem Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью p. При этом вероятность противоположного события равна q=1-p. В теории вероятностей особый интерес представляет случай, когда в n испытаниях событие Австречается k раз, тем самым не встречается (n-k) раз. Искомую вероятность Рn(k) можно вычислить по формуле Бернулли: Пример 1 Монету подбрасывают шесть раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два раза. Решение. Для вычисления искомой вероятности применим формулу Бернулли. Число испытаний n=6, а число благоприятствующих исходов k=2. Вероятность события (выпадения герба) p=1/2=0.5; q=1-p=0.5 Пример 2 Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. Решение. Так как играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша р=1/2, вероятность проигрыша q=1-p=0.5. Во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности произойдут эти выигрыши, поэтому применима формула Бернулли: а) Так как P2(1) > Р4(2), то более вероятен выигрыш одной партии из двух, чем двух партий из четырех. б) Пусть событие А — «выиграть не менее двух партий из четырех». Данное событие соответствует следующим независимым событиям: • «выиграть две партии из четырех», вероятность этого события вычисляется как Р4(2); • «выиграть три партии из четырех», вероятность этого события вычисляется как Р4(3); • «выиграть четыре партии из четырех», вероятность этого события вычисляется как Р4(4). Пусть событие В — «выигрыш не менее трех партий из пяти». Данное событие соответствует следующим независимым событиям: • «выиграть три партии из пяти», вероятность этого события вычисляется как Р5(3); • «выиграть четыре партии из пяти», вероятность этого события вычисляется как Р5(4); • «выиграть пять партий из пяти», вероятность этого события вычисляется как Р5(5). Так как Р(А) > P(B), то выигрыш не менее двух партий из четырех более вероятен, чем выигрыш не менее трех партий из пяти. |