Математика. Школьные материалы, полезные при решении диффуров i на всякий случай элементарные алгебраические правила Раскрытие скобок

• Название: Школьные материалы, полезные при решении диффуров i на всякий случай элементарные алгебраические правила Раскрытие скобок
• Анкор: Математика
• Дата: 03.11.2021
• Размер: 225.98 Kb.
• Имя файла: prilozhenie_shkolnye_formuly.pdf
• Тип: Документы; #262201

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
Приложение
Школьные материалы, полезные при решении диффуров
I) На всякий случай элементарные алгебраические правила
Раскрытие скобок:
если перед скобкой стоит число, то их можно раскрыть, умножив каждое слагаемое на это число:
)
7
(
2 3
2
)
5
(
2
)
7 3
5
(
2












Если перед скобками стоит знак «+», то их можно просто убрать:
7 3
5
)
7 3
5
(








Если перед скобками стоит знак «–», то их можно убрать, сменив у каждого слагаемого знак:
7 3
5
)
7 3
5
(







В уравнении
любое слагаемое можно перенести в другую часть, сменив у него знак.
Рассмотрим, например, уравнение
5 3
18 14 7
2 2






x
y
b
ax
x
и перенесём все его члены левой части в правую часть:
18 14 7
5 3
0 2
2







b
ax
x
x
y
Части уравнения можно безболезненно поменять местами:
0 18 14 7
5 3
2 2







b
ax
x
x
y
, рАвно, как и произвольно перетасовать слагаемые в пределах ОДНОЙ части:
0 14 7
5 18 3
2 2








b
ax
y
x
x
Обе части уравнения можно умножить или разделить на ненулевое число, при этом его корни не меняются. Например, в уравнении
6 2
2 2
4 2




a
x
x
x
целесообразно вынести за скобки «двойку» и разделить на неё обе части:
3 2
)
3
(
2
)
2
(
2 2
2








a
x
x
x
a
x
x
x
Если мы делим обе части уравнения на выражение, содержащее переменные, то рискуем потерять корни, так при делении на
2

x
:
2 3
2 2
2






x
a
x
x
x
x
– мы рискуем потерять корень
2


x
(если он является корнем исходного уравнения). Однако при делении на положительное или отрицательное выражение, например, на
1 2

x
, всё проходит «без последствий».
Обратно: если мы умножаем обе части на выражение, содержащее переменные, то рискуем «приобрести» посторонние корни:
)
3
(
)
)
2
(
2




a
x
x
x
x
x
– здесь у нас появился посторонний корень
0

x
Другой пример: при умножении обеих частей
0 2
3 2
2





x
a
x
x
на
2

x
:
0 3
2 2




a
x
x
– мы рискуем «приобрести» посторонний корень
2


x
(если он является корнем числителя)

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
Правило пропорции
d
c
b
a

, (считаем, что
d
c
b
a
,
,
,
отличны от нуля)
То, что находится внизу одной части – можно переместить наверх другой части.
То, что находится вверху одной части – можно переместить вниз другой части.
Крутим-вертим:
c
ad
b
c
b
ad
a
c
b
d
a
bc
d
d
bc
a
bc
ad






,
,
,
,
,
и т.д.
II) Правила действий со степенями:
a
a
x
x


1
b
a
b
a
x
x
x



, в частности:
b
a
b
a
b
a
x
x
x
x
x





b
a
b
a
x
x


)
(
Радикал можно представить в виде
b
a
b
a
x
x

III) Преобразование логарифмов:
Основное логарифмическое тождество:
b
a
b
a

log
, в частности:
b
e
b

ln
Уравнение
b
a

ln можно представить в виде
b
e
a

Некоторые правила:
ab
b
a
ln ln ln


b
a
b
a
ln ln ln


a
k
a
k
ln ln

, если
k
– чётное; при других значениях
k
модуль не нужен.
IV) Решение квадратного уравнения
0 2



c
bx
ax
)
0
(

a
Сначала нужно найти дискриминант:
ac
b
D
4 2


1) Если
0

D
, то уравнение имеет два действительных корня:
a
D
b
x
a
D
b
x
2
,
2 2
1






2) Если
0

D
, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня:
a
b
x
x
2 2
1



3) Если
0

D
, то уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:
a
i
D
b
x
2 2
,
1




, где D – модуль дискриминанта.
Квадратный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом:
)
)(
(
2 1
2
x
x
x
x
a
c
bx
ax




