Системы счисления. Системы счисления Основные понятия
 Скачать 2.1 Mb.
|
|
Системы счисления Основные понятия Система счисления - это способ записи чисел и правила действий над этими числами Число - это величина, а не символьная запись Цифра - набор символов, участвующих в записи числа Алфавит - совокупность различных цифр, используемых для записи числа Позиционные Непозиционные зависит не зависит значение цифры от ее позиции в числе 323 Три Три сотни единицы XIX десять десять Виды систем счисления Непозиционные системы счисления единичная древнеегипетская вавилонская римская I,V,X,L,C,D,M Единичная («палочная система») (период палеолита, 10-11 тысяч лет до н.э.) или Обозначение: = 3 4 5 - единицы - десятки - сотни Обозначение: Древнеегипетская система (ок.2850 до н.э.) 2-ой разряд 1-ый разряд = 60 +20+2 = 82 Вавилонская шестидесятеричная система (2 тысячи лет до н.э.) - единицы - десятки - 60 ; 602 ; 603 ; … ; 60n Обозначение: X X X I I D X L I I = 542 1000 500 100 50 10 5 1 M D C L X V I Римская система (500 лет до н.э.) В качестве цифр в римской системе используются: Величина числа суммируется из значений цифр. При этом применяется следующее правило: Значение каждой меньшей цифры, поставленной слева от большей, вычитается из значения большей цифры. Если меньшая цифра стоит справа от большей, их значения складываются. Найдите значения чисел: Найдите значения чисел:МХLV CDLI CXLIII DLIV MXLI CDLV CXLV DXLI XLIV DLV CLIV MCLV Алфавитные системы (500 лет до н.э.) Алфавитной нумерацией пользовались южные и восточные славянские народы. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальные значок "" («титло»). Обозначение: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 – основание (p) Совокупность всех цифр – алфавит Количество цифр Позиционные системы могут иметь различный алфавит (2,3,4 знака). Позиционные системы счисления Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание. системы счисления
Алфавиты систем счисления Для записи чисел в позиционной системе с основанием р нужно иметь алфавит из р цифр. При р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы. ПРИМЕРЫ: (перепиши, вставляя пропущенные числа) p = 10 (десятичная с/c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 и т.д. p = 4 (четверичная с/c) 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 __ __ __ __ 3. p = 2 (двоичная с/c) 1 10 11 100 101 110 111 1000 ___ 1010 1011 ____ ___ ___ ___ 10000 _____ _____ 31 32 33 100 1001 1100 1101 1110 1111 10001 10010 Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3) б) 123 (р=4) г) 111 (р=2) Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: 1) 341 2) 123 3) 222 4) 111 5) 431 6) 321 7) 444 8) 101 9) 143 10) 231 11) 333 12) 110 Ответ: а) в троичной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 , значит цифры 79 и 531 записаны неверно б) в девятиричной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8, значит цифры 419 и 4А записаны неверно Какое число ошибочно записано в:
б) девятеричной СС – 419, 832, 4А Десятичная система счисления Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит. Рассмотрим десятичное число 555: 5 5 5 10 единицы десятки сотни Число записано в привычной для нас свернутой форме: В зависимости от позиции цифра 5 обозначает единицы, десятки, сотни. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой. В развернутой форме записи числа умножение цифр производится в явной форме: 55510 = 5·102 + 5·101 + 5·100 Любое число в нулевой степени равно 1 Двоичная система счисления Информация в компьютере представлена в двоичном коде. Используется двоичная система счисления. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2. Восьмеричная система счисления Широко используется в информатике. Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8. Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16. (Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) Алгоритм перевода: Последовательно делить с остатком данное число и получаемые целые частные на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет равно нулю. Полученные остатки выразить цифрами алфавита новой системы счисления Записать число в новой системе счисления из полученных остатков, начиная с последнего. Пример. Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. 75 2 74 1 37 2 36 1 18 2 18 0 9 2 8 1 4 2 4 0 2 2 2 0 2 1 0 0 1 7510 = 10010112 Пример 1. Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. 75 8 72 3 9 8 8 1 1 8 0 1 0 7510 = 1138 75 16 64 11 4 16 0 4 0 7510 = 4B16 В меню Основание: 2 Алфавит: 0, 1 10 2 2 10 20 2 10 20 0 2 5 10 0 2 2 4 1 2 1 2 0 2 0 0 1 20 = 101002 101002 4 3 2 1 0 разряды = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 0·20 = 16 + 4 = 20 Основание: 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10 8 8 10 100 8 12 96 4 8 1 8 4 8 0 0 1 100 = 1448 1448 2 1 0 разряды = 1·82 + 4·81 + 4·80 = 64 + 32 + 4 = 100 11 Основание: 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 16 16 10 444 16 27 432 12 444 = 1BC16 1BC16 2 1 0 разряды = 1·162 + 11·161 + 12·160 = 256 + 176 + 12 = 444 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 С B 16 1 16 16 0 0 1 C B Ответ: 11112 = 1510. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами? Переведите полученное число в десятичную систему счисления. Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. Возможно ли это? Обоснуйте ответ. Ответ: алфавит пятеричной системы счисления – цифры (0,1,2,3,4). 325 = 351 + 250 = 15 + 2 = 1710 Выпишите алфавит традиционной позиционной пятеричной системы счисления. Переведите число 325 в десятичную систему счисления. |