Лабораторная 3 ВССТ. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

• Название: Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
• Анкор: Лабораторная 3 ВССТ.doc
• Дата: 29.07.2018
• Размер: 477.5 Kb.
• Имя файла: Лабораторная 3 ВССТ.doc
• Тип: Документы; #22167

Системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Цель работы: Изучить различные системы счисления, овладеть приемами перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Форма отчета: выполнение зачетного задания.

Теоретические сведения

Под системой счисления понимается способ представления чисел с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами и соответствующие ему правила действия над числами.

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами счисления являются такие системы, в которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места своего положения в числе.

Примером непозиционных систем счисления являются римская, древнеегипетская, вавилонская, славянская системы. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся местонахождением этой цифры в записи числа. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому правилу.

Примером позиционных систем счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, факториальная, уравновешенная системы.

Название позиционной системы счисления определяется количеством различных цифр, употребляемых в данной системе счисления, которое является основанием системы счисления (p).

Любое число X в позиционной системе счисления может быть представлено в виде полинома от основания p:

(1.1)

где X – вещественное число; - коэффициенты или цифры числа ();
p- основание системы счисления (>1); i = –n,…–1, 0, 1, …, k; n и k целые числа.

Представление числа в p–ичной системе счисления в данном виде называется развернутой формой записи числа.

С другой стороны, любое число в p–ичной системе счисления можно записать в виде последовательности цифр, начиная со старшей и отделяя запятой (точкой) целую часть от дробной. То есть представлению числа X в свернутой форме соответствует запись

.

В аппаратной основе компьютера лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое - 1. Поэтому основной системой счисления применяемой в компьютерной технике является двоичная система. С целью сокращения разрядов для записи числа при выводе на экран компьютера используют системы с основанием, являющимся целой степени числа 2: восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Для представления одной цифры восьмеричной системы счисления используется три двоичных разряда (триада), шестнадцатеричной – четыре двоичных разряда (тетрада) (таб. 1).
Таблица 1. Взаимосвязь систем счисления

Двоичная (p=2)	Восьмеричная (p=8)		Шестнадцатеричная (p=16)
Цифры алфавита	Цифры алфавита	Триады двоичных чисел	Цифры алфавита	Тетрады двоичных чисел
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Методические указания

Перевод целого числа из р-ичной системы счисления в десятичную осуществляется путем представления числа в виде степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится, то есть число записывается в развернутой форме. Затем подсчитывается значение суммы, причем все арифметические действия осуществляются в десятичной системе.

Пример 1.

а) Перевести .



Ответ: .

б) Перевести .



Ответ: .

в) Перевести .



Ответ:.

Замечание.

При вычислении десятичного значения р-ичного целого числа по развернутой форме с использованием калькулятора удобно пользоваться схемой Горнера, которая позволяет минимизировать арифметические операции и исключить возведение в степень.

Пример 2.

а) Перевести .





Ответ: .

б) Перевести .



Ответ: .

в) Перевести .

.

Ответ:.

Перевод правильной конечной р-ичной дроби в десятичную систему счисления осуществляется аналогично переводу целого числа через развернутую форму представления числа.

Пример 3.

а) Перевести .



Ответ:

б) Перевести .



Ответ: .

в) Перевести .



Ответ:.

Замечание.

При вычислении десятичного значения р-ичной дроби по развернутой форме с использованием калькулятора также целесообразно пользоваться схемой Горнера, что минимизирует количество арифметических действий и исключает возведение в степень.

Пример 4.

а) Перевести .



Ответ: .

б) Перевести .



Ответ: .

в) Перевести .



Ответ:.

При переводе неправильной конечной р-ичной дроби в десятичную систему счисления необходимо перевести как целую, так и дробную части с помощью развернутой формы представления чисел.

Пример 5.

Перевести .



Ответ: .

Замечание. Конечную р-ичную дробь не всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби. Если нахождение значения десятичной дроби с помощью развернутой формы представления числа будет затруднено, то исходную дробь следует представить в виде обыкновенной дроби, в числителе которой будет развернутая форма числа, стоящего после точки (запятой), а знаменателем – р в соответствующей степени.

Пример 6.

а) Перевести .



Ответ: .

б) Перевести .



Ответ: .

Перевод правильной бесконечной периодической p-ичной дроби в десятичную систему счисления заключается в представлении исходной дроби в виде обыкновенной дроби, в числители которой будет записан период в развернутой форме, а знаменатель – р в соответствующей степени, уменьшенный на единицу.

Пример 7.

a) Перевести .



Ответ: .

б) Перевести .



Ответ: .

в) Перевести .



Ответ: .

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в p-ичную осуществляется последовательным целочисленным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления в обратном порядке, начиная с последнего частного от деления.

Пример 8.

а) Перевести .

181	8
176	22	8
5	16	2
	6

Ответ: .

б) Перевести .

622	16
48	38	16
142	32	2
128	6
14

Результат .

Перевод правильной конечной дроби из десятичной системы счисления в p-ичную осуществляется последовательным умножением на основание той системы, в которую она переводится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю, или не выделится период. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе счисления записывается в виде последовательности целых частей произведений, начиная с первого.

Пример 9.

а) Перевести .

0	3125 8
2	5000 8
4	0000

Ответ: .

б)Перевести .

0	65 2
1	3  2
0	6  2
1	2  2
0	4  2
0	8  2
1	6  2
	. . .

Ответ: .

При переводе неправильной конечной десятичной дроби в р-ичную систему счисления необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную, а затем их соединить.

Пример 10.

Перевести .

1. 
   Переведем целую часть:
   

23	2
22	11	2
1	10	5	2
	1	4	2	2
		1	2	1
			0

2) Переведем дробную часть:

0	1252
0	25 2
0	5 2
1	0

Таким образом ; .

Ответ: .

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби – правильными в любой системе счисления.

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в р-ичную состоит в том, что периодическую дробь представляем в виде обыкновенной (числителем будет являться период, а знаменателем – 10 в степени, соответствующей количеству цифр периода, уменьшенным на единицу), затем целочисленные числитель и знаменатель переводим в р-ичную систему, далее делим числитель на знаменатель и получаем р-ичную дробь.

Пример 11.

a) Перевести .



Ответ: .

б) Перевести .



Ответ: .

Замечание. Конечной или бесконечной периодической десятичной дроби всегда соответствует или конечная, или бесконечная периодическая дробь в р-ичной системе счисления. Перевод бесконечной непериодической дроби (иррационального числа) возможно лишь с определенной степенью точности.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (таб. 1) и отбросить незначащие нули в старших и младших разрядах.

Пример 12.

а) Перевести .

=

Ответ: .

б) Перевести .

= .

Ответ: .

Для перевода из двоичной в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления поступают следующим образом: двигаясь от точки разделения целой и дробной части числа влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три или четыре разряда, дополняют при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду или тетраду заменяют соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Пример 13.

а) Перевести .



Ответ:

б) Перевести .



Ответ: .

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример 14.

Перевести .





Ответ: .

Упражнения

1. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления и проверить результат по схеме Горнера:

а); б); в); г);

д); е); ж); з);

и); к); л).

2. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления и проверить результат по схеме Горнера:

а); б) ; в); г); д).

3. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления с точностью 5-ти знаков после точки:

а); б); в); г);

д); е); ж); з).

4. Перевести десятичное число 20.45 в четвертичную систему счисления и найти 1999-ую цифру после точки.

5. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а); б); в); г).

6. Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:

а) ; б); в); г).

7. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а); б);

в); г).

8. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а); б); в); г).

Задания

1. 
   Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
   
2. 
   Перевести данное число в десятичную систему счисления.
   

Вариант 1

1. 
   а) 666; б) 305; в) 153,25; г) 162,25; д) 248,46.
   
2. 
   а) 1100111011₂; б) 10000000111₂; в) 10110101,1₂; г) 100000110,10101₂; д) 671,24₈;
   е) 41A,6₁₆.
   

Вариант 2

1. 
   а) 164; б) 255; в) 712,25; г) 670,25; д) 11,89.
   
2. 
   а) 1001110011₂; б) 1001000₂; в) 1111100111,01₂; г) 1010001100,101101₂;
   д) 413,41₈; е) 118,8C₁₆.
   

Вариант 3

1. 
   а) 273; б) 661; в) 156,25; г) 797,5; д) 53,74.
   
2. 
   а) 1100000000₂; б) 1101011111₂; в) 1011001101,00011₂; г) 1011110100,011₂;
   д) 1017,2₈; е) 111,B₁₆.
   

Вариант 4

1. 
   а) 105; б) 358; в) 377,5; г) 247,25; д) 87,27.
   
2. 
   а) 1100001001₂; б) 1100100101₂; в) 1111110110,01₂; г) 11001100,011₂;
   д) 112,04₈; е) 334,A₁₆.
   

Вариант 5

1. 
   а) 500; б) 675; в) 810,25; г) 1017,25; д) 123,72.
   
2. 
   а) 1101010001₂; б) 100011100₂; в) 1101110001,011011₂; г) 110011000,111001₂;
   д) 1347,17₈ (8); е) 155,6C₁₆ (16).
   

Вариант 6

1. 
   а) 218; б) 808; в) 176,25; г) 284,25; д) 253,04.
   
2. 
   а) 111000100₂; б) 1011001101₂; в) 10110011,01₂; г) 1010111111,011₂;
   д) 1665,3₈; е) FA,7₁₆.
   

Вариант 7

1. 
   а) 306; б) 467; в) 218,5; г) 667,25; д) 318,87.
   
2. 
   а) 1111000111₂; б) 11010101₂; в) 1001111010,010001₂; г) 1000001111,01₂;
   д) 465,3₈; е) 252,38₁₆.
   

Вариант 8

1. 
   а) 167; б) 113; в) 607,5; г) 828,25; д) 314,71.
   
2. 
   а) 110010001₂; б) 100100000₂; в) 1110011100,111₂; г) 1010111010,1110111₂;
   д) 704,6₈; е) 367,38₁₆.
   

Вариант 9

1. 
   а) 342; б) 374; в) 164,25; г) 520,375; д) 97,14.
   
2. 
   а) 1000110110₂; б) 111100001₂; в) 1110010100,1011001₂; г) 1000000110,00101₂;
   д) 666,16₈; е) 1C7,68₁₆.
   

Вариант 10

1. 
   а) 524; б) 222; в) 579,5; г) 847,625; д) 53,35.
   
2. 
   а) 101111111₂; б) 1111100110₂; в) 10011000,1101011₂; г) 1110001101,1001₂;
   д) 140,22₈; е) 1DE,54₁₆.
   

Вариант 11

1. 
   а) 113; б) 875; в) 535,1875; г) 649,25; д) 6,52.
   
2. 
   а) 11101000₂; б) 1010001111₂; в) 1101101000,01₂; г) 1000000101,01011₂;
   д) 1600,14; е) 1E9,4₁₆.
   

Вариант 12

1. 
   а) 294; б) 723; в) 950,25; г) 976,625; д) 282,73.
   
2. 
   а) 10000011001₂; б) 10101100₂; в) 1101100,01₂; г) 1110001100,1₂;
   д) 1053,2₈; е) 200,6₁₆.
   

Вариант 13

1. 
   а) 617; б) 597; в) 412,25; г) 545,25; д) 84,82.
   
2. 
   а) 110111101₂; б) 1110011101₂; в) 111001000,01₂; г) 1100111001,1001₂;
   д) 1471,17₈; е) 3EC,5₁₆.
   

Вариант 14

1. 
   а) 1047; б) 335; в) 814,5; г) 518,625; д) 198,91.
   
2. 
   а) 1101100000₂; б) 100001010₂; в) 1011010101,1₂; г) 1010011111,1101₂;
   д) 452,63₈; е) 1E7,08₁₆.
   

Вариант 15

1. 
   а) 887; б) 233; в) 801,5; г) 936,3125; д) 218,73.
   
2. 
   а) 1010100001₂; б) 10000010101₂; в) 1011110000,100101₂; г) 1000110001,1011₂;
   д) 1034,34₈; е) 72,6₁₆.
   

Вариант 16

1. 
   а) 969; б) 549; в) 973,375; г) 508,5; д) 281,09.
   
2. 
   а) 10100010₂; б) 1110010111₂; в) 110010010,101₂; г) 1111011100,10011₂;
   д) 605,02₈; е) 3C8,8₁₆.
   

Вариант 17

1. 
   а) 163; б) 566; в) 694,375; г) 352,375; д) 288,61.
   
2. 
   а) 1001101001₂; б) 110011101₂; в) 1000001101,01₂; г) 1010001001,11011₂;
   д) 247,1₈; е) 81,4₁₆.
   

Вариант 18

1. 
   а) 917; б) 477; в) 74,5; г) 792,25; д) 84,33.
   
2. 
   а) 1110011100₂; б) 1111101111₂; в) 111110100,101₂; г) 110011110,1000011₂;
   д) 1446,62₈; е) 9C,D₁₆.
   

Вариант 19

1. 
   а) 477; б) 182; в) 863,25; г) 882,25; д) 75,2.
   
2. 
   а) 101011100₂; б) 1000010011₂; в) 11100011,1₂; г) 100101010,00011₂;
   д) 1762,7₈; е) 1B5,6₁₆.
   

Вариант 20

1. 
   а) 804; б) 157; в) 207,625; г) 435,375; д) 30,43.
   
2. 
   а) 10010000₂; б) 11001010₂; в) 1110101100,1011₂; г) 110110101,10111₂;
   д) 1164,36₈; е) 1D5,C8₁₆.
   

Вариант 21

1. 
   а) 753; б) 404; в) 111,1875; г) 907,0625; д) 62,88.
   
2. 
   а) 11100011₂; б) 1111001111₂; в) 1011111111,01001₂; г) 1001011101,011₂;
   д) 615,72₈; е) 3DA,5₁₆.
   

Вариант 22

1. 
   а) 571; б) 556; в) 696,25; г) 580,375; д) 106,67.
   
2. 
   а) 110011010₂; б) 111001010₂; в) 1000010011,00101₂; г) 11010110,00001₂;
   д) 1343,66₈; е) 3C3,6₁₆.
   

Вариант 23

1. 
   а) 244; б) 581; в) 351,6875; г) 1027,375; д) 151,44.
   
2. 
   а) 1001100111₂; б) 1100010010₂; в) 1100110010,1101₂; г) 1001011,0101₂;
   д) 171,3₈; е) 3A3,4₁₆.
   

Вариант 24

1. 
   а) 388; б) 280; в) 833,5625; г) 674,25; д) 159,05.
   
2. 
   а) 11001111₂; б) 101001101₂; в) 101001101,001001₂; г) 100101011,101₂;
   д) 750,51₈; е) 90,8₁₆.
   

Вариант 25

1. 
   а) 386; б) 608; в) 398,6875; г) 270,25; д) 317,32.
   
2. 
   а) 11000001₂; б) 1111111110₂; в) 1110100010,10101₂; г) 1001011001,011₂;
   д) 1335,2₈; е) 18F,8₁₆.
   

Вариант 26

1. 
   а) 76; б) 279; в) 572,25; г) 477,375; д) 184,97.
   
2. 
   а) 1001101111₂; б) 1011011000₂; в) 1110100,0011₂; г) 1000001010,01001₂;
   д) 1234,2₈; е) 1DD,2₁₆.
   

Вариант 27

1. 
   а) 1003; б) 780; в) 74,375; г) 204,25; д) 241,39.
   
2. 
   а) 1010001₂; б) 11001101₂; в) 1010101000,101₂; г) 110011001,01₂;
   д) 1031,5₈; е) 158,24₁₆.
   

Вариант 28

1. 
   а) 262; б) 414; в) 330,5; г) 541,6875; д) 115,41.
   
2. 
   а) 1001011001₂; б) 1000101₂; в) 11101111,101₂; г) 111100011,1₂;
   д) 150,44₈; е) 377,7₁₆.
   

Вариант 29

1. 
   а) 775; б) 523; в) 432,25; г) 158,3125; д) 1,09.
   
2. 
   а) 101110110₂; б) 1010010₂; в) 1001100,110011₂; г) 1001000111,10011₂;
   д) 236,63₈; е) 148,6₁₆.
   

Вариант 30

1. 
   а) 149; б) 93; в) 463,6875; г) 184,75; д) 61,52.
   
2. 
   а) 1100110101₂; б) 100001000₂; в) 1010100111,01₂; г) 111111001,1011₂;
   д) 1636,24₈; е) C7,78₁₆.
   

Отчет

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

ВАРИАНТ №__
Работу выполнил Работу принял
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Выполненные задания.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ:

Овладеть понятиями код, алфавит кода, основание кода, структура кодовой комбинации, длина кодовой комбинации, емкость кода, система счисления. Знать системы кодирования, принципы построения позиционных систем счисления, правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. 
   Какие системы счисления применяются для записи чисел в ПК и почему?
   
2. 
   Каким образом представляется число в различных системах счисления? (развернутая и краткая форма записи).
   
3. 
   Правила перевода целых и дробных чисел в различные системы счисления (составить и записать алгоритм перевода).