_Системы счисления_. "Системы счисления"

• Название: "Системы счисления"
• Дата: 27.04.2022
• Размер: 32.22 Kb.
• Имя файла: _Системы счисления_.docx
• Тип: Методические рекомендации; #500653

Тема: "Системы счисления"

Разделы учебника: [I], § 6, § 43. Дополнитель­ный материал: часть 2, раздел 1.4.

Основные цели. Раскрыть понятие системы счис­ления. Познакомить учеников со способами представ­ления чисел в позиционных системах счисления. Дать представление об использовании двоичной системы в компьютере.

Изучаемые вопросы:

• Позиционные и непозиционные системы счисления;

• Основные понятия позиционных систем: основа­ние, алфавит;

• Развернутая форма представления чисел в позици­онных системах;

• Перевод чисел из одной системы в другую;

• Особенности двоичной арифметики;

• Связь между двоичной и шестнадцатеричной сис­темами.

Методические рекомендации по изложению теоретического материала

Тема "Системы счисления" имеет прямое отноше­ние к математической теории чисел. Однако в школь­ном курсе математики она, как правило, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информа­тики связана с тем фактом, что числа в памяти компь­ютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, ад­ресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную систему. Это одна из традиционных тем, которая присутствует в любом варианте курса инфор­матики или программирования. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад также и в фун­даментальное математическое образование школьников.

1. Ученики 8-го класса, безусловно, знакомы с запи­сью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетий (XX век) и в некото­рых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. В дан­ной теме учителю предстоит раскрыть перед ученика­ми эти, казалось бы, знакомые вещи с новой стороны. С методической точки зрения эффективным является прием, когда учитель подводит учеников к самостоя­тельному, пусть маленькому, открытию. В данном слу­чае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непози­ционным принципом записи чисел. Сделать это мож­но, отталкиваясь от конкретного примера. Напишите на доске два числа:

XXX 333

Первое — римское тридцать, второе — арабское триста тридцать три. И задайте вопрос: "Чем отлича­ется принцип записи многозначных чисел римскими и арабскими цифрами?" Скорее всего вы сразу не услышите того ответа, который хотели бы получить. Тогда, указывая на отдельные цифры римского числа, спрашивайте: "Что (какое количество) обозначает эта цифра?" Получите ответ: "Десять!" — "А эта цифра? — Десять! — А эта? — Десять . — Как получается значение данного трехзначного числа?" — "Десять прибавить десять, прибавить десять, получа­ется тридцать!" А теперь переходим к числу 333. Снова задаем вопросы: "Какое количество в записи числа обозначает первая цифра справа?" — "Три едини­цы!" — "А вторая цифра?" — "Три десятка!" — "А третья цифра?" — "Три сотни!" — "А как получает­ся общее значение числа?" — "К трем единицам при­бавить три десятка и прибавить три сотни, получится триста тридцать три!"

Из этого диалога следуют все правила, которые учи­тель должен сообщить детям. В римском способе за­писи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение, которое несет каждая цифра в записи числа, зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе. Сделав ударение на слове "позиция", учитель сообща­ет, что римский способ записи чисел называется непо­зиционным, а арабский — позиционным.

После этого можно ввести термин "система счисле­ния". Система счисления — это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Римский способ записи чисел является примером непоэиционной системы счисления, а арабский — это позиционная система счисления.

Следует подчеркнуть связь между способом записи чисел и приемами арифметических вычислений в соот­ветствующей системе счисления. Предложите ученикам выполнить умножение, например, числа сто тридцать четыре на семьдесят шесть, используя римскую и араб скую системы счислений! С арабскими числами они легко справятся, а также смогут убедиться, что римские циф­ры — не помощники в вычислениях. В римской систе­ме нет простых и понятных правил выполнения вы­числений с многозначными числами. Для арабской системы такие правила известны еще с IX века. В рамках этой темы полезно рассказать ученикам, что правила выполнения вычислений с многозначными числами были разработаны выдающимся математиком средневеково­го Востока Мухаммедом аль-Хорезми и в Европе были названы алгоритмами (от латинского написания имени аль-Хорезми — Algorithmi). Этот факт следует напом­нить позже, при изучении алгоритмизации. Итак, именно позиционные системы счисления стали основой совре­менной математики. Далее, как и в математике, в ин­форматике мы будем иметь дело только с числами в позиционных системах счисления.

2. Теперь нужно дать понять ученикам, что позици­онных систем счисления существует множество, и от­личаются они друг от друга алфавитом — множе­ством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления. Задайте вопрос: "Почему арабская система называется десятичной системой счисления?" Наверняка услы­шите в ответ про десять цифр в алфавите. Делаем вы­вод: основание арабской системы счисления равно де­сяти, поэтому она называется десятичной.

Следует выписать алфавиты различных позицион­ных систем счисления. Системы с основанием не боль­ше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают ла­тинские буквы в алфавитном порядке. Из таких сис­тем в дальнейшем будет рассматриваться лишь шестнадцатеричная система.

Далее нужно научить учеников записывать натураль­ный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид натурального ряда чисел им хорошо известен:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 19 20 ... 99 100 101 ...

Принцип построения ряда такой: сначала в порядке возрастания значений записываются все однозначные чис­ла; первое двузначное число — всегда 10 (у многозначных целых чисел 0 впереди не является значащей цифрой и обычно не пишется). Далее следуют все двузначные соче­тания единицы с другими цифрами, затем — двузначные числа, начинающиеся с 2, затем — с 3 и т.д. Самое боль­шое двузначное число — 99. Затем идут трехзначные чис­ла, начиная от 100 до 999 и т.д.

По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверич­ной системе (с основанием 4):

1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 101 102 103 110 111 ... 333 1000 ...

Аналогично и для других систем. Наибольший инте­рес представляет натуральный ряд двоичных чисел. Вот как он выглядит:

1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 и т.д.

Следует обратить внимание учеников на быстрый рост числа цифр при использовании двоичной системы.

Для указания на основание системы, к которой от­носится число, вводим индексное обозначение. Напри­мер, 36g указывает на то, что это число записано в восьмеричной системе счисления, 1А6₁₆ — шестнадцатеричное число, 1011₂ — число в двоичной системе. Индекс всегда записывается десятичным числом. Сле­дует подчеркнуть, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Еще одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 36₈ как тридцать шесть'. Надо говорить: "Три-шесть". Или нельзя читать 101₂ как "сто один". Надо говорить: "Один-ноль-один". Следует также понимать, что, на­пример, 0,1₂ — это не одна десятая, а одна вторая, или 0,l₈ — это одна восьмая и т.п.

•

3. Сущность позиционного представления чисел от­ражается в развернутой форме записи чисел. Снова для объяснения привлекаем десятичную систему. Например:

5319,12 = 5000 + 300 + 10 + 9 + 0.1 + 0,02 = 5 • 10⁵ + 3 • 10² + 1 • 10' + 9 + + 1- 10-' + 2- 10-².

Последнее выражение и называется развернутой формой записи числа. Слагаемые в этом выражении являются произведениями значащих цифр числа на степени десятки (основания системы счисления), за­висящие от позиции цифры в числе — разряда. Циф­ры в целой части умножаются на положительные сте­пени 10, а цифры в дробной части — на отрицатель­ные степени. Показатель степени является номером соответствующего разряда. Аналогично можно полу­чить развернутую форму чисел в других системах счис­ления. Например, для восьмеричного числа:

1753₈= 1 • 10³ + 7 • 10² + 5 • 10' + 3.

Здесь 10₈ = 8₁₀,.

Целесообразно привести развернутую форму запи­си в виде 1753, = 1 • 8» + 7 • 8² + 5 • 8' + 3.

4. Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе, — способы перевода чисел из одной системы в другую. Основная идея заключается в следующем: перевод чи­сел неизбежно связан с выполнением вычислений. Поскольку нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснение способов перевода следует начать с пере­вода десятичных чисел в другие системы счисления. Де­лается это просто: нужно перейти к записи развернутой формы числа в десятичной системе. Вот пример такого перехода для приведенного выше восьмеричного числа:

1753₈= (1 • 10³ + 7 • 10² + 5 • 10' + 3)₈ = = (l•8⁵+ 7•8²+5• 8' + 3)₁₀

Теперь нужно вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики и получить оконча­тельный результат:

1753₈ = (192 + 448 + 40 + 3)₁₀ = 683₁₀.

Чаще всего развернутую форму числа сразу записы­вают в десятичной системе. Вот еще пример с двоич­ным числом:

101101,1₂ = (1 • 2⁵ + 0^. 2⁴ + 1 • 2³ + 1 • 2² + 0^. 2¹+ 1 + 1^._. 2^-1= 32 + 8 + 4 + 1 + 1/2 = 45.5₁₀.

Для вычисления значения числа по его развернутой форме записи существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что развернутая запись числа преобра­зуется в эквивалентную форму с вложенными скоб­ками. Например, для рассмотренного выше восьме­ричного числа это выглядит так:

1753₈= (1 • 8³ + 7 • 8² + 5 • 8¹ + 3)₁₀ = ((1^. 8 + 7)^.8 + 5)^.8 + 3.

Нетрудно понять, что если раскрыть скобки, то по­лучится то же самое выражение. В чем же удобство скобочной структуры? А в том, что ее вычисление про­изводится путем выполнения последовательной цепоч­ки операций умножения и сложения в порядке их за­писи слева направо. Для этого можно использовать самый простой калькулятор (без памяти), поскольку не требуется сохранять промежуточные результаты. Схема Горнера сводит вычисление таких выражений к минимальному числу операций.

Перевод десятичных чисел в другие системы счис­ления — задача более сложная. В принципе все про­исходит через ту же самую развернутую форму запи­си числа. Только теперь нужно суметь десятичное число разложить в сумму по степеням нового основания п= 10. Например, число 85₁₀ по степеням двойки раскладывается так:

85₁₀ = 1 • 2⁶ + 0 • 2⁵ + 1 • 2⁴ + 0 • 2³ + 1 • 2² + 0^. 2+1 = 1010101₂.

Однако проделать это в уме довольно сложно. В § 6 описывается формальная процедура такого перевода, а в разделе 1.4 второй части учебника дается математи­ческое обоснование этой процедуре. Разбор этого обо­снования требует от учеников определенного уровня математической грамотности и возможен в варианте углубленного изучения базового курса. Приемы пере­вода дробных десятичных чисел в другие системы счис­ления изложены в разделе 1.4. В рамках минимально­го объема базового курса этот вопрос изучать не обя­зательно. Здесь нужно обратить внимание на следую­щее обстоятельство: десятичные дроби с конечным числом цифр при переводе в другие системы могут превратиться в бесконечные (периодические) дроби. Если удается найти период, тогда его следует выделить. Если для школьников выделять период трудно, то нужно договориться о точности (т.е. о количестве цифр), с которой производится перевод.

Если ставится цель получения при переводе дробно­го числа наиболее близкого значения, то, ограничивая число знаков, нужно производить округления. Для этого в процессе перевода следует вычислять на одну цифру больше, а затем, применяя правила округления, сокра­щать эту цифру. Выполняя округление, нужно соблю­дать следующее правило: если первая отбрасываемая цифра больше или равна п/2 (n — основание систе­мы), то к сохраняемому младшему разряду числа при­бавляется единица. Например, округление восьмерич­ного числа 32,32471₈ до одного знака после запятой даст в результате 32,3, а округление до двух знаков после запятой — 32,33.

5. Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах:

1) двоичная нумерация,

2) двоичная арифметика, — т.е. выполнение арифметических вычислений над двоичными числами. С двоичной нумерацией ученики встретятся в § 13 "Тексты в компьютерной памяти". Рассказывая о таблице кодировки ASCII, учитель дол­жен сообщить ученикам, что внутренний двоичный код символа — это его порядковый номер в двоичной си­стеме счисления. О двоичной нумерации можно гово­рить и при изучении § 18 "Как кодируется изображе­ние". Коды цветов восьмицветной палитры (табл. 4.1') и шестнадцатицветной палитры (табл. 4.2) можно перевести в их десятичные номера. Такая система нумерации цветов используется в компьютерной гра­фике. Например, красный цвет имеет номер 4 (двоич­ный код 100); коричневый — номер 6 (код 110);

ярко-розовый — номер 13 (код 1101).

Практическая потребность знакомства с двоичной арифметикой возникает при изучении главы 11 "Как работает компьютер". В этом разделе рассказывается, как процессор ЭВМ выполняет арифметические вычис­ления. В современных компьютерах процессор произ­водит вычисления в двоичной системе счисления. В рам­ках базового курса достаточно ограничиться рассмотре­нием вычислений с целыми двоичными числами.

Для выполнения вычислений с многозначными чис­лами необходимо знать правила сложения и умноже­ния однозначных чисел.

0 + 0 = 0 0 ^. 0 = 0

1 + 0 = 1 1 ^. 0 = 0

1 + 1 = 1 1 ^. 1 = 1
Принцип перестановочности сложения и умноже­ния работает во всех системах счисления. Далее следу­ет сообщить, что приемы выполнения вычислений с многозначными числами в двоичной системе аналогич­ны десятичной. Иначе говоря, процедуры сложения,, вычитания и умножения "столбиком" и деления "угол­ком" в двоичной системе производятся так же, как и в десятичной. В § 43 приведены примеры сложения и умножения многозначных двоичных чисел. Рассмот­рим правила вычитания и деления двоичных чисел.

Операция вычитания является обратной по отно­шению к сложению. Из приведенной выше таблицы сложения следуют правила вычитания:

0-0=0; 1 - 0= 1; 10 — I = 1. А вот пример вычитания многозначных чисел:

1001101101

- 100110111

100110110

Полученный результат можно проверить сложени­ем разности с вычитаемым.

Деление — операция, обратная умножению. В лю­бой системе счисления делить на 0 нельзя. Результат деления на 1 равен делимому. Деление двоичного чис­ла на 10^ ведет к перемещению запятой на один раз­ряд влево, подобно десятичному делению на десять. Например:

10010: 10= 1001;

1011 : 10= 101,1;

101100: 10= 10110.

Деление на 100 смещает запятую на 2 разряда вле­во и т.д. В базовом курсе можно не рассматривать сложные примеры деления многозначных двоичных чисел. Хотя способные ученики могут справиться и с ними, поняв общие принципы. В 4-м практическом задании к § 43 (варианты 7 и 8) результаты деления будут следующие:

1010 : 101 = 10; 1110 : 100 = 11,1.

6. Представление информации, хранящейся в компью­терной памяти, в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр (имеется в виду запись такой информации на бумаге или вывод ее на экран). Для уменьшения количества цифр принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную сис­тему счисления. В § 43 рассматривается только шестнадцатеричная система. В современных программных средствах чаще всего используется именно эта система.

Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлением числа: одной шестнадцатеричной цифре соответствует четырехразрядный двоич­ный код. Это соответствие отражено в двоично-шестнадцатеричной таблице (табл. 11.3), приведенной в учебни­ке. Такая связь основана на том, что 16 = 2⁴ и число различных 4-разрядных комбинаций из цифр 0 и 1 рав­но 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из "16" в "2" и обратно производится путем формальной пе­рекодировки. Принято считать, что если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то это равносильно наличию двоичного представления. Преиму­щество шестнадцатеричного представления состоит 6 том, что оно в 4 раза короче двоичного. Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу. Тогда действительно для них шестнадцатеричное представление станет эквивалентным двоичному.

В шестнадцатеричном виде записываются адреса опе­ративной памяти компьютера. Например, для учебного компьютера "Нейман", который описывается в главе 11, диапазон адресации байтов памяти от 00 до FF, в десятич­ной системе — от 0 до 255. Рассматривая структуру па­мяти компьютера, принципы адресации байтов памяти, можно обсудить с учениками следующий вопрос: как свя­зан диапазон адресов с разрядностью адреса. В учебном компьютере "Нейман" адреса памяти представляются 8-разрядными двоичными числами (2-разрядными шестнадцатеричными). Поэтому число различных адресов равно 2⁸, а диапазон значений — от 0 до 2⁸ — 1 = 255 (FF₁₆).Если адрес 16-разрядный, что часто имеет место для ре­альных ЭВМ, то размер адресуемой памяти равен 2¹⁶ бай­там = 2⁶ Кбайтам = 64 Кбайтам. Диапазон шестнадцатеричных адресов в таком случае: от 0000 до FFPF.

В современных компьютерах существуют приемы, позволяющие адресовать гораздо большие размеры па­мяти без увеличения разрядности адреса. Для этого используется многоуровневая структура организации памяти. Данный вопрос выходит за рамки содержа­ния базового курса. Однако тема "Адресация памяти в современных ЭВМ" может быть предметом рефера­тивной работы учащихся. Материал можно найти в специальной литературе, посвященной архитектуре со­временных ЭВМ.

Методические рекомендации к решению задач

Задачи на системы счисления содержатся в разде­ле 1.5 задачника-практикума [2]. Первые 7 задач от­носятся к непозиционным системам счисления. Во всех случаях предполагается справедливость принципа, ис­пользуемого в римской системе записи чисел: если меньшая цифра записана после большей по величине цифры, то ее значение прибавляется к общему значе­нию числа, если меньшая цифра предшествует боль­шей, то ее значение вычитается. Например:

XVI = 10.+ 5 + 1 = 16;

XIV = 10 + 5 — 1 = 14.

Пример 1. [2], раздел 1.5, задача № 6. В некото­рой непозиционной системе счисления цифры обозначаются геометрическими фигурами. На основании данных при­меров требуется определить, какую цифру обозначает каждая фигура, и расшифровать данное многозначное число.

Учитывая сделанное выше замечание, легко понять, что круг обозначает 1, треугольник углом вверх — 5, квадрат — 10, прямоугольник — 100, треугольник уг­лом вниз — 1000. Тогда значение записанного много­значного числа определится так:

1000 — 100 + 1000 — 10 + 100 + 5 + 1 + 1 = 1997.

Задачи № 8—22 требуют от учеников знаний алфави­тов позиционных систем, умения представлять числа в развернутой форме, переводить недесятичные числа в десятичную систему счисления. При переводе рекомен­дуется использовать вычислительную схему Горнера.

Пример 2. [2], раздел 1.5, задача № 16. Записать в десятичной системе данные недесятич­ные числа.

221₃= (2 ^. 3+ 2) ^. 3+ 1 = 25₁₀

E41A,12₁₆= ((14 ^. 16 + 4) ^. 16 + 1) ^. 16 + 10 + (2/16 + 1)/16 = 58394 + 0,0703125 = = 58394,0703125₁₀

Обратите внимание на то, что дробная часть числа переводится отдельно, и на то, как применение схемы Горнера модифицируется для дробной части: умноже­ние заменяется на деление, а значащие цифры под­ставляются в обратном порядке — справа налево.

Задачи № 23— 32 на перевод десятичных чисел в дру­гие системы счисления не должны вызвать принципи­альных затруднений. Однако практика работы в школе показывает, что нередко возникает парадоксальная про­блема: многие ученики не умеют выполнять деление многозначных чисел без калькулятора. В этих же зада­ниях делить приходится вручную, поскольку нужно выделять остатки, чего обычно не делают калькуляторы. Иногда затруднения вызывает и перемножение много­значных чисел при переводе дробей, особенно в шестнадцатеричную систему. В таком случае невредно вос­становить навыки ручных вычислений, напрочь забы­тые многими учениками со времен младшей школы. Задайте детям вопрос: "Кто умнее — человек или каль­кулятор?" Пусть это стимулирует их поднять свой ин­теллект выше уровня пластмассовой коробочки.

В задачах № 33—45 используется связь между система­ми с основанием 2". Требуется умение производить пере­воды между числами в системах с основанием 2, 8, 16. Как отмечалось выше, такой перевод происходит путем формального перекодирования с помощью двоично-шестнадцатеричного или двоично-восьмеричного кода. Таб­лицы такой перекодировки приведены в задачнике.

Пример 3. [2], раздел 1.5, № 38. Перевести шестнадцатеричные числа в восьмеричную систему.

Конечно, такой перевод можно производить и че­рез десятичную систему по схеме 16 => 10 ==> 8. Но это долго и неудобно. Лучше выполнять такой перевод по схеме 16 => 2 =» 8. В этом случае ничего не требу­ется вычислять, все сводится к формальной перекоди­ровке. На втором шаге следует сгруппировать двоич­ные цифры тройками.

774₁₆= 0111 0111 0100₂

011 101 110100= 3564₈

F12,0457=₁₆ 111100010010,0000010001010111₂ => 111 100 010 010, 000 001 000 101 011 100 = = 7422,010534₈.

В задачах № 46—62 от учеников требуется умение выполнять арифметические вычисления в различных позиционных системах счисления. Следует обратить внимание учеников на то, что в основе таких вычисле­ний лежат правила сложения и умножения однознач­ных чисел, а вычислительные алгоритмы везде одина­ковы. Наибольшую сложность могут представить зада­чи с определением неизвестных цифр.