Системы счисления

• Название: Системы счисления
• Дата: 10.02.2023
• Размер: 293.29 Kb.
• Имя файла: sistemy_schisleniya.docx
• Тип: Реферат; #930667
• страница: 4 из 4

Двоичное кодирование в компьютере

В конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.

Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляют собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Любой такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом.

Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0.

Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны двоичное кодирование информации уметь получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда (как на счетах при помощи костяшек). Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины оказывается чрезвычайно сложной, что сказывается на надежности и скорости работы ЭВМ. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено – не намагничено, высокое напряжение – низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении.

Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.

В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).

Бит – минимальная единица измерения информации. В каждом бите может храниться 0 или 1.

Для измерения объема хранимой информации используются следующие единицы:

1 байт = 8 бит;

1 кбайт (килобайт) = 1024 байт = 2¹⁰ байт;

1 Мбайт (мегабайт) = 1024 кбайт = 2¹⁰кбайт = 2²⁰байт;

1 Гбайт (гигабайт) = 1024 Мбайт = 2¹⁰Мбайт = 2²⁰кбайт = 2³⁰байт.

Число 1024 как множитель при переходе к более высшей единице измерения имеет своим происхождением двоичную систему счисления (1024 – это десятая степень двойки):

Все позиционные системы счисления являются равноправными, но в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Из всех позиционных систем счисления наибольшее распространение, за исключением десятичной, получила двоичная система счисления. В первую очередь это связано с надежностью представления информации: при ее кодировании, передаче и декодировании вероятность ошибки (потери информации) мала по сравнению с тем, когда при представлении данной информации используются другие системы счисления. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием.

Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в XIX–XX веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе – в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» – комбинации коротких и длинных звонков.

Самюэл Морзе в 1838 г. изобрел код – телеграфную азбуку – систему кодировки символов короткими и длинными посылками для передачи их по линиям связи, известную как «код Морзе». Современный вариант международного «кода Морзе» (International Morse) появился совсем недавно – в 1939 году, когда была проведена последняя корректировка.

Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₂= А_n·2^n-1 + А_n-1·2^n-2 + А_n-2·2^n-3 +…+А₂·2¹ + А₁·2⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

n(степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример: Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления:

11101000₂= 1·2⁷ + 1·2⁶ + 1·2⁵ +0·2⁴ + 1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰=232₁₀

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₈= А_n·8^n-1 + А_n-1·8^n-2 + А_n-2·8^n-3 +…+А₂·8¹ + А₁·8⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

n(степень)	0	1	2	3	4	5	6
8n	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример: Число 75013₈ перевести в десятичную систему счисления:

75013₈= 7·8⁴ + 5·8³+ 0·8² +1·8¹ + 3·8⁰=31243₁₀
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₁₆= А_n·16^n-1 + А_n-1·16^n-2 + А_n-2·16^n-3 +…+А₂·16¹ + А₁·16⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

n(степень)	0	1	2	3	4	5	6
16n	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример: Число FDA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления:

FDA1₁₆= 15·16³ + 13·16² + 10·16¹ +1·16⁰=64929₁₀

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления:



22₁₀=10110₂

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.



571₁₀=1073₈

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число7467₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.




7467₁₀=1D2B₁₆

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:

2-ная	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ная	0	1	2	3	4	5	6	7

Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 011₂=113₈

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:

2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Пример: Число 1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

0010 1110 0011₂=2E3₁₆

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример: Число 531₈ перевести в двоичную систему счисления:

531₈=101 011 001₂

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример: Число ЕЕ8₁₆ перевести в двоичную систему счисления:

ЕЕ8₁₆=111011101000₂

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1: Число FEA₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления:

FEA₁₆=111111101010₂=111 111 101 010₂=7752₈

Пример 2: Число 6635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

6635₈=110110011101₂=1101 1001 1101₂=D9D₁₆


Таблица соответствия натуральных чисел

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Заключение

Интуитивное представление о числе, так же старо, как и само человечество. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными.

Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Хорошо известно, что первой из известных систем счисления, основанных на позиционном принципе, была вавилонская 60-ричная система счисления, возникшая в Древнем Вавилоне примерно во 2-м тысячелетии до новой эры.

Мы используем для повседневных вычислений десятичную систему счисления. Хорошо известно, что предшественницей десятичной системы счисления является Индусская десятичная система, возникшая примерно в 8-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас (1749-1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:

"Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой".

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в своем сочинении "Liber abaci" (1202) выступил убежденным сторонником новой нумерации. Он писал:

"Девять индусских знаков - суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски "zephirum", можно написать какое угодно число".

Список использованной литературы

1. 
   Шауцукова Л.З. «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эльфа», Нальчик, 1994.
   
2. 
   Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004.
   
3. 
   Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.
   
4. 
   Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии. Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр "Академия", Киев, 2001 г.
   
5. 
   Касаткин В.Н. Введение в кибернетику. Радянська школа. Киев, 1976 г.
   
6. 
   Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964 г.