Системно-деятельностный подxод к обучению математики статья. Доклад Волкова.doc. Системнодеятельностный подход в обучении при решению задач на смеси и сплавы
 Скачать 112.93 Kb.
|
|
«Системно-деятельностный подход в обучении при решению задач на смеси и сплавы». Волкова О. Д. Уже несколько лет подряд провожу элективные занятия в 9 классе по теме «Текстовые задачи – легко!». Текстовые задачи представляют собой раздел математики, традиционно предлагаемый на государственной аттестации по математике. Они вызывают трудности у многих учащихся. Отчасти это происходит от недостаточного внимания, уделяемого такого сорта задачам в школьном курсе математике. Поэтому, стараюсь объяснить решение каждой задачи на доступном уровне, нередко используя старинные, нетрадиционные способы решения. Учащиеся сами также работают над проектами по поиску интересных способов решения текстовых задач. Больший интерес у них вызывают задачи на проценты. Я, обобщая свой опыт и проектные исследования ребят, хотела бы остановиться на решении задач на смеси, сплавы, растворы. Самостоятельно справиться с такими задачами могут немногие. Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной и средней школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Поэтому на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной. Существуют различные способы решения задач на процентное содержание или концентрацию. Я хочу рассказать о некоторых из них. Начать хочу с задач на процентное содержание влаги. При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода. В рассматриваемых задачах эту величину будем обозначать х. Задача 1.Свежие фрукты содержат 76 % воды, а сухие – 20 % воды. Сколько сухих фруктов получится из 30 кг свежих? Решение. Модели в данных задачах оформляем в виде кружочков, поделённых пополам. В нижней его части записываем содержание воды в %, в верхней – массу вещества. Свежие фрукты Сухие фрукты 30кг 100% укг 100%      х кг 80% Сухое вещество Вода 20% А5677 хкг 24%   76% Пусть х масса сухого вещества. Если свежие фрукты содержали 76% воды, то «не воды» в них было 24%. Всего 100%. Массу сухого вещества назвали х, а по условию задачи свежих фруктов было 30 кг. Все эти сведения отмечены в первом кружочке. Аналогично заполняем второй кружочек. Из рисунка видим две пропорции. Решим их.   Ответ: 9 кг.Задача 2.Собрали 42 кг свежих грибов, содержащих по массе 95% воды. Когда их подсушили, они стали весить 3 кг. Каков процент содержания воды по массе в сухих грибах? Решение. свежие грибы сухие грибы 42 кг -100% 3кг - 100%
   К = 100% - 70% = 30% Ответ: 30%. Решение задач на растворы, смеси и сплавы с помощью модели. Их модель я оформляю в виде прямоугольников, разделённых пополам. В верхней части прямоугольника записывается масса, в нижней – проценты. Чтобы составить уравнение, необходимо данные величины перемножать. Если проценты перевести в десятичные дроби, то во второй строке решения уравнения, чтобы числа были целыми, всю строку надо умножить на 100. Поэтому при составлении уравнения сразу учитываю это. Задача 1. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Решение:   Х кг (х+10)кг (2х+10) кг    5% 11% 14% + = 5х +14(х+ 5х + 14(х+10) = 11(2х+10); 5х + 14х + 140 = 22х + 110; 3х = 30; х = 10, 10 кг – масса 1-ого сплава. Найдём массу 3-его сплава. 2х + 10 = 30(кг). Ответ: 30 кг. Задача 2. «Из чаши, содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты, отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды. Определите, сколько граммов воды было добавлено, если известно, что в результате получили 2%-ый раствор уксусной кислоты». было отлили добавили получили    300г 300г х г х г    6% 2% 300г - + =   6% 0% 300·6 – 6х +х·0 = 300·2 1800 – 6х =600 х = 200(г) Ответ: 200 г Решение задач на смеси и сплавы с помощью таблицы. Рассмотрим решения задач с применением таблицы. Таблица для решения задач имеет вид:
Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? Решение:
Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве: Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение , 200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г Ответ: 140 г, 60г. Решение задач на смеси методом Магницкого. В основу метода Магницкого положено составление пропорции с помощью шаблона «Рыба». Предлагаю рассмотреть решение задач: Задача 1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-ной и раствор 70%-ной кислоты, чтобы получить раствор 65%-ной кислоты? Решение: Для решения задачи нарисуем схему  в которой слева запишем требуемую концентрацию кислоты в процентах, т.е. 65, затем друг под другом запишем концентрации имеющихся растворов, т.е. 50 и 70, наконец, подсчитаем и запишем крест-накрест соответствующие разности 65 – 50 = 15 и 70 – 65 = 5. Теперь можно сделать вывод, что для получения 65-процентной кислоты нужно взять растворы 50-процентной и 70-процентной кислот в отношении 5 : 15, или 1 : 3. Ответ: 1 : 3Дадим обоснование этому способу. Пусть требуется смешать растворы а-процентной и b-процентной кислоты, чтобы получить с-процентный раствор. Пусть а < b, причем a < c < b: если с < a или c > b, то с-процентный раствор, конечно получить нельзя. Пусть берется х частей первого раствора и у частей второго, то выполняется равенство  , откуда вытекает соотношение (b – c)y = (c – a)x, т.е. x : y = (b – c) : (c– a). Такой же вывод дает описанная в условии задачи схема  Таким образом, использование схемы вполне обосновано.Задача 2. Сколько пресной воды нужно добавить к 4 кг морской воды, чтобы уменьшить содержание соли в ней в 2,5 раза? Решение: Если обозначить через а содержание соли в морской воде и воспользоваться старинным способом, то получится схема  таким образом, пресную и морскую воду нужно смешать в отношении  , значит к 4 кг морской воды нужно добавить 6 кг пресной.Ответ: 6 кг Задача 3. Индийский чай дороже грузинского в  раза. В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай дороже грузинского в  раза?Решение: Если использовать старинный способ, то получится схема  Следовательно, грузинский чай с индийским надо смешивать в отношении  Для того чтобы обосновать полученный результат, достаточно убедиться в том, что использование старинного способа здесь правомерно. В самом деле, никакой принципиальной разницы нет в том, подсчитывать ли содержание какого-либо вещества в единице смеси или стоимость единицы смеси, т.е. количество денег, уплаченное в среднем за единицу смеси.Решение задач на смеси методом прямоугольников. Одним из универсальных методов является метод прямоугольников. Данный способ удобен, так как зрительное восприятие данных, расположенных в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также облегчить процесс как решения, так и проверки задачи. Наиболее распространены задачи, в которых из двух смесей (растворов или сплавов) получается новая смесь (раствор или сплав). Рассмотрим типовые задачи. Задача 1. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? Решение: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x).  15x = 5 (600- x), x =150 г. Ответ: 150 г и 450 г.Старинный алгебраический метод или правило квадрата. Задача 1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 210 т стали с содержанием 30% никеля? Решение. Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа
вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема: Из неё делается заключение, что 5% металла следует взять 10 частей, а 40 % - 25 частей. Узнав, сколько приходится на одну часть 210: (10+25) = 6 т, получаем, что 5% - го металла необходимо взять 60 т, а 40% - го -150 т. Ответ: 60 т - 5% - го металла и 150 т - 40% - го металла. Задача 2. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Обозначим искомую величину за Х. По правилу квадрата получим:
6л Составим пропорцию:  , х= 4,8 Ответ: 4,8 % - жирность молока.Этот способ еще называют «методом креста». Правило креста (диагональная модель «конверта Пирсона») – диагональная схема правила смешения:  Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков – заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.  Решение задач на смеси и сплавы с помощью расчётной формулы.  , где P – процентное содержание вещества, m - масса вещества.Задача 1. В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора. Решение.  =0,125Ответ: 12,5 %.Заключение: таким образом, в данной работе мной были рассмотрены несколько различных методов решения задач на смеси, растворы и сплавы. При этом практически было доказано, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения. Однако стоит отметить, что, несмотря на внешние различия в ходе решения задач различными способами, все они в своей основе имеют общую схему. Как уже отмечалось ранее, каждый из рассмотренных методов опирается на знание понятий «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества в растворе». После элективных занятий по данной теме многие выпускники, не стали бояться задач на проценты. Они, наоборот, радуются, когда в Кимах попадаются задачи по данной теме. И с уверенностью справляются с ними. Те, кто продолжает сою учёбу в школе, всегда справляются с текстовыми задачами №11 из профильного уровня ЕГЭ по математике. В дальнейшем, думаю продолжить работу в этом направлении и уделить особое внимание решению банковских задач. Волкова Ольга Дмитриевна МКОУ Побединская ООШ Острогожский район Воронежская область, учитель математики c. Ближнее Стояново, ул. Луговая, дом 42, кв. 3 Адрес электронной почты: volk.olg2012@yandex.ru Телефон 89065887523 |
