Тт. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний t L q q q m cos 2 2 0 . (1) 70 Приложение III ВЫНУЖДЕННЫЕ И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Вынужденные электромагнитные колебания Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.1), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону t t m cos ) ( , где m – амплитуда внешней ЭДС, – циклическая частота ЭДС. Обозначим через U C напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС (t) действует еще ЭДС самоиндукции L в катушке индуктивности. ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре i L dt di L L Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа ) (t U U L C R Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома iR U R (t) L C R 23 1 - нить накала, 2 - катод, 3 - управляющий электрод, 4 - первый анод, 5 - второй анод, 6- пластины вертикального отклонения, 7 - пластины горизонтального отклонения, 8 - флуоресцирующий экран Блок-схема осциллографа представлена на рис.4. Осциллограф состоит из электронно-лучевой трубки (ЭЛТ), генератора напряжения развертки и двух усилителей. Один из усилителей, предназначенный для усиления исследуемого напряжения, обычно называют вертикальным усилителем, так как напряжение с него подается на горизонтально Вертикальный УСИЛИТЕЛЬ Горизонтальный УСИЛИТЕЛЬ ГЕНЕРАТОР развертки БЛОК питания ЭЛТ 220 В Вход у Вход х Рис. 4. Блок-схема осциллографа 24 расположенные пластины электронно-лучевой трубки, которые обеспечивали вертикальное отклонение луча по экрану. Напряжение от второго усилителя подается на вертикальные пластины, обеспечивающие горизонтальное перемещение луча. Этот усилитель называется горизонтальным. Напряжение генератора развертки подается на пластины через горизонтальный усилитель. Для исследования характера изменения электрических сигналов во времени используют специально вмонтированное в осциллограф устройство, называемое генератором развертки. Этот генератор вырабатывает пилообразное напряжение (рис.4), которое за время раз T линейно нарастает от нуля до максимального значения E U U max , а затем за очень малое время раз T падает до нуля. Частоту пилообразного напряжения можно изменять с помощью рукоятки "частота развертки". Пилообразное напряжение подается обычно на вертикальные пластины. При этом луч откланяется по горизонтали на величину пропорциональную значению пилообразного напряжения в данный момент. Так как это напряжение линейно возрастает со временем, то по горизонтали луч движется равномерно, что соответствует ходу времени, и, значит, смещение луча по горизонтали пропорционально времени. Поэтому при включенном генераторе развертки горизонталь считают осью времени. При малых частотах развертки можно увидеть поступательное равномерное движение точки по горизонтали. Если частота развертки большая, то на экране видна только горизонтальная линия. Это происходит в силу инерции зрительного восприятия и послесвечения трубки, т.е. зрительно при больших частотах мы не успеваем отметить последовательное перемещение луча по экрану слева направо при увеличении напряжения От нуля до максимума и почти мгновенное возвращения луча в исходное положение. На каждом следующем "зубце пилы" луч движется по одному и тому же следу слева направо по горизонтали и обратно, и повторяется это с частотой равной частоте развертки. 69 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний Второй закон Ньютона ) (t F F F a m упр тр Второе правило Кирхгофа C R L U U t ) ( t F kx dt dx r dt x d m m cos 2 2 t m F x m k dt dx m r dt x d m cos 2 2 q C dt dq R t dt q d L m 1 cos 2 2 t L q LC dt dq L R dt q d m cos 1 2 2 t m F x dt dx dt x d m cos 2 2 0 2 2 t L q dt dq dt q d m cos 2 2 0 2 2 Уравнение вынужденных колебаний ) cos( ) ( t A x ) cos( ) ( t q q m Амплитуда вынужденных колебаний 2 2 2 2 2 0 4 ) ( ) ( m F A m 2 2 2 2 2 0 4 ) ( ) ( L q m m Тангенс сдвига фазы 2 2 0 2 tg Резонансная частота 2 2 0 2 p Все формулы колебательных процессов электрической системы можно получить из соответствующих формул колебательных процессов механической системы указанными выше заменами и наоборот. 68 Циклическая частота собственных колебаний m k 0 LC 1 0 Уравнение гармонических колебаний ) cos( 0 0 t A x ) cos( 0 0 t q q m Дифференциальное уравнение затухающих колебаний Второй закон Ньютона упр тр F F a m Второе правило Кирхгофа C R L U U kx dt dx r dt x d m 2 2 0 2 2 x m k dt dx m r dt x d q C dt dq R dt q d L 1 2 2 0 1 2 2 q LC dt dq L R dt q d 0 2 2 0 2 2 x dt dx dt x d 0 2 2 0 2 2 q dt dq dt q d Коэффициент затухания m r 2 L R 2 Уравнение затухающих колебаний ) cos( 0 0 t e A x t ) cos( 0 0 t e q q t Циклическая частота затухающих колебаний 2 2 0 Амплитуда затухающих колебаний t e A t A 0 ) ( t m e q t q 0 ) ( 25 Чтобы увидеть, как меняется со временем исследуемое напряжение, надо одновременно подать на"Вход х" напряжение развертки, а на "Вход у" исследуемый сигнал ) (t U . Пусть к моменту времени t исследуемый сигнал достигает значения ) (t U , а напряжение развертки значения E U . Луч, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных движениях: по горизонтали (под действием напряжения развертки) и по вертикали (под действием исследуемого напряжения ) (t U ), переместится в точку A (рис.5). Если исследуемое напряжение меняется по гармоническому закону и его период совпадает с периодом развертки раз T , то в течение времени раз T на экране луч "выпишет" один период синусоиды. На каждом следующем зубце пилы при достижении напряжением значений A U , B U , C U и т.д. электронный луч будет попадать соответственно в те же точки 1 A , 1 B , 1 C и т.д. синусоиды, что и на первом "зубце". 26 Изображение на экране осциллографа будет неподвижным, если период развертки равен или в целое число раз больше периода исследуемого сигнала. При невыполнении этого условия (часто случающегося из-за нестабильности частоты генератора развертки) изображение будет "плыть" по экрану. Для измерения периода надо на горизонтальные пластины подать исследуемое напряжение и включить генератор развертки "Вход х", подающий пилообразное напряжение на вертикальные пластины. Вращая ручку "генератор развертки", получить на экране устойчивую картину – синусоиду. Посчитать количество клеток периода синусоиды и, помножив на цену деления генератора развертки, получить период колебаний. 67 3. Аналогия механических и электромагнитных колебаний Пружинный маятник Колебательный контур Механические величины Электрические величины Смещение х Заряд конденсатора q Скорость dt dx Сила тока dt dq i Масса груза m Индуктивность L Жесткость пружины k Величина обратная электроемкости С 1 Коэффициент трения r Сопротивление R Сила упругости x k F упр Напряжение на C C q U C Сила трения dt dx r r F тр Напряжение на R dt dq R iR U R Дифференциальное уравнение гармонических колебаний Второй закон Ньютона упр F a m Второе правило Кирхгофа C L U x k dt x d m 2 2 0 2 2 x m k dt x d q C dt q d L 1 2 2 0 1 2 2 q LC dt q d 0 2 0 2 2 x dt x d 0 2 0 2 2 q dt q d 66 Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний N e , п о прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз e N T T Q Логарифмический декремент затухания (см. Приложение II. п.1) Физический смысл коэффициента затухания (см. Приложение II. п.1) Физический смысл логарифмического декремента затухания (см. Приложение II. п.1) 27 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 74 Изучение затухающих механических колебаний ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучение затухающих механических колебаний. Определение момента инерции крутильного маятника. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Лабораторная установка для изучения крутильных колебаний, металлическое кольцо, секундомер. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Нарисовать схему установки (рис.1) и рассказать порядок выполнения и расчета лабораторной работы. 2. Вывести расчетную формулу (5) для определения момента инерции бруска. 3. Основной закон динамики вращательного движения. 4. Вывести дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний (см. Приложение II). 5. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний, т.е. написать уравнение затухающих колебаний. 6. Амплитуда затухающих колебаний. 7. Циклическая частота затухающих колебаний. 8. Вывести формулу периода затухающих колебаний. 9. Каков физический смысл коэффициента затухания? 10. Какая величина называется логарифмическим декрементом затухания? Каков его физический смысл? 11. Определение добротности. Каков ее физический смысл? 28 ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ Лабораторная установка (крутильный маятник) представляет из себя брусок, подвешенный на упругой струне, концы которой закреплены (рис.1). На брусок для увеличения момента инерции может быть положено металлическое кольцо. После отклонения бруска на небольшой угол от положения равновесия, система будет совершать крутильные колебания. Сила сопротивления приводит к тому, что амплитуда этих колебаний постепенно уменьшается и брусок совершает крутильные затухающие колебания. ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ Циклическая частота затухающих колебаний определяется формулой (см. Приложение II) 2 2 0 , (1) где: 0 - циклическая частота собственных колебаний, - коэффициент затухания. Выразим циклическую частоту затухающих колебаний и циклическую частоту собственных колебаний 0 через соответствующие периоды Т и Т 0 T 2 , 0 0 2 T Учитывая, что коэффициент затухания связан с логарифмическим декрементом затухания и периодом отношением 65 Подставляем вместо 0 и их значения, находим условие возникновения колебаний L R LC 2 1 или 2 2 4 1 L R LC , C L R 2 Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический C L R кр 2 Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период W W W T t W t W t W Q 2 ) ( ) ( ) ( 2 Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях 0 > энергия меняется по закону t e W t W 2 0 ) ( Найдем изменение энергии за один период колебаний ) 2 ( ) 1 ( 2 0 2 2 0 ) ( 2 0 2 0 T e W e e W e W e W W t T t T t t , т.к. 2 1 2 T e T , если 1 2 T Подставим в добротность и учтем что = Т T T e W e W W W Q t t ) 2 ( 2 2 2 0 2 0 64 где А 1 и А 2 постоянные, так как > 0 , то К 1 и К 2 оба вещественны и положительны. Значения постоянных определяются начальными условиями задачи 0 2 1 0 q A A q t , 0 2 2 1 1 0 0 K A K A dt dq i t t Это дает 2 1 2 0 1 K K K q A , 2 1 1 0 2 K K K q A После чего решение принимает вид: t K t K e K e K K K q q 1 2 2 1 2 1 0 На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что >> 0 , то К 1 >> К 2 и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе –К 2 по сравнению с К 1 . Тогда t K e q q 2 0 Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо, чтобы выполнялось условие 0 > . 29 T , из формулы (1) следует 2 2 0 2 , 2 2 2 0 2 2 2 4 4 T T T , 2 2 2 0 2 4 1 T T (2) Если сила трения мала и выполняется условие << 2 , то можно записать приближенную формулу 0 T T (периоды затухающих и собственных колебаний приближенно равны). Из выражения для собственной частоты крутильных колебаний J k 0 можно выразить период собственных крутильных колебаний k J T 2 2 0 0 Тогда период затухающих колебаний бруска без кольца k J T 2 2 1 4 (3) Если на брусок положить кольцо, момент инерции системы, а, следовательно, и период колебаний увеличится. Момент инерции, создаваемый кольцом 2 mr J к , где: m - масса кольца, r - радиус кольца. Для периода крутильных колебаний бруска с кольцом k J J T к ) ( 4 2 2 2 (4) Возьмем отношение (3) к (2) |