фк. Лекция 2 - слож кол и затух старые. Сложение колебаний Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
 Скачать 271.88 Kb.
|
|
Сложение колебаний Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты: х1 = А1 cos (t + 1), х2 = А2 cos (t + 2). Результирующее колебание х = х1 + х2 должно быть гармоническим колебанием той же частоты , что и складываемые колебания, то есть х = А cos (t + ). Задача заключается в нахождении амплитуды А и начальной фазы результирующего колебания. Сложение колебаний одного направления Результирующая амплитуда после сложения одинаково направленных гармонических колебаний Начальная фаза результирующего колебания БИЕНИЯ х1 = А1cos (t + 1) х2 = А1cos ( + )t + 2)], где . В результате сложения этих двух колебаний получаем х = Аcos t + Аcos ( + )t = = 2А[cos (/2)t]cos t Сложение перпендикулярных колебаний. Задача нахождения траектории результирующего движения заключается в исключении параметра t и связывании напрямую координат у и х. Частные случаи: а) = 0 (или 2m) - колебания по х и у - синфазны: б) = (2m + 1) - колебания по х и у противофазны. Траектория – прямая линия. в) = 2 - колебания по х и у фазно-ортогональны. Уравнение траектории: х2А2 + у2/В2 = 1 - уравнение эллипса приведённого к осям координат. При равенстве амплитуд складываемых взаимно-перпендикулярных колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи = /2 и = - /2 отличаются направлением движения точки по эллипсу или окружности (по или против часовой стрелки). Фигуры Лиссажу. Частоты взаимно - перпендикулярных колебаний не одинаковы. При кратности частот траектория становится замкнутой. Число пересечения траекторией осей Х и Y повторяет соотношение частот соответствующих колебаний. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ Сила трения (или сопротивления) где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x: где kx – возвращающая сила, rυx – сила трения. Или Введем обозначения: Тогда: Решение этого уравнения имеет вид (при ): где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Для колебаний под действием упругой силы ;; называется условным периодом затухающих колебаний Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T : где β– коэффициент затухания. . Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания : Время релаксации – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. отсюда Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда ; ; Итак, логарифмический декремент затухания есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз. При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим . При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения. Для характеристики колебательной системы употребляется величина, называемая добротностью. Добротность пропорциональна количеству колебаний, совершенных системой за время, за которое амплитуда уменьшается в е раз ( то есть за время релаксации). Пружинный маятник Колебательный контур При малых затуханиях можно считать, что энергия в колебательной системе изменяется по закону где - значение энергии в начальный момент времени. Продифференцируем это выражение по времени: Скорость убывания энергии со временем Если за период энергия мало изменяется, то при умножении этого выражения на T можно найти убыль энергии за период и выразить добротность через энергию. При слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2 равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент к убыли этой энергии за один период колебаний. |