Главная страница
Навигация по странице:

  • Поверхности второго порядка.

  • Свойства эллипсоида

  • Свойства однополостного гиперболоида

  • Свойства двуполостного гиперболоида.

  • Свойства эллиптического параболоида.

  • Свойства гиперболического параболоида.

  • Cписок использованной литературы

  • ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Содержание Поверхности второго порядка. 3 Эллипсоид. 3 Однополосный гиперболоид. 4 Двуполостный гиперболоид. 7 Эллиптический параболоид.


    Скачать 146 Kb.
    НазваниеСодержание Поверхности второго порядка. 3 Эллипсоид. 3 Однополосный гиперболоид. 4 Двуполостный гиперболоид. 7 Эллиптический параболоид.
    Дата07.04.2019
    Размер146 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.doc
    ТипДокументы
    #72917

    Содержание



    Поверхности второго порядка. 3

    1.Эллипсоид. 3

    2. Однополосный гиперболоид. 4

    3. Двуполостный гиперболоид. 7

    4. Эллиптический параболоид. 8

    5. Гиперболический параболоид. 10

    6. Конус второго порядка. 12

    Cписок использованной литературы: 14


    Поверхности второго порядка.
    Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.


    1.Эллипсоид.




    Рис. 1
    Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

    (1)

    Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
    Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

    (2)

    Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.

    Если (c>0), то  и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости  z=h с данным эллипсоидом не существует.

    Если , то  и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости  касаются эллипсоида).

    Если 

    , то уравнения (2) можно представить в виде


    откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и . При уменьшении  значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями  и .

    Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.

    Свойства эллипсоида:

    1) Эллипсоид — ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

    2) Эллипсоид обладает:

    – центральной симметрией относительно начала координат;

    – осевой симметрией относительно координатных осей;

    – плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.


    2. Однополосный гиперболоид.





    Рис. 2
    Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

    , (a>0, b>0, c>0) (3)
    Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
    Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

    или   (4)

    из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями  и ,

    достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании  величины a* и b* возрастают бесконечно.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

    Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

    параллельными координатным плоскостям x0z и y0z получим гиперболы.

    Свойства однополостного гиперболоида:

    1) Однополостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

    2) Однополостный гиперболоид обладает:

    – центральной симметрией относительно начала координат;

    – осевой симметрией относительно всех координатных осей;

    – плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

    3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — гипербола.

    4) Для каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на его поверхности.

    3. Двуполостный гиперболоид.




    Рис. 3
    Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

    (5)

    Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

    Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
     и 

    из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
     или  (6)
    из которых следует, что при >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями  и . При увеличении  величины a* и b* тоже увеличиваются.

    При  уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости  касаются данной поверхности).

    При  уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

    Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

    Свойства двуполостного гиперболоида.

    1) Двуполостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и не ограничен сверху.

    2) Двуполостный гиперболоид обладает:

    – центральной симметрией относительно начала координат;

    – осевой симметрией относительно всех координатных осей;

    – симметрией относительно всех координатных плоскостей.

    3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , при получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — гипербола.

    4. Эллиптический параболоид.





    Рис. 4

    Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
    , (7)
    где p>0 и q>0.
    Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
    Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

     и 

    из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

    Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

     или   (8)

    из которых следует, что при  плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями  и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

    Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

    В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

    Свойства эллиптического параболоида.

    1) Эллиптический параболоид — неограниченная поверхность, т. к. из его уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.

    2) Эллиптический параболоид обладает

    осевой симметрией относительно оси;

    – плоскостной симметрией относительно плоскостей и .

    3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — парабола.


    5. Гиперболический параболоид.





    Рис. 5
    Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

     (9) 

    где p>0, q>0.
    Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

    Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение

     (10)

    из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.



    Рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

    Получаем уравнение



    из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат.

    Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения



    из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).

    Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения

     или 

    из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

     и 

    точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

    Свойства гиперболического параболоида.

    1) Гиперболический параболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что — любое.

    2) Гиперболический параболоид обладает

    – осевой симметрией относительно оси ;

    – плоскостной симметрией относительно плоскостей и

    3) В сечении плоскостью, ортогональной , получается гипербола, а плоскостями ортогональными или — парабола. Т.о. поверхность может быть получена перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости перпендикулярны.

    4) Для каждой точки гиперболического параболоида, существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на поверхности.


    6. Конус второго порядка.




    Рис. 6
    Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

      (11)

    Уравнение (11) называется каноническим уравнением конуса второго порядка.

    Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию



    распадающуюся на две пересекающиеся прямые

     и 

    Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые

     и 

    Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим

     или 

    из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями  . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.

    При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).

    Cписок использованной литературы:


    1. Шипачев, В. С.  Высшая математика [Текст] : учеб. для вузов / В. С. Шипачев.- 7-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2005. с. 252-259. - ISBN 5-06-003959-5.

    2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]: полный курс / Д. Т. Письменный. - 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006. с. 106-115: ил. - (Высшее образование). ISBN 5-8112-1778-1

    3. Выгодский , М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] /М.Я.Выгодский/ Выгодский М.Я.. - : М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991 с. ISBN 5-17-012238-1




    написать администратору сайта