Поверхности второго порядка
 Скачать 3.63 Mb.
|
|
Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. Эллипсоид.  Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:  (1) Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h– любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями  (2)Исследуем уравнения (2) при различных значениях h. Если  > c(c>0), то  и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=hс данным эллипсоидом не существует.Если  , то  и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости  касаются эллипсоида).Если  , то уравнения (2) можно представить в виде откуда следует, что плоскость z=hпересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями  и  . При уменьшении значения  и  увеличиваются и достигают своих наибольших значений при  , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxyполучается самый большой эллипс с полуосями  и  .Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxzи Oyz. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, cназываются полуосямиэллипсоида. В случае a=b=cэллипсоид является сферой. 2. Однополосный гиперболоид.  Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением (3) Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида. Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения  и  из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы. Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями  или  (4) из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями  и  ,достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy. Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением  (5) Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения  и  из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы. Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями  или  (6) из которых следует, что при >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями  и  . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются.При уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости касаются данной поверхности).При  уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Эллиптический параболоид. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением   (7)где p>0 и q>0. Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения  и  из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями  или (8)из которых следует, что при  плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями  и  . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши. Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами. В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения). Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением  (9)  где p>0, q>0. Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида. Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение (10)из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.  рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0). Получаем уравнение  из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения  из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10). Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения  или  из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых  и  точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами. 6. Конус второго порядка. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением   (11) Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию  распадающуюся на две пересекающиеся прямые  и  Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые  и  Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим  или из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями  . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0). Cписок использованной литературы: 1.Шипачёв В.С.:”Высшая математика” |