Главная страница
Навигация по странице:

  • 2. Однополосный гиперболоид.

  • Двуполостный гиперболоид.

  • Эллиптический параболоид.

  • Гиперболический параболоид.

  • 6. Конус второго порядка.

  • Поверхности второго порядка


    Скачать 3.63 Mb.
    НазваниеПоверхности второго порядка
    Дата11.12.2022
    Размер3.63 Mb.
    Формат файлаrtf
    Имя файлаreferatbank-28764.rtf
    ТипДокументы
    #838459


    Поверхности второго порядка
    Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.


    1. Эллипсоид.


    Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:



    (1)
    Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

    Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h– любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

    (2)

    Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.

    1. Если > c(c>0), то и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=hс данным эллипсоидом не существует.

    2. Если , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости касаются эллипсоида).

    3. Если , то уравнения (2) можно представить в виде



    откуда следует, что плоскость z=hпересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxyполучается самый большой эллипс с полуосями и .

    Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxzи Oyz.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, cназываются полуосямиэллипсоида. В случае a=b=cэллипсоид является сферой.
    2. Однополосный гиперболоид.

    Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
    (3)
    Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

    Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

    или (4)




    из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и ,

    достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

    Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.


    1. Двуполостный гиперболоид.

    Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
    (5)
    Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

    Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

    или (6)

    из которых следует, что при >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются.

    При уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости касаются данной поверхности).

    При уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

    Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.


    1. Эллиптический параболоид.

    Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением




    (7)

    где p>0 и q>0.

    Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

    Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

    Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

    или (8)

    из которых следует, что при плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

    Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

    В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).


    1. Гиперболический параболоид.

    Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

    (9)

    где p>0, q>0.

    Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

    Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
    (10)

    из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.



    рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

    Получаем уравнение



    из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения



    из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).

    Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения

    или

    из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

    и

    точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
    6. Конус второго порядка.

    Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением



    (11)

    Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию



    распадающуюся на две пересекающиеся прямые

    и

    Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые

    и

    Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим

    или

    из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.

    При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
    Cписок использованной литературы:

    1.Шипачёв В.С.:”Высшая математика”


    написать администратору сайта