Теория выбора и принятия решений. Содержание Введение Оптимальность по Парето

• Название: Содержание Введение Оптимальность по Парето
• Дата: 12.05.2018
• Размер: 100.33 Kb.
• Имя файла: Теория выбора и принятия решений.docx
• Тип: Реферат; #43484

Содержание
Введение…………………………………………………………………………..3

1. Оптимальность по Парето…………………………………………………...5

1.1 Отношение доминирования по Парето……………………………………...5

1.2 Аналитические методы построения по Парето. Парето-оптимальность...11

1.3 Расчет компромисных кривых……………………………………………...12

1.4 Способы сужения Парето-оптимального множества……………………...14

2. Численные методы получения множеств Парето……………………….16

Заключение ……………………………………………………………………..18

Библиографический список…………………………………………………..20
Введение
Почти всякая сложная практическая задача принятия решения индивидуального (а тем более группового) является многокритериальной.

Концепция принятия решения в качестве первичного элемента деятельности рассматривает решение как сознательный выбор одного из ряда альтернатив, называемых, в зависимости от их конкретного содержания, стратегиями, планами, вариантами и т.д. Этот выбор производит лицо, принимающее решение и стремящееся к достижению определенных целей. В роли такого лица выступают отдельные люди (группы людей), обладающие правами выбора решения и несущие ответственность за его последствия.

Применение математических методов при принятии решений предполагает построение подходящей математической модели, формализовано представляющей проблемную ситуацию, т.е. ситуацию выбора решений. Для задач принятия решений (задач оптимизации) в условиях определенности, когда случайные и неопределенные факторы отсутствуют, компонентами такой модели являются множество всех (альтернативных) решений, из которых и делается выбор одного наилучшего, или оптимального решения, и описание предпочтений лица, принимающего решение. Для того чтобы была обеспечена возможность выбора, множество должно содержать не менее двух решений.

Методы решения задач математического программирования с одним критерием интенсивно разрабатывались последние 40 лет. Изучение таких методов, однако, отражало самый ранний и простой этап в развитии математического программирования. Жизнь оказалась значительно сложнее. По мере того как мы постепенно вступаем в век информатики, становится ясно, что практически любая серьезная реальная задача характеризуется больше чем одним критерием. Лица, принимающие решения (ЛПР), в значительно большей степени, чем когда бы то ни было, ощущают необходимость оценивать альтернативные решения с точки зрения нескольких критериев.

Результаты исследования задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными. Так, часто встречающееся выражение «достичь максимального эффекта при наименьших затратах» уже означает принятие решения при двух критериях. Оценка деятельности предприятий и планирования как системы принятия решений производится на основе более десятка критериев: выполнение плана производства по объему, по номенклатуре, плана реализации, прибыли по показателям рентабельности, производительности труда и т.д.

Ранее, при исследовании проблемы многокритериальности часто все критерии, кроме одного, выбранного доминирующим, принимались в качестве ограничений. Впервые проблема оптимизации векторного критерия была сформулирована экономистом Парето в 1896 г.

В задачах математического программирования с одним критерием нужно определить значение целевой функция, соответствующее, например, минимальным затратам или максимальной прибыли. Однако, немного подумав, мы практически в любой реальной ситуации обнаружим несколько целей, противоречащих друг другу.

Приведем пример того, насколько широк диапазон проблем, которые могут быть адекватно сформулированы как многокритериальные, и какие характеристики следует использовать в качестве критериев.

1. Оптимальность по Парето
Для облегчения результатов полезно всё время проводить аналогию с однокритериальным (классическим) случаем. Пусть имеется область D и задана функция f – целевая функция (критерий). Задача оптимизации имеет вид
minf(X)

XD
Точка X₁D называется оптимальной (недоминируемой, неулучшаемой), если не существует точки X₂D, для которой f(X₁)>f(X₂) (целевая функция минимизируется). Аналогично в МЗО можно исключить из области D точки, которые заведомо не могут оказаться наилучшими.

Очевидно, что в обобщённом смысле определение оптимальности можно трактовать как описание (выделение) в подмножестве D некоторого нового подмножества D₀, т.е. некоторое сужение D до D₀ D. В зависимости от характера описания, подмножество D₀ может оказаться пустым, состоять из одного элемента, содержать более одного элемента. Описание D₀ можно проводить либо только с помощью критериев Fi, либо использовать дополнительные условия. Здесь мы рассмотрим направление, которое связано с определением оптимальности по Парето¹.


1.1 Отношение доминирования по Парето. Парето-оптимальность
Как было сказано раньше для всякого решения XD набор его оценок по всем критериям, т.е. набор (F₁(X), F₂(X), . . .,Fm(X)), есть векторная оценка решения X. Векторная оценка X содержит полную информацию о ценности (полезности) этого решения для ЛПР и сравнение любых двух решений заменяется сравнение их векторных оценок. Пусть в МЗО требуется получить меньшие значения каждого частного критерия (минимизировать частные критерии) Fi(X).

Опр. Пусть имеются два решения X₁ и X₂. Говорят, что решение X₁ лучше (предпочтительнее, эффективнее, доминирует) решения X₂, если F_i(X₁)<=F_i(X₂) для всех i=1,m, и хотя бы для одного j - го критерия выполняется строгое неравенство F_i(X₁)i(X₂). или

Опр. Решение X₂ называется доминируемым, если существует решение X₁, не хуже чем X₂, т.е. для любой оптимизируемой функции Fi, I=1, 2, …, m,
Fi(X₂)Fi(X₁) при максимизации функции Fi,

Fi(X₂)Fi(X₁) при минимизации Fi.
В случае доминирования при переходе от X₂ к X₁ ничего не будет проиграно ни по одному из частных критериев, но в отношении j - го частного критерия точно будет получен выигрыш. Говорят, что решение X₁ лучше (предпочтительнее) решения X₂.

Опр. Стратегия X₁D называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует стратегии X₂D такой, что Fi(X₂) Fi(X₁), i=1, . . ., m, F(X₂)F(X₁), или

Опр. Если решение не доминируемо никаким другим решением, то оно называется недоминируемым или оптимальным в смысле Парето.

Очевидно, тогда в составе множества D нет смысла сохранять решение X₂, оно вытесняется (или, как говорят, “доминируется”) решением X₁. Ладно, выбросим, решение X₂ как неконкурентоспособное и перейдём к сравнению других решений по всем критериям. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество D обычно сильно уменьшается: в нём сохраняются только так называемые эффективные (иначе “паретовские”) решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения. Множество таких точек и называется множеством точек оптимальных по Парето. Множество точек оптимальных по Парето лежат между точками оптимумов, полученных при решении задачи математического программирования для каждого частного критерия. В литературе множество точек оптимальных по Парето, как правило, обозначают буквой P (PD).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству эффективных точек, называют областью компромиссов (переговорным множеством) или множеством Парето в области критериев. Будем обозначать Y_P (Y_P Y_D).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству неэффективных точек (доминируемых решений), называют областью согласия Y_c.

В области Y_c нет противоречия между частными критериями оптимальности, т.к. каждая точка XD может быть изменена таким образом, что будет одновременно улучшены все частные критерии.

Если область критериев Y_D состоит только из области согласия Y_c, то существует единственная точка X_optD, в которой все частные критерии согласованны между собой в том смысле, что при движении к точке X_opt все F_i(X) i=1, 2, . . ., m, одновременно улучшаются. Все частные критерии достигают минимума в т. X_opt (см. рис. 1). Такую точку называют оптимальным решение и при этом значения всех частных критериев достигают в ней минимума.



Рис. 1. Критерии F₁ и F₂ непротиворечивы
Однако такая ситуация встречается крайне редко. Наиболее типичным является случай, когда частные критерии являются противоречивыми и минимум по каждому из них достигается в различных точках. В этом случае уменьшение одного частного критерия приводит к увеличению других частных критериев (рис. 2).


Рис. 2. Критерии F₁ и F₂ противоречивы на отрезке [1; 2]
Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше улучшать значение одного критерия, не ухудшая при этом хотя бы одного из остальных.

Проиллюстрируем приём выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество D состоит из 11 возможных решений. Каждому решению соответствуют определённые значения показателей F₁ и F₂. Пусть имеются следующие векторные оценки: F(X₁)=(2;4), F(X₂)=(3;5), F(X₃)=(3;3), F(X₄)=(5;2), F(X₅)=(4;3), F(X₆)=(1;3), F(X₇)=(2;3), F(X₈)=(3;2), F(X₉)=(2;2), F(X₁₀)=(3;1), F(X₁₁)=(2;1). Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия F₁, а по оси ординат – значения критерия F₂). Используем принцип оптимальности по Парето для выделения эффективных решений. Решение X₁ вытесняется решением X₂, решение X₂ лучше решений X₃, X₇, X₈, X₉, X₁₀ и X₁₁. Решение X₄ по первому критерию лучше решения X₅, а по второму наоборот, т.е. имеем неулучшаемые решения, и т.д. После проведённого анализа у нас остались три решения X₂,X₄, X₅ оптимальных по Парето.

Построим критериальное пространство для нашей задачи. Как известно паре чисел соответствует точка на плоскости. Занумеруем точки соответственно номеру решения (рис 3). Из рисунка видно, что эффективные точки лежат на правой верхней границе области возможных решений (Ауд. решить данную задачу, когда оба критерия нужно минимизировать).


Рис. 3. Множество Y_k
Когда из множества возможных решений выделены эффективные, "переговоры" могут вестись уже в пределах этого "эффективного" множества. На рис. 3 образуют три решения X₂, X₄, X₅; из них X₄ лучше по критерию F₁, а решение X₂ по критерию F₂. Дело ЛПР, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и “приемлем” по обоим критериям.

Замечание. Точка Y₁ выбирается в Y_D в том и только в том случае, когда любая другая точка Y₂ из Y_D имеет хотя бы по одной координате значение больше чем Y₁ (критерии минимизируются).

Замечание. Для определения эффективных точек используют правило “уголка”. Уголок вида ∟ используется для определения компромиссных точек в критериальном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок ┐когда критерии минимизируются.

В случае, когда множество допустимых исходов является непрерывным, их векторные оценки "заполняют" некоторую область Y_D на плоскости и получается "картинка" вроде изображённой на рис. 4. В этом случае множество Парето-оптимальных оценок (красная линия) представляет собой часть границы Y_D, образно говоря, её "юго-западную" границу". Если критерии максимизируются то – "северо-восточную" границу области Y_D.


Рис. 4. Пространство оценок Y_D и компромиссная кривая (красный цвет)

Замечание. В случае невыпуклой области её Парето-оптимальная граница может иметь более "экзотический" вид, например, состоять из отдельных линий и/или точек. Для данного примера (критерии максимизируются) — это правый пик.

Замечание. Экономисты так определяют оптимальность по Парето. Состояние называется оптимальным по Парето, если выполняется следующее условие: ничьё благосостояние не может быть улучшено без ухудшения благосостояния кого-либо другого (см. История экономических учений. /Под ред. В. Автономова: Учеб. Пособие. – М.: ИНФА – М, 2000. – 784 с. (стр. 242)).

Таким образом, под оптимально-компромиссным решением будем понимать одну из эффективных точек, являющуюся предпочтительней с точки зрения ЛПР. Задача векторной оптимизации не позволяет однозначно ответить на вопрос, получено ли оптимальное решение. Положительный ответ на этот вопрос зависит от качественной информации о важности частных критериев, которая имеется у ЛПР.


1.2 Аналитические методы построения множества Парето
Компромиссная кривая

Особый интерес для практики — m=2. В этом случае множество паретовских точек представляет собой одномерное многообразие на плоскости и допускает удобное графическое представление.

Опр. Множество паретовских точек в двухмерном пространстве критериев называют компромиссной кривой.

Она может состоять из несвязных кусков и содержать изолированные точки (см. рис. 5). Компромиссная кривая (КК) строго монотонно убывает в следующем смысле. Пусть Y₁ и Y₂ произвольные точки, принадлежащие КК. Обозначим их координаты Y₁(y1,y2) и Y₂(y3,y4), если y1y4. Таким образом, КК не содержит ни горизонтальных, ни вертикальных отрезков и её уравнение может быть представлено в форме F₂=u(F₁) и F₁=v(F₂).


Рис. 5. Примеры КК (компромиссная кривая выделена красным цветом)


1.3 Расчёт компромиссных кривых
Аналитический подход. Если функции F₁(X) и F₂(X) дифференцируемы, то можно попытаться найти геометрическое место точек соприкосновения поверхностей уровня F₁(X)=b1 и F₂(X)=b2. В таких точках gradF₁=-gradF₂, 0  .

Последнее векторное уравнение равносильно n скалярным алгебраическим уравнениям которые определяет кривую в пространстве параметров x₁=₁(), ..., x_n=_n(). Если участок этой кривой, на котором 0 принадлежит множеству D, то он принадлежит и множеству P (P - множество Парето). Участок КК в этом случае определяется параметрическими уравнениями:

F₁=F₁(₁(), ..., _n()),

F₂=F₁(₁(), ..., _n()), 0.

Нахождение множества P в аналитическом виде является сложной задачей. Поэтому в настоящее время широко используются численные методы построения решений оптимальных по Парето.

1.4 Способы сужения Парето-оптимального множества
Выделение множества Парето МЗО часто не является удовлетворительным решением. Это связано с тем, что при достаточно большом исходном множестве вариантов множество Парето оказывается недопустимо большим для того, чтобы ЛПР было бы в состоянии осуществить выбор самостоятельно. Таким образом, выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема дальнейшего сокращения этого множества.

Для выбора одной оптимальной стратегии из множества эффективных решений в каждой конкретной многокритериальной задаче необходимо использовать дополнительную информацию о цели операции, т.е. ту информацию, которая при задании векторного критерия осталась неформализованной и потому неиспользованной.

Наиболее логичным и последовательным представляется путь построения бинарного отношения предпочтения, более сильного, чем отношение Парето, позволяющего сузить множество выбираемых вариантов до приемлемых с точки зрения ЛПР размеров. Разумеется, для этого потребуется некоторая дополнительная информация, которую придётся получить от ЛПР. Это может быть информация о критериях, о самих сравниваемых вариантах и т.п. Задача, стоящая перед создателями методов, заключается в том, чтобы с помощью этой информации обосновать свои действия по сужению выбора и гарантировать ЛПР от того, чтобы ни один из вариантов, представляющих для него интерес, не был потерян в процессе оптимизации.

Необходимо отметить, что необоснованность сужения множества Парето является существенным недостатком многих методов многокритериальной оптимизации. [10]

Таким образом, общая методика исследования задач принятия решения на основе математического моделирования для МЗО может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

Первый подход. Для заданной многокритериальной задачи оптимизации находится множество её Парето-оптимальных решений, а выбор конкретного оптимального варианта из множества Парето-оптимальных предоставляется ЛПР.

Второй подход. Как уже было сказано выше, производится сужение множества Парето-оптимальных исходов (в идеале – до одного элемента) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный исход для ЛПР. Отметим, что такое сужение может быть произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или свойствах оптимального решения.
2. Численные методы получения множеств Парето
Часто используют следующий подход. Во множестве D выбирается некоторая сетка, например, координаты которой определяются с помощью датчика случайных чисел, распределённых по равномерному закону. Потом вычисляют значения векторного критерия F в точках этой сетки, после чего за конечное число сравнений, используя функцию выбора по Парето, строится множество Парето на указанной сетке, являющееся при большом N приближением множества Парето относительно D (N – число точек сетки).

В рассмотренных выше моделях оптимизации правило выбора наилучшего решения (оптимального плана) представлено при помощи требования максимизации скалярной функции, которая таким образом отражает степень достижения целей объекта и поэтому часто называется целевой функцией.

Однако построение такой целевой функции для реального экономического объекта представляет собой, как правило, очень трудную задачу. Причины этого связаны с многообразным характером целей развития, влиянием не только экономических, но и социальных факторов, сложностью оценки полезности конечных результатов хозяйственной деятельности и т.п. Поэтому некая синтезированная общая цель производственного объекта часто может быть выражена лишь в словесной форме, но практически не поддается формулировке при помощи четко выраженной скалярной целевой функции. В связи с этим оказывается перспективным считать, что объект ставит перед собой задачу достижения не одной общей цели, но имеет в виду систему целей, каждой из которой отвечает частная целевая функция. Такой подход позволяет поставить задачу выбора наилучшего решения как проблему многокритериальной оптимизации на множестве Z допустимых наборов интенсивностей технологических способов.

Пусть f _l ( z ) ( l = 1, ..., L ) целевые функции, соответствующие системе L целей производственного объекта, определенные на множестве Z . При этом большему значению f _l отвечает более высокая степень достижения l -той цели. Можно сказать, что требуется найти решение задачи векторной оптимизации

В данной ситуации векторная целевая функция f ( z ) выступает в виде компромисса между различными целями и позволяет условно сформулировать некоторую, вообще говоря, некорректную математическую задачу, в которой требуется найти план, который был бы точкой максимума для нескольких различных функций. Для того, чтобы хотя бы частично устранить эту неправильность, используются некоторые примирительные определения решений многокритериальной задачи.

Вообще говоря, оптимум Парето не является единственным. Совокупность всех таких оптимумов образует множество Парето, которое может иметь сложную структуру. Чаще всего представление о множестве Парето дается при помощи графического изображения в пространстве частных целевых функций (критериев).

Проблема описания множества Парето в конкретной задаче многокритериальной оптимизации оказывается обычно очень сложной и решается путем последовательного решения серии вспомогательных однокритериальных задач. При этом используется, в частности, тот факт, что оптимальный план всякой задачи вида является оптимумом Парето. Следовательно, изменяя коэффициенты, можно построить некоторый набор точек множества Парето.

Заключение
Процедура решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок заключается в том, что все частные критерии располагают и нумеруют в порядке их относительной важности; максимизируют первый, наиболее важный критерий; затем назначают величину допустимого снижения значения этого критерия и максимизируют второй по важности частный критерий при условии, что значение первого критерия не должно отличаться от максимального более чем на величину установленного снижения (уступки); снова назначают величину уступки, но уже по второму критерию и находят максимум третьего по важности критерия при условии, чтобы значения первых двух критериев не отличались от ранее найденных максимальных значений больше чем на величины соответствующих уступок; далее подобным, же образом поочередно используются все остальные частные критерии; оптимальной обычно считают любую стратегию, которая получена при решении задачи отыскания условного максимума последнего по важности критерия.

Таким образом, при использовании метода последовательных уступок многокритериальная задача сводится к поочередной максимизации частных критериев и выбору величин уступок. Величины уступок характеризуют отклонение приоритета одних частных критериев перед другими от лексикографического: чем уступки меньше, тем приоритет жестче.

Порядок решения детерминированных многокритериальных задач методом последовательных уступок:

При решении многокритериальной задачи методом последовательных уступок сначала производится качественный анализ относительной важности частных критериев; на основании такого анализа критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности, так что главным является критерий, менее важен, затем следуют остальные частные критерии.
Максимизируется первый по важности критерий и определяется его наибольшее значение. Затем назначается величина «допустимого» снижения (уступки) критерия и ищется наибольшее значение второго критерия при условии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем . Снова назначается величина уступки , но уже по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного максимума третьего критерия, и т.д. Наконец, максимизируется последний по важности критерий при условии, что значение каждого критерия из предыдущих должно быть не меньше соответствующей величины; получаемые в итоге стратегии считаются оптимальными.

Библиографический список

1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: "Наука", 1982. – 254 с.

2. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. – М.: Наука, 1982. – 110 с.

3. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде. Количественный подход. – М.: Физматлит, 2002. – 176 с.

4. Сушков Ю.А. Метод, алгоритм и программа случайного поиска // -- Л.: ВНИИТрансМаш, 1969. – 43 с.

5. Сушков Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска // Исследование операций и статистическое моделирование. – Л. ЛГУ. 1972. Вып.1. – С.180-185.

6. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации и принятия решений. -- СПб.: Лань, 2001. – 384 с.

7. Сушков Ю.А. Многокритериальность в многорежимных системах. // Архитектура и программное оснащение цифровых систем. – М.: МГУ, 1984. – С . 71-77.

8. Курячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР. -- М.: Энергоатомиздат, 1987. – 400 с.

9. Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Статистическое исследование случайного поиска //Математические модели. Теория и приложения. – СПб.: СПбГУ. 2002. – C. 87-101.

10. Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты /Б.А Березовский, Ю.М. Барышников и др. - М.: Наука, 1989. - 128 с.

1^ Наименование указанного понятия связано с именем итальянского экономиста Вильфредо Парето [1848 – 1923 гг.].