Стандартные законы распределения Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли
 Скачать 379.77 Kb.
|
|
§7. Распределение Парето Определение. Непрерывная (СВ) ξ имеет распределение Парето с параметрами 0 , > b a , если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < = a x b x a x b a x x f , , 0 ξ График плотности распределения Парето представлен на Рис. 7. Рис. 7. Плотность распределения Парето при 3 , 3 = = b a Распределение Парето используется в экономике для описания величины дохода, причем параметр a – минимально возможный доход. §8. Логистическое распределение Определение. Непрерывная (СВ) ξ имеет логистическое распределение, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой ( ) ( ) ( ) , 0 , 2 exp 1 exp R a b b a x b b a x x f ∈ > ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = ξ 2 4 6 8 0 0.5 1 f x ( ) x График плотности логистического распределения представлен на Рис. 8. Рис. 8. Плотность логистического распределения при 1 , 0 = = b a Логистическое распределение часто используется вместо нормального распределения при исследовании медико-биологических объектов. §9. Характеристические функции Простое решение многих задач теории вероятностей удается получить с помощью характеристических функций. Теория характеристических функций развита в курсе математического анализа в разделе «Ряды и интегралы Фурье». Определение. Характеристической функцией ( ) t g ξ (СВ) ξ называют функцию вида ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ξ ξ it e M t g , где i – мнимая единица; t – параметр, являющийся аргументом характеристической функции, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ξ it e M – математическое ожидание (СВ) ξ it e Если ξ – непрерывная (СВ), то ( ) ( ) dx x f itx e it e M t g ∫ ∞ ∞ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ξ ξ ξ , (1) а если ξ – дискретная (СВ), то ( ) ∑ ∞ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 j j P itx e it e M t g j ξ ξ (2) 0 2 4 6 8 0 0.05 0.1 f x ( ) x Преобразование (1), которому нужно подвергнуть плотность распределения ( ) x f ξ , чтобы получить ( ) t g ξ называется преобразованием Фурье. В разделе «Ряды и интегралы Фурье» курса математического анализа доказывается, что если ( ) t g ξ выражается через ( ) x f ξ с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, ( ) x f ξ выражается через ( ) t g ξ с помощью обратного преобразования Фурье ( ) ( ) dt t g itx e x f ∫ ∞ ∞ − − = ξ π ξ 2 1 Непосредственно из определения характеристической функции, свойств математического ожидания и условия нормировки следует, что характеристические функции обладают следующими свойствами: Свойство 1. Если (СВ) ξ и η связаны линейно b a + = ξ η , ( ) ( ) ibt e at g t g ξ η = Свойство 2. Если (СВ) ξ и η – независимы, то для (СВ) η ξ χ + = , ( ) ( ) ( ) t g t g t g η ξ χ = Свойство 3. ( ) ( ) ( ) k k i k dx g k d t g g ν ξ ξ η = ≤ = 0 , 1 , 1 0 Пример. Найти характеристическую функцию для случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Решение. По формуле Бернулли ( ) k n q k p n k C k P − = = ξ Тогда по определению характеристической функции и с учетом формулы бинома Ньютона ( ) ( ) n q it pe n k k n q n k C k p it e n k k n q k p n k C itk e n k k P itk e t g ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − = = = = ∑ ∑ ∑ 0 0 0 ξ ξ Пример. Найти характеристическую функцию для случайной величины, распределенной по закону Пуассона. Решение. По формуле Пуассона ( ) λ λ ξ − = = e k k k P ! Тогда по определению характеристической функции ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ = − = ∑ ∑ 1 exp 0 ! 0 ! it e k k k it e e k e k k itk e t g λ λ λ λ λ ξ Пример. Найти характеристическую функцию равномерной на отрезке [ ] b a, случайной величины. Решение. По определению характеристической функции для непрерывной случайной величины с плотностью распределения ( ) [ ] b a x a b x f , , 1 ∈ − = ξ ( ) ( ) ( ) a b it ita e itb e b a dx itx e a b dx x f itx e t g − − = − = ∞ ∞ − = ∫ ∫ 1 ξ ξ Пример. Найти характеристическую функцию случайной величины, распределенной по нормальному закону. Решение. По условию задачи плотность распределения имеет нормальный вид ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 2 2 exp 2 1 σ π σ ξ a x x f По теореме о функции (СВ) для (СВ) σ ξ η a − = плотность распределения равна ( ) ( ) 2 2 1 2 y e a y f y x y f − = + ′ = π σ ξ η Тогда по определению характеристической функции ( ) ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∞ ∞ − = dy y ity dy y f ity e t g 2 2 exp 2 1 π η η Продифференцируем обе части последнего равенства по t ( ) ∫ ∞ ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ′ dy y ity y i t g 2 2 exp 2 π η Откуда, интегрируя по частям, получим ( ) [ ] ( ) t tg dy y ity it y ity e i y e d ity i t g η π π η − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ∞ ∞ − − − = ∞ ∞ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ ∫ ∫ 2 2 exp 2 2 2 exp 2 2 2 Решение полученного уравнения ( ) ( ) t tg t g η η − = ′ с начальным условием ( ) 1 0 = η g имеет вид ( ) 2 2 t e t g − = η Так как a + = ση ξ , то по свойству характеристических функций ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = 2 2 2 exp t ita t g ita e t g σ σ η ξ , что и требовалось получить. §10. 2 χ - распределение Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет 2 χ - распределение с m степенями свободы, если плотность ее распределения выражается формулой ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ≤ = 0 , 2 exp 1 2 2 2 2 1 0 , 0 , x x m x m m x m x f ξ График плотности 2 χ - распределения представлен на Рис. 9. 0 5 10 15 0 0.5 1 1.5 2 f x 3 , ( ) f x 1 , ( ) x Рис. 9. Плотность 2 χ - распределения для различных степеней свободы m : при 1 = m – пунктирная линия; при 3 = m – сплошная линия. Применение 2 χ - распределения основано на его интерпретации как распределения суммы квадратов m независимых (СВ), распределенных по закону ( ) 1 , 0 N Докажем это утверждение. Теорема. Если m независимых (СВ) m j j ,... 2 , 1 , = ξ одинаково распределены по закону ( ) 1 , 0 N , то (СВ) ∑ = = m j j 1 2 2 ξ χ имеет 2 χ - распределение. Доказательство. По условию теоремы ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 exp 2 1 x x f j π ξ (1) Введем обозначения: 2 ξ η = , x – возможные значения (СВ) ξ ; y – возможные значения (СВ) η . Найдем плотность ( ) y f η Для этого найдем соответствующую ей функцию распределения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y F y F y y P y P y P y F − − = < < − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < = < = ξ ξ ξ ξ η η 2 (2) Тогда с учетом (1) плотность распределения (СВ) η принимает вид ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 2 exp 2 1 2 1 2 1 > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = − + = = y y y y f y y f y dy y dF y f π ξ ξ η η (3) Учитывая (3), для плотности ( ) y f η найдем характеристическую функцию ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) it it dt t e t it dy y f ity e t f 2 1 1 2 1 2 1 0 1 2 / 1 2 1 1 0 − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ∞ − − − = ∞ = ∫ ∫ π π η η , откуда по свойству характеристических функций для (СВ) ∑ = = m j j 1 2 η χ имеем ( ) ( ) ( ) 2 / 2 1 1 1 2 m it m j t f t f j − = = = ∏ η χ (4) Из (4) с помощью обратного преобразования Фурье получим ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⋅ − − = − ⋅ − − = ∞ − − = ∞ − = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 0 2 / 2 1 1 0 1 2 2 m m z e m z dt C t e n t m i z e m z dt m it itz e dt t f itz e z f π π χ π χ , что и требовалось доказать. 2 χ - распределение имеет следующие числовые характеристики: ( ) , 2 1 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 2 m m m dt t e m t m dx x e m x m m dx x xf M = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ∞ ∞ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ ∫ χ χ ( ) m m m m m m m dx x e m x m x m m D 2 2 4 2 1 2 2 2 2 4 0 2 1 2 2 2 2 2 1 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ∞ = − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ χ Из условия экстремума ( ) ( ) 0 2 1 1 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ x f x m x f следует, что мода для 2 χ - распределения равна 2 − = m Mo §11. Распределение Фишера Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет распределение Фишера с 1 m и 2 m степенями свободы, если плотность ее распределения выражается формулой ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ = 0 , 2 2 1 1 2 , 2 1 2 2 2 1 0 , 0 2 , 1 , 2 1 2 1 1 1 x m m x m m m m B m x m m m x m m x f ξ График плотности распределения Фишера представлен на Рис. 10. Рис. 10. Плотность распределения Фишера для различных степеней свободы 2 , 1 m m : при 50 2 , 10 1 = = m m – пунктирная линия; при 10 2 , 2 1 = = m m – сплошная линия. Применение распределения Фишера основано на следующей теореме. Теорема. Если ξ и η – независимые (СВ), имеющие 2 χ - распределение соответственно с 1 m и 2 m степенями свободы, то (СВ) 1 2 m m F η ξ = подчиняется распределению Фишера с ( ) 2 , 1 m m степенями свободы. Доказательство. По условию теоремы ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ≤ = 0 , 2 exp 1 2 2 2 2 1 0 , 0 1 , 1 1 1 x x m x m m x m x f ξ , (1) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ≤ = 0 , 2 exp 1 2 2 2 2 1 0 , 0 2 , 2 2 2 y y m y m m x m y f η (2) Пусть x – возможные значения (СВ) ξ ; y – возможные значения (СВ) η ; z – возможные значения (СВ) F Тогда y x m m z 1 2 = и, следовательно, y m m z x zy m m x 2 1 , 2 1 = ′ = (3) Из условия нормировки 0 1 2 3 4 0 0.5 1 f x 2 , 10 , ( ) f x 10 , 50 , ( ) x ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 = ∞∞ = ∞ ∫ ∫ ∫ dxdy y f x f dz z F f η ξ с учетом равенств (1-3) следует, что ( ) ( ) ( ) ( ) = ∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∞ ′ = ∫ ∫ dy y f zy m m yf m m dy y f x f z x z F f η ξ η ξ 0 2 1 2 1 0 = ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ − 0 2 1 1 2 exp 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 dy z m m y m m y m m m m z m m m m = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ − 0 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 dt t e m m t m m m m z m m z m m m m 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 m m z m m z m m m m m m m m + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − , что и требовалось доказать. Математическое ожидание и дисперсия распределения Фишера определяются по формулам ( ) 2 2 , 2 2 2 > − = m m m F M , ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 , 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 > − − − + = m m m m m m m F D §12. Распределение Стьюдента Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет распределение Стьюдента с m степенями свободы, если плотность ее распределения выражается формулой ( ) , 2 1 2 1 2 2 1 , ∞ < < ∞ − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ = x m m x m m m m x f π ξ График плотности распределения Стьюдента представлен на Рис. 11. Рис. 11. Плотность распределения Стьюдента для различных степеней свободы m : при 8 = m – пунктирная линия; при 1 = m – сплошная линия. Применение распределения Стьюдента основано на следующей теореме. Теорема. Если ξ и η – независимые (СВ), причем ξ имеет распределение ( ) 1 , 0 N , а η – 2 χ - распределение соответственно с m степенями свободы, то (СВ) η ξ m T = подчиняется распределению Стьюдента с m степенями свободы. Доказательство. По условию теоремы ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 2 exp 2 1 x x f π ξ , (1) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ≤ = 0 , 2 exp 1 2 2 2 2 1 0 , 0 , y y m y m m y m y f η (2) Пусть x – возможные значения (СВ) ξ ; y – возможные значения (СВ) η ; z – возможные значения (СВ) T Тогда y m x z = и, следовательно, m y z x m y z x = ′ = , (3) Из условия нормировки 4 2 0 2 4 0 0.2 0.4 f x 1 , ( ) f x 8 , ( ) x ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 = ∞∞ = ∞ ∫ ∫ ∫ dxdy y f x f dz z T f η ξ с учетом равенств (1-3) следует, что ( ) ( ) ( ) ( ) = ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ ′ = ∫ ∫ dy y f m y z f y m dy y f x f z x z T f η ξ η ξ 0 1 0 = ∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ∫ 0 2 1 2 exp 2 1 2 2 2 2 1 dy m z y m y m m m π 2 1 2 1 2 2 1 0 1 2 1 2 2 1 2 1 + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ∫ m m z m m m dt t e m t m m m m z π π , что и требовалось доказать. Распределение Стьюдента обладает следующими числовыми характеристиками: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 3 0 , 2 2 , 0 = = > = > − = = Me Mo m s A m m m D M ξ ξ |