Стандартные законы распределения Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли
 Скачать 379.77 Kb.
|
|
ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ §1. Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли. Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами p n, , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой Бернулли: ( ) ( ) ( ) 1 0 ,...., 2 , 1 , ,... 1 , 0 , 1 , ≤ ≤ = = − − = ≡ = p n n m m n p m p n m C p m P m P ξ Случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами p n, , представляет собой число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления этого события равняется p График биномиального распределения вероятностей представлен на Рис. 1. Рис. 1. Биномиальное распределение ( ) p m P , при 8 = n и 2 0 = p Найдем основные числовые характеристики биномиального распределения. Для этого сначала введем обозначения. Пусть ξ – (СВ) числа появлений события А в n независимых испытаниях, 0,1, … n – ее возможные значения. Тогда ξ можно представить в виде ∑ = = n i i 1 ξ ξ , где i ξ – (СВ) числа появлений события А в i-ом испытании, которая принимает значения либо 0, либо 1 с вероятностями равными ( ) p − 1 и p соответственно. Следовательно, ( ) ( ) ( ) p p i D p i M − = = 1 , ξ ξ , так что по свойству математического ожидания 0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 P m p , ( ) m ( ) ( ) np n i i M n i i M M = = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∑ ∑ 1 1 ξ ξ ξ Аналогично, дисперсия биномиального распределения равна ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p np p np n i i D n i i D D − = − = = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∑ ∑ 1 , 1 1 1 ξ σ ξ ξ ξ Найдем коэффициент асимметрии 3 3 σ μ = s A и коэффициент эксцесса 3 4 4 − = σ μ k E . Для этого найдем соответствующие центральные моменты ( ) 4 1 3 2 2 1 6 3 1 4 4 4 , 3 1 2 2 1 3 3 3 , 2 1 2 2 ν ν ν ν ν ν μ ν ν ν ν μ ξ ν ν μ − + − = + − = = − = D Так как по определению начальный момент второго порядка равен ( ) ∑ = m p m P m , 2 2 ν и ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 np p np M D + − = + = ξ ξ ν , то, с одной стороны, ( ) ( ) q n pq m p m P p m n p m m p 2 3 , 2 2 ν ν ν − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∂ ∂ ∑ , а, с другой стороны, ( ) 2 2 2 pn p q n p + − = ∂ ∂ ν , откуда следует ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 np np q p q npq + + − = ν С учетом полученных соотношений для центрального момента третьего порядка получим ( ) p q p q npq − ≡ − = 1 , 3 μ , так что коэффициент асимметрии равен ( ) npq p q s A − = = 3 3 σ μ Аналогично, коэффициент эксцесса npq pq k E 6 1 3 4 4 − = − = σ μ Мода биномиального распределения определяется выражением ( ) [ ] p n Mo 1 trunc + = , где функция ( ) [ ] p n 1 trunc + обозначает целую часть числа ( ) [ ] p n 1 + Если число ( ) [ ] p n 1 + – целое, то распределение имеет два модальных значения ( ) [ ] p n 1 + и ( ) [ ] p n 1 + -1. Медиана биномиального распределения равна np Me = , если np – целое число Если же np – дробное число, то медиана равна одному из двух целых чисел [ ] 1 trunc ± np , ближе всего расположенных к np Из Рис. 1. видно, что последовательность вероятностей ( ) p m P , сначала монотонно возрастает с увеличением m – до достижения моды ( ) [ ] [ ] 1 6 1 trunc 1 trunc = = + = p n Mo (или двух модальных значений), а затем начинает монотонно падать. Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет геометрическое распределение , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой: ( ) , 1 p m q m P − = где ξ – (СВ) числа испытаний, проводимых до первого появления события А; p – вероятность появления события А в каждом отдельном испытании, p q − = 1 ; m – число испытаний, проводимых до первого появления события А. Геометрическое распределение имеет следующие числовые характеристики: ( ) ( ) 2 , 1 p q D p M = = ξ ξ Таким образом, математические испытания геометрического распределения удовлетворяют правилу пропорциональности: для получения события А дважды в среднем потребуется в p 1 раз больше испытаний, чем для получения одного события. Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой: ( ) , n N C m n M N C m M C m P − − = где N – общее число элементов некоторого множества А, M – число элементов подмножества А, обладающих некоторым свойством; испытание состоит в отборе наугад n элементов, среди которых m обладают указанным свойством; ξ – (СВ) числа наугад выбранных элементов, обладающих указанным свойством. Гипергеометрическое распределение имеет следующие числовые характеристики: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 , − − − = = N N n N M N nM D N nM M ξ ξ Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет полимодальное распределение , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой: ( ) , 2 1 ! !... 2 ! 1 ! 3 , 2 , 1 2 1 k X k p X p X p k X X X n k X X X X P = где 1 X – число элементов, обладающих свойством А, 2 X – число элементов, обладающих свойством В, … k X – число элементов, обладающих свойством С; n C B A = + + + – общее число элементов; 1 p – вероятность выбора элемента, обладающего свойством А, 2 p – вероятность выбора элемента, обладающего свойством В, … k p – вероятность выбора элемента, обладающего свойство С; испытание состоит в отборе n элементов, среди которых 1 X обладают свойством А, 2 X – свойством В, …. k X – свойством С; ξ – (СВ) числа наугад выбранных элементов, обладающих указанными свойствами. §2. Распределение Пуассона Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой: ( ) ( ) ( ) 0 , ,... 1 , 0 , ! exp , > ∞ = − = ≡ = λ λ λ λ ξ m m m m P m P График распределения Пуассона представлен на Рис. 2. Рис. 2. Распределение Пуассона ( ) λ , m P при 5 0 = λ Найдем основные числовые характеристики распределения Пуассона. Разложим экспоненту λ e в ряд Маклорена ( ) ∑ ∑ ∞ = − − = ∞ = = 1 ! 1 1 0 ! m m m m m m e λ λ λ Тогда ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ ξ = − = ∞ = − − − = ∞ = = ∑ ∑ e e m m m e m m mP M 1 ! 1 1 0 , Аналогично, для среднего квадрата получим ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ξ + = + − = ∞ = − − − = ∞ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∑ 2 1 1 ! 1 1 0 , 2 2 e e m m m m e m m P m M , так что дисперсия ( ) ( ) ( ) λ ξ ξ ξ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 M M D Остальные числовые характеристики распределения Пуассона следующие: коэффициент асимметрии λ σ μ 1 3 3 = = s A , коэффициент эксцесса λ σ μ 1 3 4 4 = − = k E Если λ – дробное число, то мода [ ] λ trunc = Mo , а если число λ – целое число, то распределение Пуассона имеет два модальных значения λ и 1 − λ Медиана распределения Пуассона равна λ = Me , если λ – целое число Если же λ – дробное число, то медиана равна одному из двух целых чисел [ ] 1 trunc ± λ , ближе всего расположенных к λ Отметим, что последовательность вероятностей ( ) p m P , сначала монотонно возрастает с увеличением m – до достижения моды (или двух модальных значений), а затем начинает монотонно убывать. 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 P m λ , ( ) m §3. Закон равномерного распределения Определение. Распределение непрерывной (СВ) называют равномерным, если на интервале, содержащем возможные значения непрерывной (СВ), плотность распределения является константой, т.е. ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ < ≤ = b x b x a A a x x f , 0 , , 0 (1) В точках b x a x = = , плотность ( ) x f – терпит разрыв. Константу А найдем из условия нормировки ( ) ( ) 1 = − = = ∞ ∞ − ∫ ∫ a b A b a dx A dx x f , так что a b A − = 1 Для нахождения функции распределения воспользуемся свойством ( ) ( ) ∫ ∞ − = x dx x f x F При этом получим: 1) при ( ) a x ≤ < ∞ − ( ) ∫ ∞ − = = x dx x F 0 0 ; 2) при ( ) b x a ≤ < ( ) a b a x x a dx a b a dx x F − − = − + ∞ − = ∫ ∫ 1 0 ; 3) при ( ) b x > ( ) 1 0 1 0 = + − + ∞ − = ∫ ∫ ∫ x b dx b a dx a b a dx x F ; Таким образом, ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > ≤ < − − ≤ = b x b x a a b a x a x x F , 1 , , 0 (2) откуда видно, что функция распределения ( ) x F всюду непрерывна. Определим числовые характеристики равномерного распределения. С учетом (1) математическое ожидание и дисперсия равны: ( ) ( ) 2 1 b a b a xdx a b dx x xf M + = − = ∞ ∞ − = ∫ ∫ ξ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 , 12 2 2 1 2 a b a b b a dx M x a b dx x f M x D − = − = − − = ∞ ∞ − − = ∫ ∫ ξ σ ξ ξ ξ Если ( ) ( ) b a, , ∈ β α , то по свойству функции распределения (2) ( ) ( ) ( ) a b F F P − − = − = < ≤ α β α β β ξ α Пример. Жеглов и Фокс условились встретиться в ресторане между 0 и 2 часами. Пришедший первым Жеглов ждет Фокса в течение 10 минут, после чего уходит, а Фокс ждет 20 мин. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если моменты прихода каждого из них независимы и распределены равномерно в интервале ( ) 2 , 0 Решение. Пусть ξ – (СВ) времени прихода Жеглова, x – возможные значения ξ ; η – (СВ) времени прихода Жеглова, y – возможные значения η По задачи плотность вероятности системы (СВ) { } η ξ , равна ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 2 0 2 1 , = − = = y f x f y x f η ξ ξη Тогда ( ) [ ] , 4 1 , ∫∫ = ∈ D dxdy D P η ξ (1) где по условию задачи область интегрирования ограничена следующими линиями: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = = + = = = 3 1 , 0 , 0 6 1 , 2 , 2 : x y y x x y y x D (2) Учитывая (2), из (1) получим ( ) [ ] , 4 1 4 1 , 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = = ∈ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ D dxdy D dxdy D dxdy D dxdy D P η ξ (3) здесь ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = + = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = = 3 1 , 6 11 , 2 , 2 : 3 , 3 1 , 3 1 , 6 1 , 6 11 : 2 , 0 , 0 6 1 , 3 1 : 1 x y x y x D x y x x y x D y x x y x D (4) С учетом (4) из (3) окончательно найдем ( ) [ ] 288 67 2 6 / 11 2 3 / 1 6 / 11 3 / 1 6 / 1 3 / 1 3 / 1 0 6 / 1 0 4 1 , = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − + + = ∈ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x dy dx x x dy dx x dy dx D P η ξ §4. Интеграл Эйлера-Пуассона Интегралом Эйлера-Пуассона называют несобственный интеграл вида ∫ ∫ ∞ − = ∞ ∞ − − ≡ 0 2 2 2 dx x e dx x e I Этот интеграл часто будет встречаться в дальнейшем. Вычислим его способом Пуассона. Для этого рассмотрим двойной интеграл ( ) ∫ ∫ ∞ = ∞ + − 0 4 2 0 2 2 I dxdy y x e Проведем вычисление этого интеграла в полярных координатах ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = = = 2 2 2 sin cos y x y x ρ ϕ ρ ϕ ρ Тогда ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ = = ∞ − = ∞ − = ∞ + − 0 4 2 4 0 2 2 / 0 0 0 2 2 2 2 I d e d d e dxdy y x e π ρ ρ ρ π π ϕ ρ ρ ρ , откуда следует, что π = I , что и требовалось получить. |