Стандартные законы распределения Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли
 Скачать 379.77 Kb.
|
|
§5. Нормальный закон распределения Среди всех законов распределения (СВ) наибольшее теоретическое и практическое значение имеет нормальный закон распределения. Дело в том, что согласно центральной предельной теореме он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Определение. Распределение непрерывной (СВ) ξ называют нормальным (кратко ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , σ a N ), если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой ( ) 0 , , 2 2 2 exp 2 1 2 , , > ∞ < < ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ σ σ π σ σ ξ x a x a x f , где σ , a – параметры распределения. Используя интегральную связь функции распределения с плотностью распределения, представим функцию нормального распределения в удобном для табулирования виде ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = ∞ − = ∫ σ σ ξ a x x dx a x f x F 1 , , , где функция Лапласа ( ) ∫ ∞ − − = Φ z dt t e z 2 2 1 1 2 π , для которой составлены таблицы. Кроме того, составлены таблицы и для функции ( ) ∫ − = Φ z dt t e z 0 2 2 1 0 2 π Между этими функциями существует очевидное соотношение ( ) ( ) 5 0 0 1 − Φ = Φ x x График нормального распределения представлен на Рис. 3. Рис. 3. Нормальное распределение ( ) 8 0 , 3 , x f 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 f x a , σ , ( ) x Для выяснения вероятностного смысла параметров σ , a определим основные числовые характеристики (СВ), распределенной по нормальному закону. По свойству математического ожидания ( ) ( ) a M a M − + = ξ ξ , где ( ) ( ) ( ) 0 , , = ∞ ∞ − − = − ∫ dx a x f a x a M σ ξ , так как подынтегральная функция четная, а пределы симметричные, так что параметр a нормального распределения является математическим ожиданием ( ) a M = ξ , и, следовательно, a Me Mo = = Аналогично, центральный момент третьего порядка ( ) ( ) 0 , , 3 3 = ∞ ∞ − − = ∫ dx a x f a x σ μ , так что коэффициент асимметрии 0 3 3 = = σ μ s A Используя интеграл Эйлера-Пуассона, дисперсию вычислим непосредственно по определению ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 exp 2 1 0 2 2 2 2 exp 2 2 2 2 2 2 2 2 exp 2 2 1 , , 2 2 σ π σ π σ σ σ σ π σ σ ξ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ∞ − − ∞ ∞ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = = ∞ ∞ − = − = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ∞ ∞ − − = ∫ ∫ ∫ ∫ dt t t e t dt t t dt dx a x t dx a x a x dx a x f a x D так что параметр 2 σ нормального распределения является дисперсией ( ) 2 σ ξ = D Центральный момент четвертого порядка вычислим по методу дифференцирования интеграла по параметру. Для этого в качестве дифференцируемого интеграла используем интеграл Эйлера-Пуассона ( ) 2 1 , 2 0 0 2 2 σ π = = ∞ − ≡ ∫ h h dx x h e h I Тогда центральный момент четвертого порядка ( ) ( ) ( ) 4 3 2 5 4 3 0 2 1 2 1 2 2 2 exp 4 2 1 4 σ π σ π π σ σ π σ μ = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∞ ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ∫ h h I h h h h dx a x a x и, следовательно, коэффициент эксцесса нормального распределения 0 3 4 4 = − = σ μ k E Пример. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста через реку Томь, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины ξ и η независимы и распределены нормально со среднеквадратичными отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, математическими ожиданиями, равными 0. Здесь ξ – случайная величина расстояния от вертикальной оси симметрии моста до места падения бомбы; η – случайная величина расстояния от горизонтальной оси симметрии моста до места падения бомбы. Найти: 1) вероятность попадания в мост одной бомбы; 2) вероятность разрушения моста, если сброшены 2 бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания. Решение. Вероятность попадания одной бомбы равна ( ) [ ] ( ) ∫∫ = ∈ D dxdy y x f D P , , η ξ (1) Так как ξ и η независимы , то ( ) ( ) ( ) y f x f y x f η ξ = , По условию задачи область интегрирования ограничена следующими линиями: ⎩ ⎨ ⎧ − = − = = = 4 , 15 4 , 15 : y x y x D (2) Тогда из (1) с учетом (2) получим ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 6741 0 1 1 1 1 5 2 1 5 2 1 4 4 2 2 exp 15 15 2 2 exp 2 1 4 4 15 15 , = − Φ − Φ − Φ − Φ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∈ ∫ ∫ ∫ ∫ η η ξ ξ σ σ σ σ π η ξ η ξ dt t dt t dy y f dx x f D P Для получения ответа на вторую часть вопроса задачи введем обозначения: 1 A – событие, состоящее в попадании в цель первой бомбы; 2 A – событие, состоящее в попадании в цель второй бомбы. Тогда вероятность попадания в мост хотя бы одной бомбы по теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий равна ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8938 0 2 6741 0 6741 0 2 2 1 2 1 2 1 = − ⋅ = − + = + A P A P A P A P A A P §6. Распределения Вейбулла, Рэлея, показательное Определение. Распределение непрерывной (СВ) ξ называют показательным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < = 0 , 0 , 0 , x x e x x f λ λ λ ξ , где λ – параметр распределения, который одновременно определяет моду этого распределения λ = Mo Функция показательного распределения равна ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − − < = ∞ − = ∫ 0 , 1 0 , 0 , , x x e x x dx x f x F λ λ ξ λ ξ График плотности показательного распределения представлен на Рис. 4. Рис. 4. Показательное распределение ( ) 5 0 , x f Числовые характеристики показательного распределения: ( ) λ λ λ λ ξ 1 0 1 0 = ∞ − = ∞ − = ∫ ∫ dt t te dx x xe M , ( ) λ σ λ λ λ λ λ ξ 1 , 2 1 1 2 2 1 0 2 1 = = ∞ − − − = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ dt t e t e dx x e x D , 2 3 3 , 3 2 1 3 3 1 0 3 1 3 = = = ∞ − − − = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ σ μ λ λ λ λ λ μ s A dt t e t e dx x e x , 6 3 4 4 , 4 9 1 4 4 1 0 4 1 4 = − = = ∞ − − − = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ σ μ λ λ λ λ λ μ k E dt t e t e dx x e x Из определяющего медиану условия ( ) ( ) 2 1 1 0 = − = ∞ − = > = − − = − = < ∫ ∫ Me e Me dx x e Me P Me e Me dx x e Me P λ λ λ ξ λ λ λ ξ , 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 f x λ , ( ) x следует, что медиана показательного распределения равна ( ) λ 2 ln = Me Показательный закон используется в теории надежности, в которой надежность устройства характеризуется функцией надежности. Функцией надежности ( ) t R называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t : ( ) ( ) ( ) t F t T P t R − = > = 1 Для показательного закона ( ) ( ) ( ) t e t F t T P t R λ − = − = > = 1 Показательный закон удобен тем, что он обладает следующим свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t . Для доказательства этого свойства введем обозначения событий: А – безотказная работа элемента на интервале ( ) 0 , 0 t длительностью 0 t ; В – безотказная работа элемента на интервале ( ) t t + 0 , 0 длительностью t . Тогда АВ – безотказная работа элемента на интервале ( ) t t t + 0 , 0 длительностью t t + 0 Вероятности этих событий определяются функцией надежности и равны ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0 0 t t e AB P t e B P t e A P + − = − = − = λ λ λ откуда найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале ( ) t t t + 0 , 0 при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале ( ) 0 , 0 t , ( ) ( ) ( ) t e A P AB P A B P λ − = = / Полученная формула не содержит 0 t , так что время работы на предшествующем интервале не сказывается на величине вероятности безотказной работы на последующем интервале, что и требовалось показать. Можно показать, что таким свойством обладает только показательное распределение. Это означает, что если на практике изучаемая величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Определение. Распределение непрерывной (СВ) ξ называют распределением Рэлея, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < = 0 , 2 2 3 0 , 0 , x x e x x x f λ λ λ ξ , где λ – параметр распределения Функция распределения Рэлея равна ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − < = ∞ − = ∫ 0 , 2 2 1 1 1 0 , 0 , , x x e x x x dx x f x F λ λ λ ξ λ ξ График плотности распределения Рэлея представлен на Рис. 5. Рис. 5. Распределение Рэлея ( ) 5 1 , x f Числовые характеристики распределения Рэлея: ( ) λ λ λ λ ξ 3 0 3 2 1 0 3 2 3 = ∞ − = ∞ − = ∫ ∫ dt t e t dx x e x M , ( ) ( ) λ σ λ λ λ λ λ ξ 3 , 2 3 0 2 3 2 2 2 1 0 2 2 3 2 3 = = ∞ − − = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ dt t e t t dx x e x x D , ( ) 3 2 3 3 , 3 6 0 3 3 2 3 2 1 0 2 3 3 2 3 3 = = = ∞ − − = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ σ μ λ λ λ λ λ μ s A dt t e t t dx x e x x , ( ) 2 3 4 4 , 4 45 0 4 3 2 4 2 1 0 2 4 1 2 3 4 = − = = ∞ − − = ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ σ μ λ λ λ λ λ μ k E dt t e t t dx x e x x 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 f x λ , ( ) x Из определяющего моду необходимого условия экстремума ( ) 0 = ′ x f нетрудно найти моду λ 2 = Mo Из определяющего медиану условия ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 = − = > = = < Me F Me P Me F Me P ξ ξ , следует уравнение, неявно задающее медиану ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 1 = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − = Me e Me Me F λ λ Распределение Рэлея находит широкое применение в теории стрельбы и статистической теории связи. Определение. Непрерывная (СВ) ξ имеет распределение Вейбулла, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ≤ = 0 , 0 0 exp 1 0 0 0 0 , 0 0 , 0 , , x x x x x x x x x f α σ α σ σ α σ α ξ , где 0 , 0 , x σ α – параметры распределения Распределение Вейбулла находит применение в задачах долговечности и надежности. График плотности распределения Вейбулла представлен на Рис. 6. Рис. 6. Плотность распределения Вейбулла при 0 0 , 1 = = x σ для значений 1 = α – сплошная линия, и 2 = α – пунктирная кривая Распределение Вейбулла имеет следующие числовые характеристики: ( ) ( ) ( ) ( ) α σ α α σ ξ α σ ξ / 1 2 ln 0 0 , 1 1 2 2 1 2 0 , 1 1 0 0 + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ + = x Me D x M 0 1 2 3 4 0 0.5 1 f x 1 , 1 , ( ) f x 2 , 1 , ( ) x |