Главная страница
Навигация по странице:

  • Степенно-показательная функция

  • Вычисление производной приведением к сложной показательной функции.

  • Ответ: Пример 2.

  • Документ 21. Степеннопоказательная функция


    Скачать 281.24 Kb.
    НазваниеСтепеннопоказательная функция
    Дата10.07.2022
    Размер281.24 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаДокумент 21.docx
    ТипДокументы
    #628380













    Степенно-показательная функция

    это функция, имеющая вид степенной функции
    y = uv,
    у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
    u = u(x); v = v(x).
    Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.

    Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:



    Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.

    Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:



    Найдем производную степенно-показательной функции



    где и есть функции от переменной .
    Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:



    Дифференцируем по переменной x:



    Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:



    Подставляем в (3):



    Отсюда



    Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:



    Если показатель степени являются постоянной, то Тогда производная равна производной сложной степенной функции:



    Если основание степени являются постоянной, то Тогда производная равна производной сложной показательной функции:



    Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.

    Вычисление производной приведением к сложной показательной функции.

    Теперь найдем производную степенно-показательной функции



    представив ее как сложную показательную функцию:



    Дифференцируем произведение:



    Применяем правило нахождения производной сложной функции:



    И мы снова получили формулу (1).

    Пример 1.

    Найти производную следующей функции:



    Решение:

    Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:



    Из таблицы производных находим:



    По формуле производной произведения имеем:



    Дифференцируем (П1.1):



    Поскольку



    То



    Ответ:



    Пример 2.

    Найдите производную функции



    Решение:

    Логарифмируем исходную функцию:



    Из таблицы производных находим:



    Применяем правило дифференцирования сложной функции:



    Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:



    Поскольку



    То



    Ответ:

















    написать администратору сайта