Документ 21. Степеннопоказательная функция
Скачать 281.24 Kb.
|
Степенно-показательная функция – это функция, имеющая вид степенной функции y = uv, у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x: u = u(x); v = v(x). Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией. Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде: Поэтому ее также называют сложной показательной функцией. Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле: Найдем производную степенно-показательной функции где и есть функции от переменной . Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма: Дифференцируем по переменной x: Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения: Подставляем в (3): Отсюда Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции: Если показатель степени являются постоянной, то Тогда производная равна производной сложной степенной функции: Если основание степени являются постоянной, то Тогда производная равна производной сложной показательной функции: Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций. Вычисление производной приведением к сложной показательной функции. Теперь найдем производную степенно-показательной функции представив ее как сложную показательную функцию: Дифференцируем произведение: Применяем правило нахождения производной сложной функции: И мы снова получили формулу (1). Пример 1. Найти производную следующей функции: Решение: Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию: Из таблицы производных находим: По формуле производной произведения имеем: Дифференцируем (П1.1): Поскольку То Ответ: Пример 2. Найдите производную функции Решение: Логарифмируем исходную функцию: Из таблицы производных находим: Применяем правило дифференцирования сложной функции: Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций: Поскольку То Ответ:
|