Существует большое количество разделов теории групп, основными из которых являются
 Скачать 1.3 Mb.
|
ВведениеСуществует большое количество разделов теории групп, основными из которых являются: а) Теория конечных групп; б) Теория абелевых групп; в) Теория разрешимых и нильпотентных групп; г) Теория групп преобразований. д) Теория представлений групп е) Теорию топологических групп Теория групп является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения, как в самой математике, так и за её пределами. Например, с помощью теории групп русский учёный Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория групп в физике, например в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений групп линейными преобразованиями. В данной работе, речь пойдет о конечно порожденных группах, которые довольно часто встречаются в различных применениях теории групп, а также будет рассмотрен вопрос, касающийся теоремы Мордела, которая имеет место для конечно порожденных групп. Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа  , для которой существует конечный набор  такой что  существует представление:  где  {\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}} — целые числа. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы. Примеры — целые числа {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}  и числа по модулю {\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)} , любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации, других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)} рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q} } , то достаточно было бы взять натуральное число {\displaystyle w} , взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить  {\displaystyle 1/w}, не порождаемое системой {\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}} .Эллиптические кривые над полем рациональных чиселЕсли коэффициенты уравнения эллиптической кривой {\displaystyle E}  рациональны, то можно рассматривать множество рациональных точек на такой кривой (включая {\displaystyle O} ). Это множество образует подгруппу группы действительных точек (включая {\displaystyle O} ) на кривой {\displaystyle E} с таким же групповым законом сложения точек на кривой. Это можно показать следующим образом: рассмотрим алгебраическую формулу получения координаты суммы двух точек {\displaystyle P} и {\displaystyle Q} , лежащих на кривой {\displaystyle E} . Если эти точки и коэффициенты уравнения кривой рациональны, то координаты точки  {\displaystyle R=P+Q} тоже будут рациональны, так как {\displaystyle x_{R}} и {\displaystyle y_{Q}} являются рациональными функциями от коэффициентов кривой {\displaystyle E} координат точек {\displaystyle P} и {\displaystyle Q} .Порядком точки {\displaystyle P} на кривой {\displaystyle E} называется наименьшее натуральное {\displaystyle k} такое, что {\displaystyle kP=O} .Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел справедлива теорема Морделла[en]: на эллиптической кривой {\displaystyle E} существует такое конечное множество рациональных точек бесконечного порядка  {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}}, что любая точка на эллиптической кривой представляется в виде {\displaystyle P=a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+\dots +a_{n}P_{n}+Q,}где {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}  — целые числа, однозначно определённые для точки {\displaystyle P} , а {\displaystyle Q} — точка кручения, являющаяся точкой конечного порядка[13]. Другими словами, теорема гласит, что если поле {\displaystyle K} — поле рациональных чисел, то группа {\displaystyle K}-рациональных точек — конечнопорождённая. Это означает, что группа может быть представлена как прямая сумма свободной абелевой группы и конечной подгруппы кручения[14].Рангом эллиптической кривой {\displaystyle E} называется минимальное число рациональных точек бесконечного порядка из теоремы Морделла. Нет общего алгоритма для вычисления ранга свободной подгруппы и, соответственно, ранга эллиптической кривой. Формула для вычисления ранга даётся в гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера.Теорема Морделла. В начале XX века, А. Пуанкаре высказал предположение, что все рациональные точки E(Q) эллиптической кривой могут быть получены из некоторого их конечного числа с помощью операции сложения точек. В алгебраических терминах это утверждение можно сформулировать следующим образом. Теорема . На эллиптической кривой Е, заданной уравнением с рациональными коэффициентами, группа E(Q) рациональных точек является конечнопорожденной абелевой группой. Сам Пуанкаре считал это утверждение очевидным. Строгое доказательство гипотезы Пуанкаре впервые получил англичанин Л. Морделл в 1922 г. За семь десятилетий появились различные обобщения и новые варианты доказательства этой теоремы. Пусть {\displaystyle C}  — неособая алгебраическая кривая над полем {\displaystyle \mathbb {Q} } . Множество рациональных точек кривой {\displaystyle C} зависит от её рода {\displaystyle g} следующим образом:Случай  {\displaystyle g=0}: рациональных точек нет, либо их бесконечно много; {\displaystyle C} является коническим сечением.Случай  {\displaystyle g=1}: рациональных точек нет, либ о {\displaystyle C} является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до теоремы Морделла — Вейля (англ.). Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.Случай  {\displaystyle g>1}: согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, {\displaystyle C} может иметь лишь конечное число рациональных точек. |