теория представления. Теория представлений Начальный курс. Теория представлений Начальный курс У. Фултон, Дж. Харрис Теория представлений Начальный курс
 Скачать 436.36 Kb.
|
|
Теория представлений Начальный курс У. Фултон, Дж. Харрис Теория представлений Начальный курс Перевод Е. Ю. Смирнова и Е. В. Шаройко Под редакцией С. М. Львовского Москва Издательство МЦНМО УДК . ББК . Ф Фултон У., Харрис Дж. Ф Теория представлений. Начальный курс / Перевод Е. Ю. Смирнова, Е. В. Шаройко. Под редакцией С. М. Львовского. –– М.: МЦНМО, . –– с.: ил. ISBN ---- Книга является подробным учебником по классической теории (конечномерных) представлений групп и алгебр Ли, а также конечных групп. Изложение ведется в сти- ле «от частного к общему», с подробным исследованием большого количества кон- кретных примеров. Для всех групп классических серий неприводимые представления строятся явно, и только в заключительной части книги появляется общая теория (с полным изложением). Требования к подготовке читателя минимальны для книг такой тематики: достаточно двух-трех лет обучения на математическом факультете университета. Разобраться в предмете помогают многочисленные иллюстрации. Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников. ББК . Translation from the English language edition: Representation Theory by William Fulton, Joe Harris Copyright © Springer-Verlag New York, Inc. Springer is a part of Springer Science+Business Media All Rights Reserved 12+ ISBN ---- ISBN ---- (англ.) © МЦНМО, перевод на рус. яз, . © Springer-Verlag New York, Inc., . Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Как пользоваться этой книгой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Часть I Конечные группы Лекция Представления конечных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 § 1.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 § 1.2. Полная приводимость; лемма Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 § 1.3. Примеры: абелевы группы, S 3 26 Лекция Характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 2.1. Характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 2.2. Первая формула проекции и ее следствия . . . . . . . . . . . . . . 33 § 2.3. Примеры: S 4 и A 4 36 § 2.4. Другие формулы проекции; дальнейшие следствия . . . . . . . . 39 Лекция Примеры. Индуцированные представления. Групповые алгебры. Вещественные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 § 3.1. Примеры: S 5 и A 5 43 § 3.2. Внешние степени стандартного представления группы S d 48 § 3.3. Индуцированные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 § 3.4. Групповая алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 § 3.5. Вещественные представления и представления над подполями поля C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Лекция Представления группы S d : диаграммы Юнга и формула Фробениуса для характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 § 4.1. Формулировки результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 § 4.2. Неприводимые представления группы S d 69 § 4.3. Доказательство формулы Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Лекция Представления групп A d и GL 2 F q 81 § 5.1. Представления группы A d 81 § 5.2. Представления групп GL 2 F q и SL 2 F q 85 Оглавление Лекция Конструкция Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 § 6.1. Функторы Шура и их характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 § 6.2. Доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Часть II Группы Ли и алгебры Ли Лекция Группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 § 7.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 § 7.2. Примеры групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 § 7.3. Две конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Лекция Алгебры Ли и группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 § 8.1. Алгебры Ли: мотивировка и определение . . . . . . . . . . . . . . 125 § 8.2. Примеры алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 § 8.3. Экспоненциальное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Лекция Первоначальная классификация алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 § 9.1. Грубая классификация алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 § 9.2. Теоремы Энгеля и Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 § 9.3. Полупростые алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 § 9.4. Простые алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Лекция Алгебры Ли размерности один, два и три . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 § 10.1. Одномерные и двумерные алгебры и группы Ли . . . . . . . . . 155 § 10.2. Трехмерные алгебры и группы Ли ранга один . . . . . . . . . . 159 § 10.3. Трехмерные алгебры и группы Ли ранга два . . . . . . . . . . . 161 § 10.4. Трехмерные алгебры и группы Ли ранга три . . . . . . . . . . . 164 Лекция Представления алгебры Ли sl 2 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 § 11.1. Неприводимые представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 § 11.2. Немного о плетизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 § 11.3. О геометрических аспектах плетизма . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Лекция Представления алгебры sl 3 C, часть I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Лекция Представления алгебры sl 3 C, часть II: в основном –– множество примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Оглавление § 13.1. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 § 13.2. Описание неприводимых представлений . . . . . . . . . . . . . . 202 § 13.3. Еще немного плетизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 § 13.4. Еще немного о геометрическом плетизме . . . . . . . . . . . . . 209 Часть III Классические алгебры Ли и их представления Лекция Общее устройство: анализируем структуру и представления произвольной полупростой алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 § 14.1. Общие свойства простых алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 § 14.2. О форме Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Лекция Алгебры sl 4 C и sl n C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 § 15.1. Анализируем алгебру sl n C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 § 15.2. Представления алгебр Ли sl 4 C и sl n C . . . . . . . . . . . . . . . . 238 § 15.3. Конструкция Вейля и тензорные произведения . . . . . . . . . . 242 § 15.4. Еще немного геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 § 15.5. Представления группы GL n C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Лекция Симплектические алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 § 16.1. Структура группы Sp 2n C и алгебры sp 2n C . . . . . . . . . . . . . 261 § 16.2. Представления алгебры sp 4 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Лекция Алгебры sp 6 C и sp 2n C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 § 17.1. Представления алгебры sp 6 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 § 17.2. Представления симплектических алгебр Ли sp 2n C . . . . . . . . 279 § 17.3. Конструкция Вейля для симплектических групп . . . . . . . . . 282 Лекция Ортогональные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 § 18.1. Группа SO m C и алгебра so m C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 § 18.2. Представления алгебр so 3 C, so 4 C и so 5 C . . . . . . . . . . . . . . 293 Лекция Алгебры so 6 C, so 7 C и so m C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 § 19.1. Представления алгебры so 6 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 § 19.2. Представления четных ортогональных алгебр . . . . . . . . . . 305 § 19.3. Представления алгебры so 7 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 § 19.4. Представления нечетных ортогональных алгебр . . . . . . . . . 312 § 19.5. Конструкция Вейля для ортогональных групп . . . . . . . . . . . 314 Оглавление Лекция Спинорные представления алгебры so m C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 § 20.1. Алгебры Клиффорда и спинорные представления алгебры so m C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 § 20.2. Спинорные группы Spin m C и Spin m R . . . . . . . . . . . . . . . . 326 § 20.3. Группа Spin 8 C и тройственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Часть IV Теория Ли Лекция Классификация комплексных простых алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . 339 § 21.1. Схемы Дынкина, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 § 21.2. Классификация схем Дынкина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 § 21.3. Как восстановить алгебру Ли по ее схеме Дынкина . . . . . . . 350 Лекция Алгебра g 2 и другие исключительные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . 360 § 22.1. Построение алгебры g 2 по ее схеме Дынкина . . . . . . . . . . . 360 § 22.2. Проверка того, что g 2 является алгеброй Ли . . . . . . . . . . . . 367 § 22.3. Представления алгебры g 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 § 22.4. Алгебраические конструкции исключительных алгебр Ли . . 379 Лекция Комплексные группы Ли; характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 § 23.1. Представления простых комплексных групп Ли . . . . . . . . . 387 § 23.2. Кольца представлений и характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 § 23.3. Однородные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 § 23.4. Разложение Брюа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Лекция Формула Вейля для характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 § 24.1. Формула Вейля для характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 § 24.2. Приложения к классическим алгебрам и группам Ли . . . . . . 426 Лекция Дальнейшие формулы для характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 § 25.1. Формула Фрейденталя для кратности . . . . . . . . . . . . . . . . 438 § 25.2. Доказательство формулы Вейля для характеров; формула Костанта для кратностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 § 25.3. Тензорные произведения и ограничения на подгруппы . . . . 448 Лекция Вещественные алгебры и группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 § 26.1. Классификация вещественных простых алгебр и групп Ли . . 455 Оглавление § 26.2. Второе доказательство формулы Вейля для характеров . . . . 466 § 26.3. Вещественные, комплексные и кватернионные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Приложение А О симметрических функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 § А.1. Базисы в пространстве симметрических многочленов и соот- ношения между ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 § А.2. Доказательства детерминантных тождеств . . . . . . . . . . . . . 490 § А.3. Другие детерминантные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Приложение Б О полилинейной алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 § Б.1. Тензорное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 § Б.2. Внешняя и симметрическая степени . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 § Б.3. Двойственность и свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Приложение В О полупростоте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 § В.1. Форма Киллинга и критерий Картана . . . . . . . . . . . . . . . . 507 § В.2. Полная приводимость и разложение Жордана . . . . . . . . . . . 510 § В.3. О дифференцированиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 Приложение Г Картановские подалгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 § Г.1. Существование картановских подалгебр . . . . . . . . . . . . . . . 517 § Г.2. О структуре полупростых алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 § Г.3. Сопряженность картановских подалгебр . . . . . . . . . . . . . . . 521 § Г.4. О группе Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 Приложение Д Теоремы Адо и Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 § Д.1. Теорема Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 § Д.2. Теорема Адо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Приложение Е Теория инвариантов для классических групп . . . . . . . . . . . . . . . . 536 § Е.1. Полиномиальные инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 § Е.2. Применение в случае симплектических и ортогональных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 § Е.3. Доказательство тождества Капелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 Указания, ответы и ссылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 Предисловие Основная цель этих лекций состоит в том, чтобы дать введение в тео- рию конечномерных представлений групп и алгебр Ли. Поскольку эту же задачу ставят перед собой авторы некоторых других книг, в настоящем предисловии мы объясняем, в чем состоят отличительные черты наше- го подхода. Возможно, что потенциальный читатель поймет это лучше, немного полистав нашу книгу. Что такое теория представлений, определить просто: это наука о том, каким образом данная группа может действовать на векторных простран- ствах. Однако же среди прочих столь же просто описываемых разделов ма- тематики эта теория, вероятно, является предметом наиболее широкого интереса. Это не удивительно: действия групп в математике двадцатого века возникали повсеместно, а в ситуациях, когда объект, на котором действует группа, не является векторным пространством, мы научились заменять его таковым (в качестве примеров можно назвать группы кого- мологий, касательные пространства и т. д.). Как следствие, многие мате- матики, не являвшиеся специалистами в этой области (и даже не стре- мившиеся стать в ней специалистами), соприкасались с ней в различных ситуациях. Этот текст написан как раз для таких людей. Иначе говоря, мы хотели сделать эту книгу учебником для начинающих, а не справочником. Эта концепция определяет выбор представленных здесь тем. Каким бы простым ни было приведенное выше определение теории представлений, эта область разбивается на существенно разные части, если посмотреть на нее ближе. Во-первых, с какой группой мы имеем дело: с конечной груп- пой (например, S n или полной линейной группой над конечным полем GL n F q ), с бесконечной дискретной группой наподобие SL n Z, с группой Ли (скажем, SL n C) или, может быть, с группой Ли над локальным полем?.. Понятно, что в этих ситуациях требуются существенно различные под- ходы к представлениям соответствующих групп. А на каком векторном пространстве действует группа G: на векторном пространстве над C, R, Q или, может быть, над полем конечной характеристики? Конечна или бес- конечна его размерность, а если бесконечна, то какими дополнительными структурами (нормой, скалярным произведением, ...) снабжено это про- странство? Различные комбинации ответов на эти вопросы ведут в разные области интенсивных исследований в теории представлений; было бы естественно сделать так, чтобы книга, призванная готовить специалистов по этой теории, в конечном счете приводила бы в одну или несколько из этих областей. Соответственно, авторы такой книги стремятся проско- Предисловие чить через элементарный материал как можно быстрее: если за семестр планируется дойти до модулей Хариш-Чандры, то времени топтаться на представлениях групп S 4 и SL 3 C не остается. В этой книге, напротив, мы концентрируем внимание на простейших случаях: представлениях конечных групп и групп Ли в конечномерных вещественных и комплексных векторных пространствах. Это в некотором смысле общая основа для всей теории, в частности для тех ее областей, интерес к которым происходит извне. Намерение адресовать эту книгу неспециалистам в какой-то степени определяет и наш способ подачи материала. Основная особенность на- шего изложения состоит в том, что мы рассматриваем массу примеров. Общую теорию мы развиваем по минимуму, в основном –– как полезный язык, позволяющий единообразно описать явления, уже отмеченные в ря- де конкретных случаев. Действуя в том же духе, мы в основном вводим теоретические понятия там, где они оказываются полезными для анализа конкретных ситуаций, и откладываем их введение как можно дольше там, где они используются для доказательства каких-либо общих теорем. Наконец, наше желание сделать книгу доступной для неспециалистов отчасти повлияло и на стиль, в котором она написана. Эти лекции полу- чились из записок курсов второго автора, которые он читал в и годах, и мы попытались сохранить неформальный стиль этих лекций. Мы не пытаемся оптимизировать изложение: там, где это полезно с педагогиче- ской точки зрения, мы рассматриваем «вручную» множество частных слу- чаев какого-либо утверждения прежде чем доказать его в общем случае; зачастую мы также с радостью приводим несколько доказательств одного и того же факта, когда они, по нашему мнению, разъясняют суть дела. Аналогичным образом, хотя вся «полупростая» часть теории обычно раз- вивается при взгляде с какой-либо одной точки зрения, например, с точки зрения компактных групп, или алгебр Ли, или алгебраических групп, мы избегали этого подхода, каким бы эффективным он ни казался. Разумеется, утверждение о том, что начинающие лучше всего учатся именно на примерах, а общую технику следует вводить медленно и толь- ко в случае необходимости, не является ошеломляюще новым; однако же в нашем случае оно представляется особенно уместным. В большинстве областей такой подход означает, что имеется несколько примеров из беско- нечного их множества, которые могут прояснить общую ситуацию. Однако же случай теории представлений комплексных полупростых групп и алгебр Ли является особым: проработав все примеры –– «классические» случаи специальной линейной, ортогональной и симплектической групп, –– чита- тель получает не просто ряд полезных примеров, а все случаи, кроме пяти «исключительных». Вот именно такого подхода мы по существу и придерживаемся. Мы на- чинаем с небольшой экскурсии по теории представлений конечных групп, Предисловие акцентируя внимание на том, что окажется полезным в теории групп Ли. Поэтому мы уделяем симметрической группе больше внимания, чем это делается обычно. Затем мы обращаемся к группам и алгебрам Ли. Изло- жив кое-какие предварительные сведения и разобрав маломерные при- меры, а также изложив в одной лекции общие понятия, связанные с по- лупростотой, мы подходим к основной части нашего курса: построению конечномерных представлений классических групп. Для каждой серии классических алгебр Ли мы доказываем фундамен- тальную теорему о представлениях с заданным старшим весом при по- мощи явной конструкции. Однако же наша цель –– не просто доказать су- ществование, а увидеть эти представления в деле: пронаблюдать геомет- рические следствия разложений представлений, возникающих естествен- ным образом, и увидеть взаимосвязи между ними, вызванные совпадени- ями между алгебрами Ли. Цель шести заключительных лекций –– построить мост между ориен- тированным на примеры подходом из предыдущей части книги и общей теорией. Здесь мы пытаемся проинтерпретировать в абстрактных тер- минах увиденное нами раньше и устанавливаем связь с современными понятиями. Развиваемая нами общая теория позволяет понять, что мы изучили все простые комплексные алгебры Ли за вычетом пяти исключе- ний. Поскольку они встречаются реже, чем классические серии, возможно, в начальном курсе не имеет смысла рассматривать эти представления столь же явно, хотя мы и проделываем это для одной из пяти исключительных ал- гебр. Мы также доказываем общую формулу Вейля для характеров, которая может быть использована для проверки и обобщения большого количества примеров, разобранных вручную в предшествующей части книги. Конечно же, то, чего мы в итоге достигаем, вряд ли отражает совре- менное состояние дел в теории групп и алгебр Ли. Но мы надеемся, что в результате взгляд читателя не потухнет, когда он услышит доклад, на- чинающийся со слов: «Пусть G –– полупростая группа Ли, P –– параболиче- ская подгруппа...» Мы также надеемся, что прочтение этой книги подгото- вит некоторых из читателей к тому, чтобы оценить красоту (и эффектив- ность) абстрактного подхода. По духу эта книга ближе к классическому труду Вейля [], чем к кни- гам, написанным в последнее время. Конечно же, одна из второстепенных задач этой книги состоит в том, чтобы представить многие результаты Вейля и его предшественников в виде, более доступном для современного читателя. В частности, мы включаем принадлежащие Вейлю конструкции представлений полной и специальной линейных групп, использующие симметризаторы Юнга; мы в небольшой степени используем теорию инвариантов для того, чтобы получить аналогичный результат для орто- гональной и симплектической групп. Мы также включаем формулы Вейля для характеров этих представлений в терминах элементарных характеров Предисловие симметрических степеней стандартных представлений. (Интересно, что Вейль привел эти формулы лишь в терминах внешних степеней для полной линейной группы. Соответствующие формулы для ортогональной и сим- плектической групп были открыты лишь недавно Коике и Терадой. Мы приводим новые простые доказательства этих детерминантных формул.) Подробности о содержании параграфов можно найти во введениях к остальным частям этой книги. Разумеется, отсутствие оптимизации изложения и ограниченность по- ставленных нами задач имеют свою цену. Самое очевидное следствие та- кого подхода состоит в том, что, что значительная часть материала опуще- на: например, мы мало говорим об основных топологических, дифферен- циальных и аналитических свойствах групп Ли, поскольку они не сильно помогают в нашем рассказе и, кроме того, хорошо освещены в десятках других источников, в том числе в университетских учебниках по многооб- разиям. Далее, в курс не вошли бесконечномерные представления, модули Хариш-Чандры и Верма, диаграммы Штифеля, когомологии алгебр Ли, анализ на симметрических пространствах и на группах, арифметические группы и автоморфные формы; также ничего не говорится о теории пред- ставлений в характеристике p > 0. Мы не пытались систематически про- слеживать, какие результаты о группах Ли могут быть применены в боль- шей общности, к алгебраическим группам над полями, отличными от R и C (например, над локальными полями). Мы лишь вскользь упоминаем другие стандартные темы, например универсальные обертывающие ал- гебры или разложение Брюа, которые стали стандартным инструментом теории представлений. (Специалисты, которым мы показывали черновые версии этой книги, соглашались, что некоторые из опущенных нами сю- жетов в современной книге по теории представлений абсолютно необхо- димы, но никакие двое из них не предложили добавить одно и то же.) Мы не пытались проследить историю рассматриваемых нами тем, или указать на принадлежность тех или иных результатов кому-либо, или ска- зать, в каких из оригинальных источников появляется та или иная идея, –– это далеко за пределами наших познаний. Когда мы даем ссылки, мы про- сто пытаемся отослать читателя к источникам, по возможности хорошо читаемым для тех, кто знает, о чем там идет речь. Хорошим руководством по представлениям конечных групп, включая доказательства некоторых теорем, которые мы опустили, может служить книга Серра []. По груп- пам и алгебрам Ли мы рекомендуем книги Серра [], Адамса [], Хам- фри [], Бурбаки [, , ], а также классические труды Вейля [] и Литтлвуда []. Мы хотели бы поблагодарить многих людей, которые делились с нами идеями и предложениями по поводу рукописи. В числе прочих назовем следующие фамилии: Ж.-Ф. Бурноль, Р. Брайант, Дж. Каррелл, Б. Конрад, П. Диаконис, Д. Айзенбад, Д. Голдстейн, М. Грин, Ф. Гриффитс, Б. Гросс, Предисловие М. Хильдебранд, Р. Хау, Х. Крафт, А. Ландман, Б. Мазур, Н. Крисс, Д. Петер- сен, Дж. Шварц, Дж. Таубер и Л. Ту. В частности, мы бы хотели поблагода- рить Дэвида Мамфорда, от которого мы узнали многое из этой области и идеи которого очень сильно повлияли на эту книгу. Если бы эта книга была написана лет назад, мы бы благодарили лю- дей, которые ее перепечатывали. Теперь же, наверное, нам следует вместо этого поблагодарить Национальный научный фонд, Университет Чикаго и Гарвардский университет за щедро предоставленные нам «Макинтоши», на которых была набрана эта рукопись. Наконец, отдельных благодарно- стей заслуживает Чан Фултон за рисунки к книге. Билл Фултон и Джо Харрис Как пользоваться этой книгой Следует сказать пару слов о практическом использовании этой кни- ги. Требования к предварительным знаниям читателя минимальны: текст требует лишь незначительных знаний по алгебре и топологии из стан- дартного аспирантского курса (для первого года обучения), включая ос- новные понятия, связанные с многообразиями. Для понимания большей части этого текста более чем достаточно хорошо ориентироваться в пре- делах университетской программы ; некоторые примеры и упражнения, а также некоторые фрагменты четвертой части книги потребуют знания более продвинутого материала, но их при желании можно пропустить. Возможно, основным практическим требованием является хорошее зна- ние полилинейной алгебры, включая тензорные, внешние и симметриче- ские произведения конечномерных векторных пространств. В этом мо- жет помочь приложение Б. Во вступительных замечаниях к каждой из лекций мы указываем, какие для нее нужны предварительные сведения и насколько они необходимы. Есть два способа использовать эту книгу в качестве курса лекций. Во-первых, есть ряд тем, которые не являются логически необходимыми для понимания остального материала книги; их можно коснуться лишь слегка или пропустить вовсе. Например, в минимальном варианте можно опустить лекции ––, § ., ., .––., ., ., лекцию , § ., ., ., ., . и .; это может годиться для семестрового лекци- онного курса. С другой стороны, количество материала, который мож- но разобрать в рамках годового курса, ограничивается только начальной подготовкой и/или интересом слушателей. Б´ ольшая часть материала при- ложений нужна только для такого «длинного» курса. Во вводных замеча- ниях к каждой лекции мы указываем, какие из тем можно опустить как несущественные. Другая особенность книги, к которой читатели могут подходить по- разному, –– это обилие примеров. Они включены в таком большом коли- честве по педагогическим соображениям: мы считаем, что этот материал лучше всего можно понять, получив некоторый непосредственный опыт обращения с теми объектами, о которых идет речь; читатель, который больше любит вс¨ е абстрактное и общее, а не конкретное и частное, может пропустить б´ ольшую часть этих примеров без ущерба для логики повест- вования. (Хотя, скорее всего, дело кончится тем, что такой читатель эту книгу сожжет.) Это примерно соответствует первым двум-трем годам программы математических фа- культетов российских университетов. –– Прим. перев. Как пользоваться этой книгой Мы включили в текст сотни упражнений самого разного назначения и самой разной трудности. Некоторые из них –– стандартные вариации на тему примеров, приведенных в тексте, или непосредственные проверки необходимых фактов. Учащемуся, наверное, стоит пробовать решать боль- шинство таких упражнений. Иногда мы приводим упражнение, решение которого есть частный случай появляющегося в последующем тексте ре- зультата, если мы считаем, что, решив такое упражнение, читатель полу- чит полезную мотивацию (отметим вновь, что мы изложение не оптими- зируем и призываем читателя время от времени возвращаться к старым упражнениям). Многие другие упражнения указывают на некоторые даль- нейшие направления или сюжеты (или стандартные темы, о которых мы не говорим); рекомендуем начинающим лишь бросить беглый взгляд на такие упражнения или, может быть, разобрать несколько первых простых случаев. Мы пытались включить в упражнения темы, которые для неспе- циалистов может оказаться тяжело извлечь из литературы, особенно из старой литературы. Вообще говоря, в упражнениях содержится значитель- ная часть теории и большинство встречающихся в тексте примеров. Мы решили не ранжировать упражнения по их (ожидаемой) сложно- сти, хотя «задача», наверное, окажется сложнее, чем «упражнение». При многих упражнениях стоит звездочка; это указание не на сложность, а на то, что читатель найдет дополнительные сведения об этом упражнении в разделе «Указания, ответы и ссылки» в конце книги. Это может быть под- сказка, формулировка ответа, полное решение, указание на то, где может быть найдено решение, или любая комбинация вышеперечисленного. Мы надеемся, что эти разнообразные замечания, как бы бессистемны они ни были, пригодятся читателю. Чàñòü I Кîíå÷íûå ãðóïïû Больше трех четвертей этой книги посвящены теории представлений групп и алгебр Ли. Так зачем же нам вообще начинать обсуждение пред- ставлений конечных групп? Конечно же, для этого есть веские и логич- ные причины: многие идеи, принципы и конструкции, которые при этом появляются, будут применены, когда мы будем изучать группы и алгебры Ли. Однако же основная причина –– педагогическая. Попробуем объяснить это. Теория представлений является наукой преимущественно двадцатого столетия в следующем смысле. Когда авторы XIX в. имели дело с группами, они рассматривали их или как множества перестановок различных мно- жеств или как наборы автоморфизмов данного векторного пространства, множество которых замкнуто относительно умножения и взятия обратного. Понятие абстрактной группы, появившееся только в XX в., позволило прове- сти различие между свойствами данной абстрактной группы и свойствами данной ее реализации в виде подгруппы в группе перестановок или в GL(V). Аналогично обстояло дело, например, с понятием многообразия: в XIX в. многообразие всегда понималось как подмножество в R n , а понятие аб- страктного риманова многообразия вошло в обиход лишь в XX в. В обоих этих случаях введение абстрактного объекта глубинным обра- зом меняло предмет исследования. В дифференциальной геометрии стало возможным различать внутреннюю и внешнюю (т. е. зависящую от вло- жения) геометрию многообразия: одни свойства являются инвариантами метрики на многообразии, а другие являются свойствами конкретного вложения в R n . Например, вопросы существования или несуществования также распадались на две части: существует ли данное абстрактное мно- гообразие, и если да, то может ли оно быть вложено. Точно так же то, что в XIX веке называлось просто «теорией групп», распалось надвое. Пер- вая часть –– это структура абстрактных групп (например, классификация простых групп). Второй возникающий вопрос таков: если дана группа G, как можно описать все способы, которыми G может быть вложена (или отображена) в линейную группу GL(V)? Это и является предметом теории представлений. С этой точки зрения имеет смысл сначала заняться теорией представ- лений несложных и достаточно понятных групп. В этом и заключается ос- новная причина, из-за которой мы начинаем с теории представлений ко- нечных групп: тем читателям, которые еще не знакомы с мотивировками и целями теории представлений, лучше было бы сначала увидеть их в си- туации, когда структура групп сама по себе не представляет трудности. Например, когда будут изучаться представления групп перестановок или Часть I. Конечные группы четных перестановок множества из трех, четырех или пяти элементов, мы будем предполагать, что читатель уже знаком с этими группами и может сосредоточиться на основных понятиях теории представлений, которые при этом вводятся. Конечным группам посвящены первые шесть лекций. Многие методы, развиваемые для конечных групп, будут перенесены на группы Ли; конеч- но, наш выбор сюжетов в некоторой степени определялся этим. Напри- мер, некоторое время мы посвятим симметрической группе; частично это вызвано тем, что она интересна сама по себе, но также и тем, что изучен- ное позволит нам исследовать представления полной линейной группы и ее подгрупп. Некоторые другие сюжеты, которые мы разберем, напри- мер знакопеременная группа A d и группы GL 2 F q и SL 2 F q , будут изучены только ради них самих; они не появляются в дальнейшем. (Для читателя, первичный интерес которого определяется группами Ли, мы старались указать во введении к каждой из лекций, какие из подходов пригодятся в последующих частях книги.) Тем не менее, это ни в коем случае не все- объемлющий курс теории представлений конечных групп; мы не рассмат- риваем в нем многие важные темы, например теоремы Артина и Брауэра, а также всю теорию модулярных представлений. Лекция Представления конечных групп В этой лекции мы приводим основные определения теории представ- лений и доказываем два основных результата, которые гласят, что всякое представление раскладывается (единственным образом) в прямую сумму неприводимых. В качестве примеров мы рассматриваем абелевы группы и простейший случай неабелевой группы –– группу перестановок множе- ства из трех элементов. В последнем случае производится исследование, которое окажется очень важным для изучения конечных групп; кроме то- го, его основная идея окажется центральной для изучения представлений групп Ли. § .. Определения § .. Полная приводимость. Лемма Шура § .. Примеры: абелевы группы, S 3 |