теория представления. Теория представлений Начальный курс. Теория представлений Начальный курс У. Фултон, Дж. Харрис Теория представлений Начальный курс
 Скачать 436.36 Kb.
|
|
Упражнение .. Проверьте, что при σ = (12), τ = (123) стандартное представление обладает базисом α=(ω, 1, ω 2 ), β =(1, ω, ω 2 ), для которого τα = ωα, τβ = ω 2 β, σα = β, σβ = α. Теперь предположим, что мы начинаем с вектора v, собственного для τ. Если собственное значение вектора v равно ω i 6= 1, то σ(v) есть собственный вектор, отвечающий собственному значению ω 2i 6= ω i , по- этому он линейно независим с v; тогда линейная оболочка векторов v и σ(v) есть двумерное подпространство V ′ , инвариантное относитель- но S 3 . В действительности V ′ изоморфно стандартному представлению; это следует из упражнения .. Если же, с другой стороны, собственное значение вектора v равно 1, то σ(v) может быть или не быть линейно независимым с v. Если они линейно зависимы, то линейная оболочка вектора v есть одномерное подпредставление в W , изоморфное триви- альному представлению при σ(v) = v и знаковому представлению при σ(v) = −v. Если σ(v) и v линейно независимы, то векторы σ(v) + v и σ(v) − v порождают одномерные подпредставления в W, которые изо- морфны соответственно тривиальному и знаковому представлениям. Таким образом, мы выполнили две из трех поставленных выше задач для случая группы G = S 3 . Во-первых, из всего сказанного следует, что существуют только три неприводимых представления группы S 3 , и это тривиальное, знаковое и стандартное представления U , U ′ и V. Кроме того, для произвольного представления W группы S 3 мы можем записать W = U ⊕a ⊕ U ′⊕b ⊕ V ⊕c , § .. Примеры: абелевы группы, S 3 и у нас есть способ нахождения кратностей a, b и c: например, c есть чис- ло линейно независимых собственных векторов оператора τ с собственным значением ω, тогда как a + c есть кратность числа 1 как собственного зна- чения для σ, а b + c –– это кратность числа −1 как собственного значения для σ. На самом деле этот же подход дает нам ответ в нашей третьей задаче, указывая разложения для симметрической, внешней и тензорной степе- ней данного представления W : поскольку мы знаем собственные значения оператора τ на таком представлении, мы знаем и его собственные значе- ния на различных тензорных степенях представления W . Например, мы можем воспользоваться этим методом для разложения V ⊗ V, где V есть стандартное двумерное представление. Представление V ⊗ V порождается векторами α ⊗ α, α ⊗ β, β ⊗ α и β ⊗ β; это собственные векторы для τ с собственными значениями ω 2 , 1, 1 и ω соответственно, и σ меняет местами α ⊗ α с β ⊗ β и α ⊗ β с β ⊗ α. Значит, α ⊗ α и β ⊗ β порождают подпредставление, изоморфное V , α ⊗ β + β ⊗ α порождает тривиальное представление U , а α ⊗ α, α ⊗ β, β ⊗ α и α ⊗ β − β ⊗ α порождают U ′ , т. е. V ⊗ V ∼ = U ⊕ U ′ ⊕ V. Упражнение .. Используя этот же подход, найдите разложение пред- ставлений Sym 2 V и Sym 3 V . Упражнение .. 1. Разложите регулярное представление R груп- пы S 3 2. Покажите, что Sym k+6 V изоморфно Sym k ⊕R, и вычислите Sym k V при всех k. Упражнение . ∗ . Покажите, что Sym 2 (Sym 3 V ) = Sym 3 (Sym 2 V). Вер- но ли, что Sym m (Sym n V ) изоморфно Sym n (Sym m V )? Как мы уже указывали, идея изучения представления V группы G при помощи ограничения действия группы на абелеву подгруппу, разложения V в одномерные инвариантные подпространства и дальнейшего выясне- ния того, как оставшиеся образующие группы действуют на этих подпро- странствах, плохо работает в случае произвольной конечной группы G; прежде всего, в произвольной группе не всегда есть удобная для использо- вания абелева подгруппа. Однако же эта идея оказывается ключевой при исследовании представлений групп Ли, где роль циклической подгруппы из этого примера играет тор. Упражнение .. Пусть V есть неприводимое представление конеч- ной группы G. Покажите, что с точностью до умножения на скаляр суще- ствует единственное эрмитово скалярное произведение на V , сохраняемое действием группы G. Литература . Atiyah M. F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. II: Applications // Ann. Math. . V. . P. ––. . Atiyah M. F., Bott R., Shapiro A. Clifford modules // Topology . . Supp. V. . P. ––. . Akin K., Buchsbaum D. A., Weyman J. Schur functors and Schur complexes // Adv. Math. . V. . P. ––. . Adams J. F. Lectures on Lie Groups. New York: W. A. Benjamin, Inc., . (Рус. пер.: Адамс Дж. Лекции по группам Ли. М.: Наука, .) . Ahlfors L. V. Complex Analysis. nd ed. New York: McGraw-Hill, . . Abramsky Y. J., Jahn H. A., King R. C. Frobenius symbols and the groups S s , GL(n), O(n), and Sp(n) // Can. J. Math. . V. . P. ––. . Andrews G. E. The Theory of Partitions. Reading, MA: Addison-Wesley, . (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications; V. ). (Рус. пер.: Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, .) . Araki S. K. On root systems and an infinitesimal classification of irreducible symmetric spaces // J. Math. Osaka City Univ. . V. . P. ––. . Atiyah M. F., Tall D. O. Group representations, λ-rings, and the J-homomor- phism // Topology. . V. . P. ––. . Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И. Клетки Шуберта и когомоло- гии пространств G /P // УМН. . Т. , вып. () C. ––. . Boerner H. Representations of Groups. Amsterdam: Elsevier North-Holland, . . Borel A. Linear Algebraic Groups. W. A. Benjamin, and (GTM ). New York: Springer-Verlag, . . Borel A. Topology of Lie groups and characteristic classes // Bull. Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Bott R. On induced representations, in The Mathematical Heritage of Hermann Weyl. Providence, RI: AMS, . (Proc Symp. Pure Math.; V. ). P. ––. . Bourbaki N. Groupes et alg` ebres de Lie, Ch. : Alg` ebres de Lie. Paris: Hermann, . (Рус. пер. в кн.: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свобод- ные алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, .) . Bourbaki N. Groupes et alg` ebres de Lie. Ch. IV: Groupes de Coxeter et syst` emes de Tits. Ch. V: Groupes engendr´ es par des r´ eflexions. Ch. VI: Syst` emes de racines. Paris: Hermann, . (Рус. пер.: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней. М.: Мир, .) . Bourbaki N. Groupes et alg` ebres de Lie. Ch. VII: Sous-alg` ebres de Cartan, ´ el´ ements r´ eguliers. Ch. VIII: Alg` ebres de Lie semi-simples d´ eploy´ ees. Paris: Hermann, . (Рус. пер.: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регуляр- ные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли. М.: Мир, .) Литература . Bourbaki N. Algebra. I. Ch. ––. Berlin: Springer-Verlag, . (Рус. пер. раннего издания: Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и поли- линейная алгебра. М.: Физматгиз, .) . Brauer R. On algebras which are connected with the semisimple continuous groups // Ann. Math. . V. . P. ––. . Br¨ ocker T., T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups. New York: Springer-Verlag, . . Burroughs J. Operations in Grothendieck rings and the symmetric group // Can. J. Math. . V. . P. ––. . Cartan E. The Theory of Spinors. Paris: Hermann, . . Cartan E. Le principe de dualit´ e et la th´ eoric des groupes simples et semi-simples // Bull. Sci. Math. . V. . P. ––. . Cartier P. On H. Weyl’s character formula // Bull Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Chevalley C. Theory of Lie Groups. Princeton, NJ: Princeton University Press, . (Рус. пер.: Шевалле К. Теория групп Ли. Т. . М.: ИЛ, . Т. . М.: ИЛ, . Т. . М.: ИЛ, .) . Chevalley C. The Algebraic Theory of Spinors. New York: Columbia University Press, . . S´ eminaire C. Chevalley ––. Classification des Groupes de Lie Alg´ ebriques. Paris: Secr´ etariat math´ ematique, . . Chevalley C., Schafer R. D. The exceptional simple Lie algebras F 4 and E 6 // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. . V. . P. ––. . Coleman A. J. Induced Representations with Applications to S n and GL(n) // Queens Papers Pure Appl. Math. . V. . . Curtis C. W., Reiner I. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. New York: Interscience Publishers, . (Рус. пер.: Кэртис Ч., Рай- нер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, .) . Dieudonn´e J., Carrell J. Invariant Theory, Old and New. New York: Academic Press, . (Рус. пер. в кн.: Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, .) . De Concini C., Procesi C. A characteristic free approach to invariant theory // Adv. Math. . V. . P. ––. . Demazure M. A, B, C, D, E, F, etc. Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). P. ––. . Dieudonn´e J. Sur les Groupes Classiques. Paris: Hermann, . (Рус. пер. третье- го издания: Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.: Мир, .) . Dieudonn´e J. Schur functions and group representations // Young tableaux and Schur functors in algebra and geometry. . (Ast´ erisque; V. ––). P. ––. . Diaconis P. Group Representations in Probability and Statistics. Hayward. CA: Institute of Mathematical Statistics, . Литература . Donagi R. On the geometry of Grassmannians // Duke Math. J. . V. . P. ––. . Dornhoff L. Group Representation Theory. Parts A and B. New York: Marcel Dekker, . . . Drucker D. Exceptional Lie algebras and the structure of hermtian symmetric spaces // Mem Amer. Math. Soc. . V. . . Dynkin E. B., Oni˘s˘cik A. L. Compact global Lie groups // Amer. Math. Soc. Transl. Series . . V. . P. ––. . El Samra N., King R. C. Reduced determinantal forms for characters of the classical Lie groups // J. Phys. A: Math. Gen. . V. . P. ––. . Foata D. (ed.) Combinatoire et Repr´ esentation du Groupe Sym´ etrique, Strasbourg, . Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). . Freudenthal H. Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie. Utrecht: Math- ematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht, ; . . Freudenthal H. Lie groups in the foundations of geometry // Adv. Math. . V. . P. ––. . Freudenthal H., de Vries H. Linear Lie Groups. New York: Academic Press, . . Frobenius F. G. ¨ Uber die Charaktere der symmetrischen Gruppe // Sitz. K¨ onig. Preuss. Akad. Wlssen. . S. ––; Gesammelte Abhandlungen III. Heidel- berg: Springer-Verlag, . S. ––. . Frobenius F. G. ¨ Uber die Charaktere der alternirenden Gruppe, Sitz. K¨ onig. Preuss. Akad. Wissen. . S. ––; Gesammelte Abhandlungen III. Heidelberg: Sprin- ger-Verlag, . S. ––. . Fulton W. Intersection Theory. New York: Springer-Verlag, . (Рус. пер.: Фул- тон У. Теория пересечений. М.: Мир, .) . Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic Geometry. New York: Wiley-Inter- science, . (Рус. пер.: Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: В т. М.: Мир, .) . Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications. New York: Wiley, . . Greene C., Nijenhuis A., Wilf H. S. A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape // Adv. Math. . V. . P. ––. . Green J. A. The characters of the finite general linear group // Trans Amer. Math. Soc. . V. . P. –– . . Green M. L. Koszul cohomology and the geometry of projective varieties. I, II // J. Diff.Geom. . V. . P. ––; . V. . P. ––. . Griess R. L. Automorphisms of extra special groups and nonvanishing degree 2 cohomology // Pacific J. Math. . V. . P. ––. . Harris J. Algebraic Geometry. New York: Springer-Verlag, . (Рус. пер.: Хар- рис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. М.: МЦНМО, .) . Hamermesh M. Group Theory and its Application to Physical Problems. Reading, MA: Addison-Wesley, . (Addison-Wesley Series in Physics).; Dover, . Литература . Hardy G. H. Ramanujan. Cambridge. MA: Cambridge University Press, . . Helgason S. Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces. New York: Academic Press, . (Рус. пер. раннего издания: Хелгасон С. Дифференциаль- ная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, .) . Hermann R. Spinors, Clifford and Cayley Algebras // Interdisciplinary Mathe- matics. . V. VII. . Hiller H. Geometry of Coxeter Groups. London: Pitman, . . Howe R. Very basic Lie theory // Amer. Math. Monthly. . V. . P. ––; . V. . P. . . Howe R. The classical groups and invariants of binary forms // Proc. Symp. Pure Math. . V. . P. ––. . Howe R. Remarks on classical invariant theory // Trans. Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Hodge W. V. D., Pedoe D. Methods of Algebraic Geometry. V. , . Cambridge, MA: Cambridge University Press, ; ; . (Рус. пер.: Ходж В., Пидо Д. Мето- ды алгебраической геометрии. Т. , . М.: ИЛ, .) . Hausner M., Schwarz J. T. Lie groups; Lie algebras. New York: Gordon and Breach, . . Humphreys J. E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. New York: Springer-Verlag, ; . (Рус. пер.: Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. М.: МЦНМО, .) . Humphreys J. E. Linear Algebraic Groups. New York: Springer-Verlag, ; . (Рус. пер.: Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, .) . Humphreys J. E. Representations of SL(2, p) // Amer. Math. Monthly. . V. . P. ––. . Hurwitz A. ¨ Uber die Anzahl der Riemann’schen Fl¨ achen mit gegebenen Verz- weigungspunkten // Math Ann. . Bd. . S. ––. . Husemoller D. Fibre Bundles. nd ed. New York: Springer-Verlag, . (Рус. пер. раннего издания: Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространтва. М.: Мир, .) . Ingram R. E. Some characters of the symmetric group // Proc. Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Iversen B. The geometry of algebraic groups // Adv. Math. . V. . P. ––. . Jacobson N. Lie Algebras. New York: Wiley, ; Dover, . (Рус. пер.: Джекоб- сон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, .) . Jacobson N. Exceptional Lie Algebras. New York: Marcel Dekker, . . Jacobson N. Cayley numbers and simple Lie algebras of type G // Duke Math. J. . V. . P. ––. . Jacobson N. Triality and Lie algebras of type D 4 // Rend. Circ. Mat. Palermo (). . V. . P. ––. . James G. D., Kerber A. The Representation Theory of the Symmetric Group. Reading, MA: Addison-Wesley, . (Encyclopedia of Mathematics and Its Ap- plications; V. ). Литература . James G. D. The Representation Theory of the Symmetric Groups. Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). (Рус. пер.: Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Мир, .) . J´ oseftak T., Lascoux A. (eds.) Young Tableaux and Schur Functors in Algebra and Geometry, Toru´ n, Poland, . . (Asterisque; V. ––). . Kerber A. Representations of Symmetric Groups. I. Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). . Kempf G. Tensor products of representations // Amer. J. Math. . V. . P. ––. . King R. C. The dimensions of irreducible tensor representations of the orthogonal and symplectic groups // Can. J. Math. . V. . P. ––. . King R. C. Modification rules and products of irreducible representations of the unitary, orthogonal and symplectic groups // J. Math. Phys. . V. . P. ––. . Кириллов А. А. Элементы теории представлений. -е изд. М.: Наука, . . Климык А. У. Кратности весов представлений и кратности представлений по- лупростых алгебр Ли // ДАН СССР. . Т. . С. ––. . Kempf G., Ness L. Tensor products of fundamental representations // Can. J. Math. . V. . P. ––. . Knutson D. λ-Rings and the Representation Theory of the Symmetric Group. Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). . Kostant B. A formula for the multiplicity of a weight // Trans. Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Koike K., Terada I. Young-diagrammatic methods for the representation theory of the classical groups of type B n , C n , and D n // J. Algebra. . V. . P. ––. . Kung J. P. S. (ed.) Young tableaux in combinatorics, invariant theory, and algebra. New York: Academic Press, . . Kumar S. Proof of the Parthasarathy––Ranga Rao––Varadarajan conjecture // Invent. Math. . V. . P. ––. . Kumar S. A refinement of the PRV conjecture // Invent. Math. . V. . P. ––. . Ledermann W. Introduction to Group Characters. Cambridge, MA: Cambridge University Press, . . Littelmann P. A Littlewood-Richardson rule for classical groups // C. R. Acad. Sci. Paris. . V. . P. ––. . S´ eminaire Sophus LIE /. Th´ eorie des Alg` ebres de Lie, Topologie des groupes de Lie. Paris: ´ Ecole Normale Sup´ erieure, . (Рус. пер.: Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. М.: ИЛ, .) . Littlewood D. E. The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. nd ed. Oxford: Oxford University Press, . . Littlewood D. E. A University Algebra. London: William Heinemann Ltd, ; nd ed. ; Dover, . Литература . Littlewood D. E. On invariants under restricted groups // Philos. Trans. Roy. Soc. . V. . P. ––. . Liulevicius A. Arrows, symmetries and representation rings // J. Pure Appl. Algebra. . V. . P. ––. . Lawson H. B., Michelson M.-L. Spin Geometry. Princeton, NJ: Princeton University Press, . . Lakshmibai V., Musili C., Seshadri C. S. Geometry of G /P // Bull. Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Loos. Symmetric Spaces. New York: W. A. Benjamin, . . Lascoux A., Sch¨ utzenberger M. P. Formulaire raisonn´ e de fonctions symmetriques // U. E. Maths. V. . Paris VII, L.A., . . Lancaster G., Towber J. Representation-functors and flag-algebras for the classical groups. I, II // J. Algebra. . V. . P. ––; . V. . P. ––. . Lazarsfeld R., Van de Ven A. Topics in the geometry of projective space / Recent work of F. L. Zak. With an addendum by Zak. Boston, MA: Birkh¨ auser, . (DMV Seminar; Bd. ). . Liebler R. A., Vitale M. R. Ordering the partition characters of the symmetric group // J. Algebra. . V. . P. ––. . Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford: Clarendon Press, . (Рус. пер.: Макдональд И. Симметрические функции и многочле- ны Холла. М.: Мир, .) . Mackey G. W. Introduction to The Racah––Wigner Algebra in Quantum Theory / By L. C. Biedenharn and J. D. Louck. Reading, MA: Addison-Wesley, . (Encyclope- dia of Mathematics and Its Applications; V. ). . Musili G., Seshadri C. S. Standard monomial theory. . P. ––. (Springer Lecture Notes; V. ). . Murnaghan F. D. The Theory of Group Representations. Baltimore: The Johns Hopkins Press, . . Murnaghan F. D. The Unitary and Rotation Groups. Washington, DC: Spartan Books, . . Nomizu K. Lie Groups and Differential Geometry. Tokyo: Mathematics Society of Japan, . (Рус. пер.: Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геомет- рия. М.: ИЛ, .) . Naimark M. A., Stern A. I. Theory of Group Representations. New York: Springer- Verlag, . . Peel M. H. Hook representations of symmetric groups // Glasgow Math. J. . V. . P. ––. . Peel M. H. Specht modules and the symmetric groups // J. Algebra. . V. . P. ––. . Porteous I. R. Topological Geometry. nd ed. Cambridge, MA: Cambridge Univer- sity Press, . . Постников M. М. Группы Ли и алгебры Ли. M.: Мир, . Литература . Procesi C. A Primer of Invariant Theory. . (Brandeis Lecture Notes; V. ). . Pressley A., Segal G. Loop Groups. Oxford: Clarendon Press, . . Pragacz P., Weyman J. On the construction of resolutions of determinantal ideals: a survey. . (Springer Lecture Notes; V. ). P. ––. . Quillen D. The mod 2 cohomology rings of extra-special -groups and the spinor groups // Math. Ann. . V. . P. ––. . Racah G. Lectures on Lie groups // in Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics. New York: Gordon and Breach, . P. ––. . Schafer R. D. An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Academic Press, . . Schwarz G. W. On classical invariant theory and binary cubics // Ann. Inst Fourier. . V. . P. ––. . Serre J-P. Lie Algebras and Lie Groups. New York: W. A. Benjamin, . (Рус. пер. в книге: Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, .) . Serre J-P. Linear Representations of Finite Groups. New York: Springer-Verlag, . (Рус. пер.: Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. М.: Мир, .) . Serre J-P. Complex Semi-simple Lie Algebras. New York: Springer-Verlag, . (Рус. пер. в книге: Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, .) . Sato M., Kimura T. A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their relative invariants // Nagoya Math. J. . V. . P. ––. . Springer T. A. Invariant Theory. Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lec- ture Notes; V. ). (Рус. пер.: Спрингер Т. Теория инвариантов. М.: Мир, .) . Stanley R. P. Theory and Application of Plane Partitions. Parts and // Studies Appl. Math. . V. . P. ––, ––. . Steinberg R. The representations of GL(3, q), GL(4, q), PGL(3, q), and PGL(4, q) // Can. J. Math. . V. . P. ––. . Steinberg R. Conjugacy classes in Algebraic Groups. Heidelberg: Springer-Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). . Sattinger D. H., Weaver O. L. Lie groups and algebras with applications to physics. Geometry, and mechanics. New York: Springer-Verlag, . . Tits J. Groupes simples et g´ eom´ etries associ´ ees // Proc. Intern. Cong. Math. Stockholm. . P. ––. . Tits J. Sur les constantes de structure et le th´ eor` eme d’existence des alg´ ebres de Lie semi-simples // Publ. Math. I.H.E.S. . V. . P. ––. . Tomber M. L. Lie algebras of type F // Proc. Amer. Math. Soc. . V. . P. ––. . Towber J. Two new functors from modules to algebras // J. Algebra. . V. . P. ––. . Towber J. Young symmetry, the flag manifold, and representations of GL(n) // J. Algebra. . V. . P. ––. . Varadarajan V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations. New York: Springer-Verlag, ; . Литература . van der Waerden B. L. Reihenentwicklungen und ¨ Uberschiebungen in der Invarian- tentheorie, insbesondere im quartern¨ aren Giebiet // Math. Ann. . V. . P. ––. . Vust T. Sur la th´ eorie des invariants des groupes classiques // Ann. Inst. Fourier. . V. . P. ––. . Wan Z-X. Lie Algebras. New York: Pergamon Press, . . Weyl H. Classical Groups. Princeton, NJ: Princeton University Press, ; nd ed. . (Рус. пер.: Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представле- ния. М.: ИЛ, .) . Weyl H. ¨ Uber Algebren, die mit der Komplexgruppe in Zusammenhang stehen, und ihre Darstellungen // Math. Zeit. . V. . P. ––. . Zelevinsky A. V. Representations of Finite Classical Groups. Heidelberg: Springer- Verlag, . (Springer Lecture Notes; V. ). . Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. -е изд., доп. М.: МЦНМО, . |