теория представления. Теория представлений Начальный курс. Теория представлений Начальный курс У. Фултон, Дж. Харрис Теория представлений Начальный курс
 Скачать 436.36 Kb.
|
|
§ .. Определения Представлением конечной группы G в конечномерном комплексном векторном пространстве V называется гомоморфизм ρ : G → GL(V) из группы G в группу автоморфизмов пространства V ; будем говорить, что такое отображение задает на V структуру G-модуля. В тех случаях, когда отображение ρ очевидно из контекста (и даже, увы, в некоторых случаях, когда оно не столь очевидно), мы будем называть само пространство V представлением группы G; в силу этого мы будем часто опускать символ ρ и писать g · v или gv вместо ρ(g)(v). Размерность пространства V иногда называется степенью представления ρ. Отображение из представления V в представление W группы G –– это такое отображение векторных пространств ϕ : V → W, что диаграмма V ϕ // g W g V ϕ // W коммутативна при всех g ∈ G. (Такое отображение мы будем называть G-линейным, когда нам нужно будет отличить его от произвольного ли- нейного отображения векторных пространств V → W.) Это позволяет определить Ker ϕ, Im ϕ и Coker ϕ, которые также будут являться G-моду- лями. Лекция . Представления конечных групп Подпредставление представления V –– это векторное пространство W в V , инвариантное относительно действия группы G. Представление V на- зывается неприводимым, если оно не содержит собственного ненулевого инвариантного подпространства W ⊂ V. Если V и W –– представления, то представлениями также являются прямая сумма V ⊕ W и тензорное произведение V ⊗ W, причем последнее определяется так: g(v ⊗ w) = gv ⊗ gw. Согласно этому правилу n-я тензорная степень V ⊗n представления V снова является представлением группы G, а внешняя степень V n (V) и симмет- рическая степень Sym n (V) являются ее подпредставлениями . Двойствен- ное пространство V ∗ = Hom(V, C) к пространству V также является пред- ставлением, хотя описание этого не вполне очевидно: мы требуем, чтобы эти два представления группы G уважали естественное спаривание (обо- значаемое 〈 , 〉) между V и V ∗ , и поэтому для представления ρ : G → GL(V) и двойственного к нему ρ ∗ : G → GL(V ∗ ) должно выполняться соотношение 〈(ρ ∗ (g)(v ∗ ), ρ(g)(v) 〉 = 〈v ∗ , v 〉 при всех g ∈ G, v ∈ V и v ∗ ∈ V ∗ . Это, в свою очередь, заставляет нас опреде- лить двойственное представление так: ρ ∗ (g) = t ρ(g −1 ): V ∗ → V ∗ при всех g ∈ G. Упражнение .. Проверьте, что при таком определении представле- ния ρ ∗ справедливо приведенное выше соотношение. Определив двойственное к представлению и тензорное произведение двух представлений, можно аналогичным образом сказать, что если V и W являются представлениями, то и Hom(V, W) есть представление: для этого нужно отождествить Hom(V, W) c V ∗ ⊗ W. Более явно, если элемент из Hom(V , W) рассматривать как линейное отображение ϕ из V в W, то (gϕ)(v) = gϕ(g −1 (v)) для всех v ∈ V. Другими словами, определение требует коммутативности диаграммы V ϕ // g W g V g ϕ // W Отметим, что двойственное представление, в свою очередь, есть частный случай этой конструкции: если W = C есть тривиальное представление, т. е. gw = w при всех w ∈ C, то V ∗ таким образом превращается в G-модуль, для которого g ϕ(v) = ϕ(g −1 v), т. е. gϕ = t (g −1 )ϕ. Сведения о внешней и симметрической степенях, в том числе описание их как фактор- пространств тензорных степеней, читатель найдет в приложении Б. § .. Полная приводимость; лемма Шура Упражнение .. Проверьте, что в общем случае пространство G-ли- нейных отображений между двумя представлениями V и W группы G есть в точности подпространство Hom(V, W) G , состоящее из элементов про- странства Hom(V, W), неподвижных относительно действия G. Это под- пространство часто обозначается Hom G (V, W). Мы приняли отождествление Hom(V, W) = V ∗ ⊗ W за определение пред- ставления Hom(V, W). Более общим образом, стандартные тождества для векторных пространств также имеют место и для представлений, а именно: V ⊗ (U ⊕ W) = (V ⊗ U) ⊕ (V ⊗ W), ^ k (V ⊕ W) = M a+b=k ^ a V ⊗ ^ b W , ^ k (V ∗ ) = ^ k (V) ∗ и т. д. Упражнение . ∗ . Пусть ρ : G → GL(V) –– произвольное представление конечной группы G в n-мерном векторном пространстве; предположим, что при всех g ∈ G определитель оператора ρ(g) равен 1. Покажите, что пространства V k V и V n −k V ∗ изоморфны как представления группы G. Если X –– произвольное конечное множество и G действует слева на X, т. е. G → Aut(X) есть гомоморфизм в группу перестановок множества X, то имеется ассоциированное перестановочное представление: пусть V –– век- торное пространство с базисом {e x : x ∈ X}, и пусть G действует на V так: g · P a x e x = P a x e gx Регулярное представление, обозначаемое R G или R, соответствует дей- ствию группы G на себе левыми сдвигами. Иначе говоря, R есть про- странство комплекснозначных функций на G, где всякий элемент g ∈ G действует на функции α по формуле (gα)(h) = α(g −1 h). Упражнение . ∗ . 1. Проверьте, что эти два определения представле- ния R согласуются, отождествив элемент e x с характеристической функци- ей, которая принимает значение 1 на x и на всех остальных элементах группы G. 2. Пространство функций на G может также быть превращено в G-мо- дуль при помощи правила (gα)(h) = α(hg). Покажите, что это представле- ние изоморфно регулярному. § .. Полная приводимость; лемма Шура Как это бывает при каких угодно исследованиях, прежде чем всерьез на- чать попытки классифицировать все представления конечной группы G, мы должны попытаться упростить себе жизнь, ограничившись поиском чего-то определенного. А именно, мы видели, что представления группы G могут Лекция . Представления конечных групп быть составлены из других представлений при помощи операций линей- ной алгебры, в самом простом случае –– взятия прямой суммы. Значит, мы должны сосредоточиться на представлениях, которые являются «атомар- ными» относительно этой операции, т. е. не могут быть представлены как прямая сумма других; обычно для таких представлений используется тер- мин неразложимые. К счастью, ситуация столь хороша, насколько это воз- можно: представление является атомарным в этом смысле тогда и только тогда, когда оно неприводимо (т. е. не содержит собственных подпредстав- лений), и всякое представление является прямой суммой неприводимых, определенных в некотором смысле единственным образом. Ключевым утверждением для этого служит следующий результат. Предложение .. Если W есть подпредставление в представлении V конечной группы G, то существует такое дополнительное инвариантное подпространство W ′ в V , что V = W ⊕ W ′ . Доказательство. Существуют два способа доказать этот факт. Мож- но ввести (положительно определенное) эрмитово скалярное произве- дение H на V, которое сохранялось бы каждым элементом g ∈ G (т. е. H(gv, gw) = H(v, w) для любых v, w ∈ V и g ∈ G). В самом деле, если H 0 есть произвольное эрмитово скалярное произведение на V , то H можно получить при помощи усреднения по группе G: H(v, w) = P g ∈G H 0 (gv, gw). Тогда ортогональное пространство W ⊥ дополнительно к W в V . Альтерна- тивным (но похожим) способом является следующий: мы просто можем выбрать произвольное подпространство U , дополнительное к W , рассмот- реть проекцию π 0 : V → W, задаваемую разложением в прямую сумму V = W ⊕ U, и усреднить отображение π 0 по G, т. е. положить π(v) = P g ∈G g(π 0 (g −1 (v)). Это будет G-линейное отображение из V в W, которое на W действует как умножение на |G|; значит, его ядро есть подпространство в V, инвариант- ное относительно G и дополнительное к W. Следствие .. Всякое представление является прямой суммой непри- водимых. Это свойство называется полной приводимостью или полупростотой. Мы увидим, что для непрерывных представлений это свойство имеется у окружности S 1 и у любой другой компактной группы; роль усреднения из предыдущего доказательства при этом играет интегрирование по группе (относительно инвариантной меры на этой группе). Аддитивная группа R этим свойством не обладает: представление a 7→ 1 a 0 1 § .. Полная приводимость; лемма Шура оставляет ось x неподвижной, но дополнительного к ней подпростран- ства нет. Мы выясним, что другие группы Ли, например SL n C, являются полупростыми в этом смысле. Заметим также, что это рассуждение не работает, если V –– векторное пространство над полем конечной характе- ристики, поскольку тогда возможно, что π(v) = 0 для v ∈ W. Отсутствие полной приводимости –– одна из причин, по которой наука о модулярных представлениях столь непроста. Мы выясним, в какой степени разложение произвольного представ- ления в прямую сумму неприводимых единственно, с помощью такого утверждения. Лемма . (Шур). Пусть V и W суть неприводимые представления группы G и ϕ : V → W –– гомоморфизм G-модулей. Тогда ) либо ϕ –– изоморфизм, либо ϕ = 0; ) если V = W , то ϕ = λ · I для некоторого λ ∈ C, где I –– тождественное отображение. Доказательство. Первое утверждение следует из того, что Ker ϕ и Im ϕ –– инвариантные подпространства. Что касается второго, то, посколь- ку C алгебраически замкнуто, у оператора ϕ должно найтись собственное значение λ при некотором λ ∈ C, т. е. у оператора ϕ − λI должно быть ненулевое ядро. Тогда согласно п. имеем ϕ − λI = 0, так что ϕ = λI. Вс¨ е доказанное можно подытожить в виде следующего предложения. Предложение .. Для всякого представления V конечной группы G имеет место разложение V = V ⊕a 1 1 ⊕ … ⊕ V ⊕a k k , где V i –– это различные неприводимые представления. Разложение пред- ставления V в прямую сумму этих k слагаемых (т. е. участвующие в нем слагаемые V i и кратности a i ) определено однозначно. Доказательство. Из леммы Шура следует, что если W –– другое пред- ставление группы G с разложением W = L W ⊕b j j и ϕ : V → W есть отображе- ние представлений, то ϕ должно отображать слагаемое V ⊕a i i в то слагаемое W ⊕b j j , для которого W j ∼ = V i ; тогда, применив это утверждение к тождествен- ному отображению из V в V, получаем требуемую единственность. В следующей лекции мы приведем формулу для проектирования V в V ⊕a i i . Разложение i-го слагаемого в прямую сумму a i копий представле- ния V i при a i > 1 единственным, однако, не является. Иногда это разложение записывается в виде V = a 1 V 1 ⊕ … ⊕ a k V k = a 1 V 1 + … + a k V k , (.) особенно если речь идет только о классах изоморфизма и кратностях представлений V i Еще одно утверждение, которое будет доказано в следующей лекции, гласит, что конечная группа G допускает лишь конечное число, с точ- Лекция . Представления конечных групп ностью до изоморфизма, неприводимых представлений V i (мы укажем, сколько именно). Тем самым мы выяснили структуру всех представлений группы G: согласно предыдущему, описав все неприводимые представле- ния группы G, мы можем описать произвольное представление как их линейную комбинацию. Наша первая цель при изучении представлений произвольной группы будет следующей. 1. Описать все неприводимые представления группы G. После того как это сделано, остается задача практического описания данного представления в этих терминах. Итак, наша вторая цель такова. 2. Найти метод отыскания разложения в прямую сумму (.), в част- ности, определения кратностей a i для произвольного представления V . Наконец, ситуация такова, что мы будем чаще всего рассматривать представления, получающиеся из более простых при помощи некоторых линейных и полилинейных алгебраических операций, описанных выше. Поэтому мы бы хотели иметь возможность описать в указанных терминах то представление, которое мы получаем, применив эти операции к неко- торому данному представлению. Это обычно называется плетизмом. 3. Плетизм: описать разложения (с кратностями) представлений, ко- торые получаются из данного представления V , например V ⊗ V, V ∗ , V k V , Sym k (V) или V k ( V l V ). Отметим, что если V раскладывается в сумму двух представлений, то и эти представления раскладываются соответственно: например, если V = U ⊕ W, то ^ k V = M i+ j=k ^ i U ⊗ ^ j W , так что этот плетизм достаточно описать для неприводимых представле- ний. Аналогично если V и W суть неприводимые представления, то мы хотим разложить V ⊗ W; это обычно называется задачей Клебша––Гордона. § .. Примеры: абелевы группы, S 3 Очевидным источником примеров являются абелевы группы. Однако разобраться с этим случаем нетрудно. В сущности, мы можем заметить, что если V –– произвольное представление конечной группы G, абелевой или нет, то всякий элемент g ∈ G задает отображение ρ(g): V → V, но это отображение, вообще говоря, не является гомоморфизмом G-модулей: для (почти) произвольного h ∈ G мы имеем g(h(v)) 6= h(g(v)). В самом деле, отображение ρ(g): V → V будет являться G-линейным при всех ρ тогда (и только тогда), когда g лежит в центре Z(G) группы G. В частности, если группа G абелева, а V –– неприводимое представление, то по лемме Шура каждый элемент g ∈ G действует на V как тождествен- § .. Примеры: абелевы группы, S 3 ный оператор, домноженный на скаляр. Таким образом, всякое подпро- странство пространства V инвариантно; значит, V одномерно. Следова- тельно, неприводимые представления абелевой группы G –– это просто элементы двойственной группы, т. е. гомоморфизмы ρ : G → C ∗ Далее мы рассмотрим простейшую неабелеву группу G = S 3 . Для на- чала у нас есть (как и в случае любой симметрической группы) два одно- мерных представления: тривиальное представление, которое мы обозна- чим U , и знаковое представление U ′ , определенное так: gv = sgn(g)v для g ∈ G, v ∈ C. Далее, поскольку G является группой перестановок, у нас есть естественное перестановочное представление, на котором G действу- ет на C 3 перестановками координат. В явном виде, если {e 1 , e 2 , e 3 } –– это стандартный базис, то g · e i = e g(i) , или, что то же самое, g · (z 1 , z 2 , z 3 ) = (z g −1 (1) , z g −1 (2) , z g −1 (3) ). Это представление, как и всякое перестановочное представление, не яв- ляется неприводимым: прямая, натянутая на сумму базисных векторов, т. е. на вектор (1, 1, 1), инвариантна, а дополнительным к ней является подпространство V = (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ C 3 : z 1 + z 2 + z 3 = 0 Как нетрудно убедиться, это двумерное представление неприводимо; мы будем называть его стандартным представлением группы S 3 Теперь обратимся к задаче описания всех представлений группы S 3 В следующей лекции мы обнаружим замечательный инструмент для это- го –– теорию характеров; но, как бы это ни было неэффективно, здесь мы бы хотели употребить другой подход, годящийся лишь для этого конкрет- ного случая. В этой ситуации у него есть некоторые достоинства как у под- хода учебного (достоинства, впрочем, довольно сомнительные, заключа- ющиеся преимущественно в демонстрации того, что существуют другие методы, куда худшие, нежели теория характеров). Настоящая причина, по которой мы его приводим, состоит в том, что, при всей своей избыточно- сти применительно к конечным группам, этот подход окажется ключевым при работе с представлениями групп Ли. Его идея крайне проста: поскольку, как мы только что видели, теория представлений конечной абелевой группы в сущности тривиальна, мы начнем изучение произвольного представления W группы S 3 с того, что просто посмотрим на действие на W ее абелевой подгруппы A 3 = Z/3. Это дает очень простое разложение: если τ –– какой-нибудь элемент, порожда- ющий группу A 3 (т. е. произвольный элемент порядка 3), то пространство Лекция . Представления конечных групп W натянуто на собственные векторы v i оператора τ, собственными зна- чениями которого могут являться только степени кубического корня из единицы ω = e 2πi/3 . Итак, W = M V i , где V = Cv i и τv i = ω α i v i Далее, зададимся вопросом, как остальные элементы группы S 3 дей- ствуют на W в терминах этого разложения. Чтобы увидеть, как это про- исходит, обозначим через σ произвольную транспозицию; σ и τ вместе порождают всю группу S 3 , и для них имеется соотношение στσ = τ 2 Мы хотели бы выяснить, куда σ переводит данный собственный вектор v оператора τ, скажем, имеющий собственное значение ω i ; чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как τ действует на σ(v). Использовав выше- приведенное базовое соотношение, запишем τ(σ(v)) = σ(τ 2 (v)) = σ(ω 2i · v) = ω 2i · σ(v). Отсюда следует, что если v есть собственный вектор для τ, соответству- ющий собственному значению ω i , то σ(v) снова будет собственным век- тором для τ с собственным значением ω 2i . |