Матан ответы. МатАн. ОТВЕТЫ 2017. Свойства

• Название: Свойства
• Анкор: Матан ответы
• Дата: 02.03.2023
• Размер: 22.33 Kb.
• Имя файла: МатАн. ОТВЕТЫ 2017.docx
• Тип: Документы; #964236

1. 
   Модуль действительного числа и его свойства.
   

• 
  Модуль числа – абсолютная положительная величина числа.
  

Свойства

• 
  |a|=|-a|
  
• 
  |a b|=|a| |b|
  
• 
  Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числаaна модуль числаb, то есть, 
  
• 
  Модуль суммы двух чисел меньше суммы модулей этих чисел. |a+b| |a|+|b|
  

2. 
   Предел числовой последовательности.
   

• 
  Число A называется пределом числовой последовательности , если
  

Пишут:

3. 
   Предел функции, теорема единственности предела.
   

• 
  (Коши)
  
• 
  Число называется пределом функции в точке , если:
  

1. 
   Функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
   
2. 
   выполняется условие:
   

• 
  (Гейне)
  
• 
  Число называется пределом функции в точке , если:
  

1. 
   Функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
   
2. 
   Для любой последовательности точек из некоторой проколотой окрестности точки , имеющей своим пределом , соответствующая последовательность значений функции имеет своим пределом число А
   

• 
  Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.
  

7. 
   Ограниченность функции, имеющей конечный предел.
   

• 
  Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
  

7. 
   Предел суммы, произведения и частного функций.
   

• 
  Предел суммы
  
• 
  Предел произведения
  
• 
  Пределчастного
  

7. 
   Предельный переход в неравенствах.
   

Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство

f(x) g(x) . Тогда , если пределы существуют.

7. 
   Свойства бесконечно больших и бесконечно малых величин. Сравнение бесконечно малых.
   

• 
  Функция называется бесконечно малой при если
  

• 
  Функция называется бесконечно большой при если
  

• 
  Свойства
  
• 
  Произведение бесконечно малой при на функцию, ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки , является бесконечно малой при
  
• 
  Если – бесконечно малая при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то – бесконечно большая при
  
• 
  Если – бесконечно большая при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то – бесконечно малая при
  
• 
  Функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при , если
  

7. 
   Непрерывность основных элементарных и элементарных функций. Классификация точек разрыва.
   

• 
  основные элементарные функции:
  

1. 
   степенные функции
   
2. 
   показательные функции
   
3. 
   логарифмические функции
   
4. 
   тригонометрические функции
   
5. 
   круговые (обратные тригонометрические) функции
   

• 
  Функция называется элементарной, если она может быть представлена через основные элементарные функции с помощью конечного числа операций
  
• 
  Основные элементарные функции непрерывны в области определения.
  
• 
  Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.
  
• 
  1) Функция f (x) имеет в точкеx_oустранимый разрыв, если выполняются условия 1–2, но не выполняется условие 3.
  

Точкааназывается точкой устранимого разрыва функции, если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке

• 
  2) Функция f (x) имеет в точкеx_oразрыв I рода («разрыв скачка»), если выполняется только условие 1.
  

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

• 
  3) Функция f (x) имеет в точкеx_oразрыв II рода, если условие 1 не выполняется.
  

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

7. 
   Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
   

Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и её значения

f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа C, заключённого между A и

B, существует точка x₀ X, в которой значение f(x₀)=C

7. 
   Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
   

• 
  Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём.
  
• 
  Теорема Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.
  

• 
  Если функция непрерывна на отрезке, то среди её значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее
  

7. 
   Производная и дифференциал, дифференцирование функций.
   

• 
  Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента.
  
• 
  дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .
  
• 
  Дифференцирование произведения функций.
  

• 
  Дифференцирование сложной функции.
  

7. 
   Связь непрерывности и дифференцируемости функции.
   

Если функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале, то она и непрерывна на этом интервале. Но обратное утверждение НЕВЕРНО.

7.