Комплексті анализ (1). Таырыбы Тізбекті шегі Тексерген Таттибеков Конысбек Сатиевич Орындаан Абдикеримова А. Н. Мат21
 Скачать 2.26 Mb.
|
|
Мысал 1.  функциясы кез келген нүктеде үзіліссіз, өйткені .Бірақ оның  нүктесінде туындысы жоқ.Расында да,  , .Демек, функцияның нүктесінде бір жақты туындылары бар, бірақ,  болғандықтан, оның бұл нүктеде туындысы болмайды.Мысал 2.  функциясының графигіне  нүктесінде жүргізілген жанама мен нормаль теңдеулерін жазу керек.Шешуі. жанаманың теңдеуі y – y0 = f ’(x0) ∙(x – x0), ал осы нүктедегі нормаль теңдеу:  Ол үшін функция туындысының  нүктесіндегі мәнін, яғни жанаманың бұрыштық коэффициентін табайық: .Ендеше, жанама теңдеуі  ,ал нормаль теңдеуі  .2.4 Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар»  екі айнымалының функциясы берілсін. Дербес туындылар  жалпы айтқанда х және у айнымалыларының функциясы болады. Сондықтан олардан тағы да дербес туынды табуға болады. Екі айнымалының екінші ретті туындысы төртеу болады. Өйткені  функциясының әрқайсысын х және у бойынша дифференциалдаймыз. Оларды былай белгілейміз. ,  .Жалпы айтқанда n-ші ретті туынды (n-1)-ші ретті туындыдан алынған бірінші ретті туынды болады. Әртүрлі айнымалысы бойынша алынған екінші ретті немесе жоғарғы дербес туындылар аралас дербес туындылар деп аталады. Келесі 3-ші, 4-ші тағы сол сияқты ретті туындылар да осылай анықталады. Әр түрлі айнымалылар бойынша алынған жоғары ретті туындыны аралас дербес туынды дейді. Мысал Берілген  функциясының екінші ретті дербес туындыларын табайық. ,  Енді екінші рет дифференциалдаймыз:    Аралас дербес туындылар жөнінде мынадай теорема орындалады.Теорема  функциясы Q облысында анықталып осы облыста  туындылары бар болса, және  пен  туындылары  нүктесінде үзіліссіз болса, онда  теңдігі орындалады. функциясының Q облысында бірінші ретті үзіліссіз туындылары болса, онда функцияның толық дифференциалы  деп мына формула бойынша анықталады: ,мұндағы  - тәуелсіз  айнымалыларының дифференциалдары (ақырсыз аз өсімшелері).Егер  функциясының екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда  -тің бірінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болады және осы дифференциалының толық дифференциалы  берілген  функциясының екінші ретті дифференциалы деп аталады. Сонымен, дифференциалдау ережесін пайдаланып төмендегі формулаға келеміз:  немесе, аралас туындылардың өзара тең болатынын ескеріп,  теңдігіне келеміз. Үшінші ретті дифференциал  -те және одан жоғары ретті басқа дифференциалдар да осы сияқты анықталады. Жалпы функцияның  -ші ретті дифференциалы теңдігі арқылы анықталады.2.5 «Дифференциалданатын функциялар үшін орта мән туралы теоремалар» Ферма теоремасы. Егер  функциясы  кесіндісінде анықталған, әрбір ішкі нүктесінде дифференциалданатын және оның қайсы бір х=с нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса, онда функцияның осы нүктедегі туындысы нөлге тең, яғни  Бұл теореманың геометриялық мәні мынадай: Функцияның ең үлкен не ең кіші мән қабылдайтын нүктелерінде қисыққа жүргізілген жанамалар ОХ өсіне параллель болады. Ролль теоремасы.(бұл теорема Ферма теоремасының салдары) Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз, оның барлық ішкі нүктелерінде дифференциалданатын және кесіндінің шеткі нүктелерінде нөлге айналатын, яғни  болса, онда осы кесіндісінде ең болмағанда бір х=с нүктесі табылып, осы нүктеде функция туындысы нөлге тең болады, яғни Бұл теореманың геометриялық мәні мынадай: Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз, оның барлық ішкі нүктелерінде дифференциалданатын, оған қоса ОХ өсін х=a және x=b нүктелерінде қиып өтетін болса, онда осы екі нүктенің аралығында ең болмағанда бір х=с нүктесі табылып, ол нүктеде жанама ОХ өсіне параллель болады.2.Лагранж теоремасы.(мөлшерлі өсімшелер туралы теорема )Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз, оның барлық ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда кесіндісінде ең болмағанда бір х=с нүктесі табылып, сол нүктеде мына  теңдік орындалады.Бұл теореманың геометриялық мәні мынадай: функция графигінде ең болмағанда бір нүкте табылып, онда жүргізілген жанама доғаның шеткі нүктелерін қосатын хордаға параллель болады. Коши теоремасы.Егер f(x) және  функциялары кесіндісінде үздіксіз, оның барлық ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса және функциясының бұл нүктелердегі мәндері нөлден айрықша болса, онда осы кесінді ішінен қайсы бір х=с нүктесі табылып,  теңдігі орындалатын болады.Бұл теореманың геометриялық мәні мынадай: Бұл формула хорданың бұрыштық коэффициенті мен ішкі нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенттерінің тең екендігін көрсетеді, яғни хорда мен жанаманың параллельдігін көрсетеді. 3. Лопиталь ережесі.Шектер теориясында анықталмағандықтарды ашу туралы айтқанбыз. Енді оларды айқындаудың жаңа, Лопиталь ережесі деп аталатын, ережесін қарастырамыз. Теорема. f(x) және функциялары қайсы бір (a;b) интервалында дифференциалданатын және  болатын функциялар деп ұйғарайық, сонымен бірге, х=с нүктесінде нөлге айналатын болсын. Сонда, егер тиісті шектер бар болса: (1)онда (1) формула бойынша табылған шектерді анықталмағандықты айқындаудың Лопиталь ережесі деп атайды. Егер  болса, онда тиісті шектер бар болғанда: .Ескерту: Лопиталь теоремасы  ,(  ) жағдайы үшін де дұрыс болады.2.6 Лопиталь ережесі бойынша анықталмағандықты ашу. Тейлор формуласы    Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.    |