Комплексті анализ (1). Таырыбы Тізбекті шегі Тексерген Таттибеков Конысбек Сатиевич Орындаан Абдикеримова А. Н. Мат21
 Скачать 2.26 Mb.
|
|
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі Курстық жұмыс Тақырыбы: Тізбектің шегі Тексерген: Таттибеков Конысбек Сатиевич Орындаған: Абдикеримова А.Н. Мат-21 2022 жыл Жоспары: Кіріспе Негізгі бөлім 2.1 Сандық тізбектер. Тізбектің шегі және оның қасиеттері 2.2 «Бір айнымалыдан тәуелді функциялар. Функцияның шегі және оның қасиеттері» 2.3 «Бір айнымалылы функцияның туындысы.» 2.4 Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар» 2.5 «Дифференциалданатын функциялар үшін орта мән туралы теоремалар» 2.6 «Функцияны зерттеудің жалпы жоспары және графикті салу» 2.7«Лопиталь ережесі бойынша анықталмағандықты ашу. Тейлор формуласы» 3. Қорытынды 4. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі Кіріспе «Комплекс айнымалы функциялар» курстық жоба студенттің бұл сабақты меңгергенін айқындайды. Бұл құралда комплекс айнымалы функциялар теориясының негізгі бөлімдері бойынша әртүрлі тақырыптарға есептер шығару әдістері көрсетілген. Есептер толық талданып, қарапайым тілмен баяндалған. «Комплекс айнымалы функциялар» курстық жұмысының жазылу мақсаты - студенттің комплекс айнымалы функциялар теориясының негізін түсінгенін білдіреді. Бұл курстық жұмысты зерттеу объектісі комплекс айнымалы функциялардың негізгі салаларының бірі - бір айнымалыдан тәуелді аналитикалық функцияларға арналған есептер. Табиғаттағы кейбір заңдылықтарды және техникадағы әртүрлі процестерді түсіндіруде осы аналитикалық функциялардың елеулі көмегі бар болғандықтан оларды игеру маңызды. Комплекс айнымалы функциялар теориясы математикалық талдаудың, жоғарғы алгебраның және аналитикалық геометрияның негіздеріне сүйене отырып, функциялық талдау, дифференциалдық теңдеулер және математикалық физика теңдеулерін түсінуде негіз бола алатыны белгілі. Сонымен қатар бұл теория қазіргі замандағы математиканың маңызды салаларының бірі болып табылатын көп айнымалыдан тәуелді комплекс функциялардың негізін қалайды. Сондықтан бұл «Комплекс айнымалы функциялар» курстық жұмысы студентке комплекс айнымалы функциялар теориясының қарапайым жағдайларын түсіндірумен қатар, оның математиканың қазіргі саласында қандай орын алатынын түсінуде алғашқы баспалдақ ретінде ұсынылды. 2.1.Сандық тізбектер. Тізбектің шегі және оның қасиеттері Анықтамасы Реттері өсуіне қарай бүтін сандармен нөмірленген  сандар жиыны тізбек деп аталады. Тізбекті бүтін сандардың функциясы түрінде жазуға болады:  Егер тізбектің әрбір мүшесі алдыңғы мүшесінен үлкен болса, онда сандық тізбек бірсарынды өспелі деп аталады. Мысалы,  Егер тізбектің әрбір мүшесі алдыңғы мүшесінен кіші болса, онда сандық тізбек бірсарынды кемімелі деп аталады. Мысалы:  Сандық тізбек жоғарыдан шенелген деп аталады, егер М саны табылып, кез келген n үшін  .Сандық тізбек төменнен шенелген деп аталады, егер N саны табылып, кез келген n үшін  Егер сандық тізбек төменнен және жоғарыдан шенелген болса, онда ол шенелген деп аталады, Бұл жағдайда М > 0 саны табылып, кез келген n үшін  яғни    Мысалы:  шенелген сандық қатар болады, себебі  2.1.1 Шектер Кез келген  > 0 саны үшін  саны табылып,  саны табылып, болғанда   орындалса, онда А саны сандық тізбектің шегі деп аталады да деп жазылады. Сандық тізбектің тек бір ғана шегі болады. Шегі бар болатын тізбек жинақты тізбек деп, ал шегі болмайтын тізбек жинақсыз тізбек деп аталады. Жинақты болатын тізбектер үшін келесі теңдіктер орындалады:  (1) ; (2) егер  . (3)1. Мысал - Тізбектің шегі туралы анықтаманы пайдалана отырып, жалпы мүшесі болатын тізбектің шегі нөлге тең болатындығын дәлелдеу керек.Шешуі: -ға байланысты болатын  санын анықтаймыз. Кез келген  үшін  немесе  орындалады. Бұл теңсіздіктен  яғни  деп алуға болады.Сонымен, кезкелген  үшін саны табылып,  болғанда теңсіздігі орындалады. Бұл берілген тізбектің шегі нөлге тең болатындығын көрсетеді.Егер натурал сандар жиынының әрбір элементіне сәйкес xn = f(n) саны қойылса, онда сандық тізбектер берілді деп айтады. Сандық тізбекті x1, x2 ,…, xn немесе (xn) деп жазуға болады. x1, x2 ,…, xnсандары тізбектің мүшелері деп аталады: x1 - бірінші мүше, x2 - екінші мүше, xn – n–мүше немесе тізбектің жалпы мүшесі деп аталады. Тізбектің кейбір берілу тәсілдері. Тізбек берілуінің негізгі үш тәсілі бар. 1) Аналитикалық тәсіл – тізбек n – мүшесінің формуласымен беріледі. 2) Рекурренттік тәсіл – қайсы бір номерден бастап тізбектің кез келген мүшесі алдыңғы мүшелері арқылы өрнектеледі. Тізбек берілуінің осы тәсілінде оның бірінші мүшесі мен тізбектің кез келген мүшесін алдыңғы белгілі мүшелері бойынша анықтауға болатындай формуланы атап көрсетеді. 3) Сөзбен берілу тәсілі – тізбектің сипаттаумен берілуі. Мысалы, е санының кемімен алынған ондық жуықтаулары тізбегі беріледі. Анықтама 1. Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында берілген сандық функцияны xn = f(n) айтады. Анықтама 2. Егер xn = c , болса, мұндағы c – нақты сан, онда xn тізбегі тұрақты деп аталады. Анықтама 3. Егер m,MR сандары үшін m ≤ xn ≤ M, орындалатын болса, онда хn тізбегі шенелген деп аталады. xn ≥ m төменнен шенелген, xn ≤ M жоғарыдан шенелген. Барлық төменнен шенелген сандардың ең үлкені дәл төменгі шекара деп inf x арқылы белгіленеді. Барлық жоғарыдан шенелген сандардың ең кішісі дәл жоғарғы шекара деп sup x арқылы белгіленеді. Қатаң түрдегі өспелі және кемімелі. Анықтама 4. xn тізбегі: 1) Егерxn< xn+1 (xn >xn+1) кез келген nN, қатаң түрде өспелі (қатаң түрде кемімелі) болады. 2) Егер xn ≤ xn+1 кез келген nN болса, онда өсетін (кемімейтін) болады. 3) Егер xn ≥ xn+1кез келген nN болса, онда кемитін (өспейтін) болады. Анықтама 5. Егер ол не өспелі не кемімелі тізбек болса, онда хn тізбегі монотонды деп аталады. Анықтама 6.Егер кез келген ε >0 оң саны барлық nN() үшін теңсіздігін қанағаттандыратын N()>0 саны табылса, онда хn тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол а санына тең болады және ол мына түрде жазылады: . Шегі бар тізбекті жинақты деп атайды, ал шегі жоқ тізбектер жинақсыз деп аталады. 2.2 «Бір айнымалыдан тәуелді функциялар. Функцияның шегі және оның қасиеттері» Айталық X және Y бос емес екі жиындары берілсін. Егер әрбір Х жиынындағы x элементі үшін берілген ереже бойынша Y жиынының тек жалғыз y элементі сәйкес қойылса, онда X жиынында мәндержиыны Y жиынында болатын функция берілді дейді және оны былай жазады f: X → Y , мұндағы X – функцияның анықталу облысы деп аталады. Егер y x – ке байланысты функция болса, онда оны y = f(x) түрінде жазады. f функциясының анықталу облысы D(f) арқылы, ал мәндер жиыны E(f) арқылы белгіленеді. х аргументін тәуелсіз айнымалы, y функциясын – тәуелді айнымалы, x және y – тің арасындағы сәйкестік функционалды тәуелділікті береді. f(x) функцияның анықталу облысы дегеніміз функция анықталатындай және нақты санмен өрнектелетін х аргументінің барлық нақты мәндерінің жиынтығын айтамыз. Кейбір функциялардың анықталу облысын табудың ерекшілігін айта кетейік: 1. Бөлшек функциялардың анықталу облысын тапқанда бөлімі нөлге айналатын аргументтің мәндерін алып тастау керек. 2. Егер функция жұп дәрежелі түбір түрінде берілсе, онда ол функцияның анықталу облысы тек түбір астындағы өрнектің мәні теріс болмайтын мәндерден тұрады. 3. Егер функция логарифмдік болса, онда оның анықталу облысы тек оң сандардан тұрады. 4. Егер функция кері тригонометриялық (arcsinx, arccosx) болса, онда оның анықталу облысына модулі жағынан бір санынан аспайтын мәндер кіреді. Егер анықталу және мәндер облысы сандық жиындар болса, онда функция сандық деп аталады. Функцияның берілу тәсілдері әр түрлі болуы мүмкін: функция аналитикалық, графиктік және кесте түрінде, сөзбен сипаттау арқылы берілуі мүмкін. Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсіл – аргументтің берілген мәніне сәйкес келетін функция мәнін табу үшін қандай амалдар қолдану керектігін көрсететін формулалар болып табылады. Функцияны аналитикалық тәсілмен өрнектейтін формулалар біреу немесе бірнешеу болуы мүмкін. Ескерту. Бірдей формула арқылы берілген функцияны теңестіруге болмайды. Мысалы, y = x2, x(-∞;∞) және y = x2, x[2;4] y = x2бірдей формуласымен өрнектелген функциялар әр түрлі, себебі, олардың анықталу облыстары әртүрлі. Графиктік тәсіл. Функция график арқылы берілуі мүмкін. Функцияның графигі функция қасиеттерінің көрінісін береді. y = f(x) сандық функцияның графигі дегеніміз, нүктенің абсциссасы функцияның анықталу облысында жататын, ал ординатасы функцияның сәйкес мәніне тең жазықтықтағы (x, f(x)) координатты нүктелер жиынын айтады. Функцияның графиктік түрде берілуі тәсілі функцияны аналитикалық түрде беру мүмкін емес болғанда ыңғайлы. Кестелік тәсіл. Практикада функцияның кестелік берілу тәсілі жиі пайдаланады. Бұл тәсілде аргументтің белгілі мәндеріне сәйкес функцияның мәндері көрсетілген кесте келтіріледі. Көп жағдайларда функцияның тваблицалық түрде берілуі қолайлы болады. Егер функциялардың анықталу облыстары беттессе және аргументтің бірдей мәнінде функцияның мәндері де бірдей болса, онда екі функцияны тең дейді. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген x үшін f(-x) = f(x) теңдігі орындалатын болса, онда y = f(x) онда функциясы жұп функция деп аталады. Жұп функциялардың графигі ординаталар осіне қатысты симметриялы болады. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген x үшін f(-x)=-f(x) орындалатын болса, онда y=f(x) функциясы тақ функция деп аталады. Тақ функцияның графигі бас нүктеге қатысты симметриялы. Егер кез келген x2,x1(а,в)R, x2>x1 үшін f(x2) >f(x1) болса, онда y = f(x) функциясы анықталу облысына тиісті болатын (a,b) интервалда өспелі функция деп аталады. Егер кез келген x2,x1(а,в)R, x2>x1 үшін f(x2) Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген x үшін f(x T) = f(x) болатындай нөлден өзгеше T оң саны бар болса, онда y = f(x) функциясы периодты функция деп аталады. Егер y = f(u), uU, u =g(x), ал xX болса, яғни g(x) функциясының мәндер жиыны f(u) функциясының анықталу облысының ішкі жиыны болса, онда y функциясы айнымалы x бойынша күрделі функция деп аталады және оны былай жазады: y = f(u), u = g(x) немесе y = f(g(x)) Күрделі функцияның анықталу облысы – ол y =f(u) функциясының U анықталу облысына тиісті u мәндеріне сәйкес барлық x X мәндерінің жиынын айтады. Егер функция f(x,y) = 0 теңдеуімен берілсе, немесе y – ке қатысты шешілмеген болса, онда ол аргумент x – ке қатысты айқындалмаған функция деп аталады. Айталық y = f(x) қандай да бір функциясы, яғни D(f) және E(f) жиындары арасындағы сәйкестік берілсін. Егер кері сәйкестікті тұрғызсақ, яғни әрбір yE(f) мәніне жалғыз ғана xD(f) мәні сәйкес келсе, онда оны f(x) функциясына қарағанда кері функция деп аталады. Бұл жағдайда y = f(x) функциясына кері функцияны x = g(y) деп жазады, y = f(x) болғанда x аргумент, ал y функция, ал x = g(y) болғанда y аргумент, ал x функция болып саналады. Егер g функциясы f функциясына қатысты кері функция болса, ал f функциясы g қатысты кері болса, онда бұл екі функциялары өзара кері болады.         |