Исследовательская работа. Тема 1 системы линейных уравнений, метод гаусса
 Скачать 425.38 Kb.
|
|
ТЕМА 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, МЕТОД ГАУССА Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений: = + + + = + + + = + + + ; ; 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1) Здесь ij a – коэффициенты пpи неизвестных n x x x ,..., , 2 1 ; i b – свободные члены. Коэффициент ij a стоит в i-м уравнении пpи неизвестном j x . Единственный индекс свободного члена i b совпадает с номером уравнения. Таблицу m mn m m n n b b b a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 составленную из коэффициентов системы, будем называть расширенной матрицей системы (1). Определение.Упорядоченный набор чисел ( n k k k , , , 3 1 ) называют решением системы (1), если каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены неизвестных j x соответственно числами n j k j , , 2 , 1 , = Определение.Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, не имеющая решений – несовместной. Если решений более одного, то систему называют неопределенной, если же решение ровно одно, тогда систему называют определенной. Теорема. Если система линейных уравнений имеет хотя бы два различных решения, то эта система имеет бесконечное множество различных решений. Таким образом, с учетом теоремы, получаем, что система линейных уравнений либо не имеет ни одного решения, либо имеет ровно одно решение, либо имеет бесконечное множество решений. Определение.Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны 0. Очевидно, система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как обладает, по крайней мере, нулевым решением (0,0,…,0). Определение.Эквивалентными называют такие системы линейных уравнений, множества решений которых совпадают. Определение. Говорят, что система линейных уравнений (или ее матрица) имеет ступенчатый вид, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) если одна из строк матрицы полностью состоит из нулей, то и все последующие строки состоят из нулей; 2) если в некоторой i -ой строке первый ненулевой слева элемент стоит в j -м столбце, то во всех строках, начиная с ( 1 + i )-й, все элементы в столбцах с первого по j -й – нулевые. Элементарные преобразования систем линейных уравнений: 1) перестановка двух уравнений местами; 2) умножение одного из уравнений на любое ненулевое число; 3) прибавление к одному из уравнений другого, умноженного на любое число. Теорема.Если к системе линейных уравнений применить конечное число элементарных преобразований, то получим систему, эквивалентную первоначальной. Метод Гаусса (или же метод последовательного исключения неизвестных) позволяет привести произвольную систему линейных уравнений с n неизвестными к ступенчатому виду. Теорема.Любую систему линейных уравнений с помощью конечного числа элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду системы уравнений (матрицы системы). Доказательство этой теоремы представляет собой метод Гаусса приведения системы линейных уравнений (матрицы) к ступенчатому виду: рассматриваем первый столбец матрицы: существует элемент, не равный 0 (иначе бы система линейных уравнений просто не зависела бы от первой переменной); пусть в первом столбце i -й строке найдется ненулевой элемент 1 i a . Поменяем местами первую строку с i -й; к каждой k -той строке ) 2 ( k прибавляем первую, умноженную на 1 1 k i a a − В результате таких преобразований все элементы 1-го столбца, начиная со второй строки станут равными нулю. Таким образом, мы исключили из всех уравнений, кроме первого, переменную 1 x Далее следует повторить данный алгоритм для вновь полученной системы уравнений (кроме первого уравнения), которая уже не будет содержать первую переменную. При этом первое уравнение уже не меняем при каждом следующем преобразовании системы. После того, как из системы со 2-го по последнее уравнение исключена следующая переменная, следует повторить данный алгоритм для вновь полученной системы уравнений (кроме первого и второго уравнения). При этом первое и второе уравнения уже не меняем при каждом следующем преобразовании системы. Таким образом, за конечное число шагов (т. к. количество переменных – конечно), приведем систему линейных уравнений (или ее матрицу) к ступенчатому виду. Теорема доказана. Рассмотрим теперь ситуации, которые могут возникнуть в процессе применения метода Гаусса. Если в процессе приведения системы линейных уравнений к ступенчатому виду на любом этапе возникло уравнение вида 1 2 0 0 ... 0 , 0 n i i x x x b b + + + = , то, очевидно, система линейных уравнений решений не имеет, т. к. такое уравнение ни при каких значениях переменных не обратится в верное равенство. На этом процесс отыскания решений заканчивается. Если в процессе приведения системы линейных уравнений к ступенчатому виду на любом этапе возникло уравнение вида 1 2 0 0 ... 0 0 n x x x + + + = , то, очевидно, такое уравнение можно отбросить, т. к. оно является тождеством и на множество решений системы не влияет. Если в процессе приведения системы линейных уравнений к ступенчатому виду не возникло ни одного уравнения вида 1 2 0 0 ... 0 , 0 n i i x x x b b + + + = , то, система линейных уравнений будет иметь решения (будет совместной), одно или бесконечное множество. После приведения такой системы к ступенчатому виду количество k ненулевых уравнений системы будет не больше количества переменных n. При n k = система будет иметь ровно одно решение (определенная система), при n k система будет иметь бесконечное множество решений (неопределенная система). Действительно, при n k = из каждого уравнения сможем найти ровно одну переменную: из последнего уравнения (содержит ровно одну переменную) получим вполне определенное значение n x , подставим найденное значение в предпоследнее уравнение (содержит две переменных) и найдем однозначное значение для 1 − n x . Так, продвигаясь от последнего уравнения к первому, из каждого уравнения найдем по одной все переменные, получим единственное решение. При n k из k уравнений возможно выразить только k переменных через остальные n-k переменных. Так же, продвигаясь от последнего уравнения к первому, из каждого уравнения выразим по одной переменной. При этом выражать лучше переменную с наименьшим номером с ненулевым коэффициентом. Выраженные переменные называются зависимыми, а те n-k переменных, через которые выражены зависимые, называются независимыми или свободными переменными. Все из бесконечного множества решений при этом записываются при помощи свободных переменных, которые принимают любые числовые значения. Запись, отражающая все решения неопределенной системы, называется общим решением этой системы. Если в такой записи свободным переменным придать конкретные числовые значения, то получится одно конкретное решение из бесконечного множества. Такое конкретное решение называется частным решением данной системы. Пример. Решить систему методом Гаусса: x y z t x y z t x y z t x y z t + + + = + − − = + + + = + + + = 1 2 0 4 3 2 7 5 3 , , , Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 3 1 1 7 5 1 0 2 3 1 1 1 1 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 6 4 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 − − → − − − → − − − Здесь сначала к каждой строке, начиная со второй, прибавили первую, умноженную на (-1). Потом к третьей строке прибавили вторую и к четвертой строке прибавили вторую, умноженную на 2. Получили ступенчатый вид. Последней матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида: x y z t z t + + + = − − = − 1 3 2 1 , Эта система является совместной и неопределенной. Из последнего уравнения полученной системы выражаем z через переменную t : z t = − 1 2 3 и подставляем в первое уравнение, в результате чего будем иметь: 1 1 3 t x y + + + = , откуда x y t = − − 2 3 3 . Получили выражения неизвестных x и z через так называемые свободные неизвестные y и t : x y t z t = − − = − 2 3 1 3 1 3 2 3 ; Эти равенства, где y и t –любые числа, называют общим решением системы. Давая свободным неизвестным произвольные значения в общем решении, получим все решения неопределенной системы. Например, при 2 ; 1 = = t y будем иметь 1 ; 1 − = − = z x , т. е. получим частное решение 2 ; 1 ; 1 ; 1 = − = = − = t z y x Ответ: 2 1 1 2 ( ; ; ; ), 3 3 3 3 y t y t t y,t R . ТЕМА 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ) К определителю (детерминанту) 2-го порядка приходим, решая систему a x a x b a x a x b 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 + = + = , Обозначим = = − a a a a a a a a 11 12 21 22 11 22 21 12 – определитель данной системы. Согласно правилу Крамера, если 0 , то система линейных уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам: x x 1 1 2 2 = = , , где определители 1 1 12 2 22 2 11 1 22 2 = = b a b a a b a b ; получаются из определителя заменой соответственно 1-го или 2-го столбцов столбцом свободных членов. Аналогично вводится понятие определителя 3-го порядка: = = + + − − − a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 По правилу Кpамеpа при 0 получим единственное решение системы a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 + + = + + = + + = , , Если 1 1 2 3 1 2 3 0, , , x x x = = = . Здесь определители i (i =1,2,3) получаются из определителя заменой его i -го столбца на столбец свободных членов. Пример. Решить систему уравнений с параметром a: ax y x ay + = + = 1 1 , Решение. Определитель данной системы линейных уравнений a a 1 1 = a a a 2 1 1 1 − = − + ( )( ) обращается в нуль при a =1 и при a = –1, поэтому при всех других значениях параметра a решение будет единственно и может быть получено по правилу Крамера: x a a = = − 1 1 1 1 , y a a = = − 1 1 1 1 , x y a a a a = = − − + = + 1 1 1 1 1 ( )( ) Если a =1, то имеем систему из двух одинаковых уравнений x + y = 1, откуда получим общее решение x = 1–y. Если a = –1, то имеем систему − + = − = x y x y 1 1 , Прибавим ко второму уравнению первое, получим 0 = 2, следовательно, система несовместна. Ответ: при ( ; 1) ( 1;1) (1; ) a 1 1 ( ; ) 1 1 a a ; при a =1 (у; 1–y), где y R ; при a = –1 система несовместна. Прежде, чем переходить к определению детерминанта произвольного порядка, необходимы некоторые сведения о перестановках и подстановках. Определение и свойства детерминанта произвольного порядка Определение. Рассмотрим квадратную ( n n )-матрицу 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = Определителем (детерминантом) матрицы А называется число, которое вычисляется как алгебраическая сумма n слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение каждого элемента 1 j a первой строки матрицы А на определитель ( 1) ( 1) n n − − -матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j- го столбца, в котором расположен элемент 1 j a . При этом знаки слагаемых чередуются, начиная с первого «+». Обозначения для определителя матрицы А: 11 12 1 21 22 2 1 2 det n n n n nn a a a a a a A A a a a = = Например: 21 12 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a − = , 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 31 33 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − + , 11 12 13 14 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 21 22 23 24 11 32 33 34 12 31 33 34 13 31 32 34 14 31 32 33 31 32 33 34 42 43 44 41 43 44 41 42 44 41 42 43 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − + − Определение.Транспонированием матрицы А называется такое ее преобразование, в результате которого ее строки записывают столбцами в том же порядке, т.е. после транспонирования матрицы А получим матрицу 11 21 1 12 22 2 1 2 n n t n n nn a a a a a a A a a a = Например, если 1 2 3 1 4 6 4 0 5 , то 2 0 7 6 7 8 3 5 8 t A A − − = − = − − − Свойства определителей (детерминантов) 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Замечание. Доказанное свойство дает возможность утверждать, что все свойства или теоремы для определителя, сформулированные для строк матрицы, будут иметь место и в формулировке для столбцов. 2. Если матрица содержит хотя бы одну нулевую строку, то ее определитель равен 0. 3. Если в матрице поменять местами две строки (не обязательно рядом стоящие), то ее определитель изменит свой знак на противоположный, не меняя при этом своего абсолютного значения. 4. Если матрица содержит хотя бы две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на некоторое число k , то определитель этой матрицы умножится на k , т.е. общий множитель всех элементов некоторой строки матрицы можно вынести за знак ее определителя. 6. Если матрица содержит хотя бы две пропорциональные строки, то ее определитель равен нулю. 7. Если все элементы i -й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых j j ij c b a + = , n j ,...., 1 = , то ее определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, – такие же, как и в исходном определителе, а i -я строка в одном из слагаемых состоит из элементов j b , а в другом – из элементов j c . 8. Если к элементам одной строки матрицы прибавить соответственные элементы другой ее строки, умноженные на одно и то же число, то определитель матрицы при этом не изменится. 9. Если одна из строк определителя совпадает с линейной комбинацией его других строк (суммой произведений других строк на некоторые числа), то определитель равен нулю. Миноры и алгебраические дополнения Определение.Если в ( n n )-матрице выбрать произвольно k строк и k столбцов ( 1 k n ), то все ее элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, в свою очередь составляют ( k k )-матрицу, определитель М которой называется минором k -го порядка. Если вычеркнуть выбранные строки и столбцы матрицы, то все оставшиеся не вычеркнутыми элементы, составляют ( ( ) ( ) n k n k − − )-матрицу, определитель которой M называется дополнительным минором к данному минору М. Произведение ( 1) s M − , где s – сумма номеров всех выбранных (вычеркнутых) строк и столбцов, называется алгебраическим дополнением к минору М. Т. е. алгебраическое дополнение от дополнительного минора может отличаться только знаком. Пример. Рассмотрим определитель ( 5 5 )-матрицы А и выберем в нем 2-ю и 5- ю строки, 1-й и 3-й столбцы. На пересечении выбранных строк и столбцов располагаются элементы, которые составляют минор 2-го порядка: 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 21 23 31 32 33 34 35 51 53 41 42 43 44 45 51 52 53 54 55 , a a a a a a a a a a a a A a a a a a M a a a a a a a a a a a a = = , дополнительным минором к этому минору М будет определитель 12 14 15 32 34 35 42 44 45 a a a M a a a a a a = , а алгебраическим дополнением к минору М является произведение 12 14 15 32 34 35 42 44 4 1 5 2 5 3 ( 1) a a a M a a a a a a + + + − = − Замечание. Обращаем внимание, что минор, дополнительный минор и алгебраическое дополнение являются числами, но не матрицами. Терема (Лапласа). Если в ( n n )-матрице А выбрать произвольно k строк (1 ) k n , то ее определитель равен сумме произведений всевозможных миноров k - го порядка, построенных на выбранных строках, на их алгебраические дополнения. Теорема (о разложении определителя по строке). Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки матрицы на их алгебраические дополнения. Доказательство. Если в теореме Лапласа положить k =1, получим утверждение данной теоремы. Замечание. Согласно свойству 1 определителей, все теоремы этой лекции, сформулированные для строк матрицы, будут верными и в формулировке для столбцов. Более того, по свойству 1 определителей, все свойства 2-9, сформулированные для строк матрицы, будут верными и в формулировке для столбцов. Свойства определителя и теорема Лапласа необходимы при вычислении определителей высоких порядков! Правило Крамера Пусть дана квадратная система уравнений 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ; ; ; n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = ее определитель имеет вид: nn nj n n j n j a a a a a a a a a d 1 2 2 21 1 1 11 = Обозначим через i d – определитель, получающегося из определителя d заменой его i -го столбца столбцом свободных членов n b b b ,..., , 2 1 : 11 1 1 21 2 2 1 n n i n n nn a b a a b a d a b a = Теорема (правило Крамера). Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, обладает решением, и притом только одним. Это решение можно найти по формулам: 1 1 2 2 ; ; n n d x d d x d d x d = = = ТЕМА 3 АЛГЕБРА МАТРИЦ Определение. Матрицей будем называть прямоугольную таблицу, составленную из чисел (применялась ранее, например, для упрощения записи системы линейных уравнений). Подобно тому, как операции над числами открывают неограниченные возможности в использовании числовых систем, введение операций над матрицами сделало матричный аппарат одним из самых мощных средств, используемых во всех областях математики. На первом этапе ограничимся изучением матриц с числовыми элементами. Две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы попарно равны: т. е. если 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = (в короткой записи ) ( ij a A = ) – данная ( ) m n -матрица (содержит m строк и n столбцов), 11 12 1 21 22 2 1 2 s s p p ps b b b b b b B b b b = (в короткой записи ( ) kl B b = ) – ( ) p s -матрица, то B A = тогда и только тогда, когда одновременно s n p m = = , и n j m i b a ij ij , 1 ; , 1 , = = = Операции сложения матриц и умножения матриц на число определяются таким образом: если ) ( ), ( ij ij b B a A = = – данные ) ( n m -матрицы, k – число, то ), ( ), ( ij ij ij ka k A A k b a B A = = + = + n j m i , 1 ; , 1 = = Например: 1 2 5 4 0 8 3 2 3 0 7 3 5 2 1 5 9 4 − − − + = − − − ; 4 1 3 8 2 6 ( 2) 3 2 1 6 4 2 − − − − = − − − Одним из примеров сложения матриц и умножения их на число являются операции на координатных строках геометрических векторов. Известно, что при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр, а при сложении двух векторов его соответствующие координаты складываются. Взаимно однозначное соответствие, существующее между векторами и упорядоченными последовательностями их координат, позволяет сопоставить каждому вектору x матрицу-столбец его координат 3 2 1 x x x . Это соответствие не нарушается при сложении векторов и при умножении вектора на число. Свойства операций сложения матриц и умножения матриц на число (здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров, , – произвольные числа): 1) коммутативность сложения: А+В=В+А; 2) ассоциативность сложения: А+(В+С)=(А+В)+С; 3) существование нулевой матрицы О такой, что А+О=А; 4) существование матрицы –А, противоположной к матрице А, такой что (–А)+А=О; 5) ( ) ( ) A A = ; 6) ( ) ( ) ( ) A A A + = + ; 7) ( ) ( ) ( ) A B A B + = + ; 8) 1 A A = Так как сложение матриц и умножение матриц на число выполняются поэлементно, то, очевидно, для этих операций будут иметь место привычные свойства сложения и умножения чисел. На самом деле, свойства 1-8 – очевидны, вытекают из определения операций на матрицах. Отдельно стоит остановиться только на свойствах 3-4. Доказательством свойства 3 является отыскание матрицы 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 O = , а доказательством свойства 4 – отыскание матрицы 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a − − − − − − − = − − − , противоположной к матрице 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = Одним из примеров сложения матриц и умножения их на число являются операции на координатных строках геометрических векторов. Известно, что при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр, а при сложении двух векторов его соответствующие координаты складываются. Взаимно однозначное соответствие, существующее между векторами и упорядоченными последовательностями их координат, позволяет сопоставить каждому вектору x матрицу-столбец его координат 3 2 1 x x x . Это соответствие не нарушается при сложении векторов и при умножении вектора на число. Умножение матриц определяется так: если ) ( ) ( n m a A ij − = -матрица, ) ( ) ( p n b B ij − = -матрица, то их произведение ) ( ij c C B A = = будет ) ( p m -матрицей, причем = + + + = = n k nj in j i j i kj ik ij b a b a b a b a c 1 2 2 1 1 , n j m i , 1 ; , 1 = = Проиллюстрируем умножение матриц. Если a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 21 22 31 32 41 42 11 12 21 22 31 32 = , то, например, 42 34 32 33 22 32 12 31 32 b a b a b a b a c + + + = Пример. Вычислить произведение АВ матриц A B = − = − 1 2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 0 3 1 1 2 1 ; Решение. A B = − − = 1 2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 0 3 1 1 2 1 = + − + + + + + + + + − + − + + − + + + − + + + = − 1 1 2 2 3 0 4 1 1 2 2 1 3 3 4 2 1 3 2 4 3 1 4 1 1 1 2 2 3 0 2 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 3 2 4 3 1 2 1 1 21 18 3 13 10 ( ) ( ) Произведение же BA получить нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А. Ответ: 1 21 18 3 13 10 Важный пример последовательного применения двух линейных преобразований координат точки ) , ( y x M на плоскости при повороте прямоугольной декартовой системы координат сначала на угол : = + = + = − = + x x y x a y a y y x x a y a cos sin cos sin , 11 12 21 22 затем на угол : = + = + = − = + x x y x b y b y y x x b y b cos sin cos sin 11 12 21 22 указывает на целесообразность данного нами определения умножения матриц. В самом деле, первому повороту системы координат соответствует матрица A a ij = = − ( ) cos sin sin cos , второму – матрица B b ij = = − ( ) cos sin sin cos Матрица C c ij = ( ) , соответствующая повороту на угол + , равна A B a b a b a b a b a b a b a b a b = + + + + = + + − + + 11 11 12 21 11 12 12 21 21 11 22 21 21 12 22 22 cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) Свойства операции умножения матриц 1. Умножение матриц не коммутативно, т. е., вообще говоря, A B B A 2. Умножение матриц ассоциативно, т.е. (АВ)С=А(ВС). 3. Существует единичная матрица Е такая, что АЕ=ЕА=А для всякой матрицы А. Действительно, такой матрицей является 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = 4. Умножение любой матрицы A на скалярную 0 0 0 0 0 0 b b b , у которой на главной диагонали стоит число b , равносильно умножению каждого элемента матрицы A на число b 5. Сложение квадратных матриц и их умножение связаны законом дистрибутивности: ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) A B C A B A C B C A B A C A + = + + = + Определение. Обратную матрицу можно определить как такую матрицу 1 A − , которая для заданной квадратной матрицы A удовлетворяет условиям 1 1 A A A A E − − = = . Теорема. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для квадратной матрицы A является ее невырожденность (т. е. определитель матрицы А должен быть отличен от 0). В учебниках можно увидеть доказательство того, что A A A − = 1 1 , где A – присоединенная матрица к матрице A . Если A a a a a a a a a a n n n n nn = 11 12 1 21 22 2 1 2 , то A A A A A A A A A A n n n n nn = 11 21 1 12 22 2 1 2 Здесь ij A – алгебраическое дополнение к элементу ij a матрицы A , которое является произведением знака j i+ − ) 1 ( и дополнительного к элементу матрицы минора (определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием i-той строки и j- того столбца). Нужно обратить внимание на то, что алгебраические дополнения для столбцов матрицы A становятся строками матрицы A Пример. Пусть A = − − − − 3 2 1 2 5 3 3 4 2 , найти A −1 Решение. Так как 0 9 = A , то 1 − A существует. Последовательно находим: A A A A A A A A A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 2 13 23 0 9 18 1 7 11 = − = − = = = − = = − = = − , , , , , , Следовательно, A − = − − − − − 1 1 9 2 0 1 13 9 7 23 18 11 Проверкой убеждаемся, что = −1 A A Ответ: A − = − − − − − 1 1 9 2 0 1 13 9 7 23 18 11 |