конспект по центральным силам. Тема_3. Тема Движение под действием центральной силы
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
Тема 9. Движение под действием центральной силы. Линия действия силы – прямая, на которой расположен вектор силы. Центральная сила – сила, линия действия которой все время проходит через некоторую неподвижную точку пространства, в которой размещен так называемый центр силы. Если не оговорено противное, всегда будем помещать начало системы координат в центр силы. Тогда по определению для вектора центральной силы верно ( , ) ( , ) t F t r r F r r . Тогда r F 0 и, следовательно, в соответствии с законом сохранения момента импульса материальной точки (см. Тему 8) 0 0 0 m const m M r v M r v , то есть момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Это дает три независимых первых интеграла движения (в некоторых книгах ошибочно написано, что лишь две из компонент момента импульса являются независимыми первыми интегралами движения; легко убедиться, что это не так, воспользовавшись математическим критерием функциональной независимости функций). Перечислим наиболее важные свойства движения под действием центральной силы. 1) Точка движется в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы. Доказательство: рассмотрим скалярное произведение rM радиус- вектора материальной точки и вектора момента импульса. Оно всегда тождественно равно нулю: ( ) 0 m r M r r v , это равенство тривиально и не имеет глубокого смысла. Однако для движения в центральном поле выполняется 0 M M . Подставляя это равенство в предыдущую формулу получим результат с совершенно новым содержанием: 0 0 r M – это уравнение плоскости, проходящей через начало координат. Вектор 0 M M задает нормаль к плоскости движения материальной точки. Заметим, что функция 0 r M , задающая уравнение плоскости, представляет собой второй интеграл движения для задачи о движении точки под действием центральной силы. Направим ось z вдоль вектора 0 M , а соответственно оси x и y – в плоскости движения. Вводим цилиндрическую систему координат, в плоскости движения фактически вводим полярные координаты , . Тогда запишем 0 0 z z M M M e M e , 2 0 ( ) 0 z z z M m m z m M z e e e r v 2) Из последнего равенства следует, что угол материальной точки во введенной цилиндрической системе координат может изменяться только монотонно. В самом деле, получается, что 0 2 M m , и потому не меняет знак в процессе движения. Тема 10. Движение в центрально-симметричном поле. Центрально-симметричная сила – это центральная сила, величина которой зависит только от расстояния до центра силы: ( ) ( ) F r r r F r (напомним, что начало системы координат мы помещаем в центр силы, так что сферическая координата r – расстояние до центра силы). Можно показать, что такая сила удовлетворяет условию rot ( ) F r 0 (достаточно вспомнить, как вычисляется ротор в сферической системе координат) в любой точке пространства r и, следовательно, является потенциальной. Заметим, что можно было определить центрально-симметричную силу как стационарную потенциальную центральную силу и отсюда вывести, что ее величина зависит только от r . Заметим также, что в некоторых книгах, в частности, в классическом учебнике И.И. Ольховского центрально- симметричную силу называют просто центральной; мы же в нашем курсе разделяем эти два понятия – см. Тему 9. Таким образом, существует сферически-симметричная потенциальная энергия ( ) U r , а сила может быть вычислена в сферических координатах как 1 1 ( ) grad ( ) sin r U U U U r r r r F r e e e Таким образом, движение под действием центрально-симметричной силы можно называть движением в центрально-симметричном поле, как и было сделано в заголовке данной темы. Поскольку потенциальная сила в данной задаче стационарна, а диссипативных сил нет, то сохраняется механическая энергия материальной точки (см. Тему 5): 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 2 mv mv E U r const E U r Кроме того, сохраняются все установленные в Теме 9 свойства движения под действием центральной силы, в частности, движение совершается в плоскости, проходящей через начало координат, нормаль к которой задается вектором момента импульса (который также сохраняется). Записав в левой части последнего равенства квадрат скорости в полярных координатах, введенных в плоскости движения, и подставив затем 0 2 M m (см. Тему 9), получим закон движения (в квадратурах): 2 2 2 0 0 2 4 2 ( ) M E U m m , 2 0 0 2 2 2 ( ) d M E U dt m m , 1 0 2 ( ) eff m d t C E U , 2 0 2 ( ) ( ) 2 eff M U U m Знак «+» отвечает удалению от центра силы, знак « » – приближению к нему. Найденный закон движения с математической точки зрения похож на закон движения в одномерном потенциальном поле (см. Тему 6); частица может находиться там, где 0 ( ) eff E U . Однако вместо точек остановки здесь имеются «точки поворота», в которых 0 ( ) eff E U и 0 . При прохождении точки поворота приближение к центру силы сменяется удалением (или наоборот). Так что определенный знак в приведенных выше формулах работает до ближайшей точки поворота, затем его в формулах нужно заменить на противоположный (и применять его до следующей точки поворота, если она существует – и так далее). Как и Теме 6, в данной задаче также можно говорить о финитном движении – движении в ограниченной области пространства (однако это движение уже не является в общем случае периодическим, см. ниже), и инфинитном движении, когда точка со временем уходит бесконечно далеко от центра силы. Поделив равенство 2 0 2 d M dt m на полученное выше равенство для d dt , получим также уравнение траектории в плоскости движения (в квадратурах): 0 2 0 2 ( ) eff d M d m E U m , 0 2 2 0 2 ( ) eff M d m C E U m Постоянные 1 C , 2 C при необходимости могут быть найдены из начальных условий. Заметим, что если удается найти явно ( ) t , то можно получить зависимость от времени и для полярного угла ( ) t : 0 2 ( ) M d dt m t , 0 3 2 ( ) M dt C m t Таким образом, не решая и даже не записывая уравнения движения, с помощью первых и вторых интегралов движения мы решили основную задачу динамики: нашли ( ) t , ( ) t (а следовательно, ( ) t r ). В решение будут входить 6 постоянных из начальных условий – например, 0 E , 0 M , 0 , 0 (возможны и другие наборы шести постоянных). Обратим внимание на следующую замечательную особенность траектории движения точки под действием центрально-симметричной силы: она симметрична относительно апсиды – прямой, проходящей через центр силы и точку поворота. В самом деле, направив ось полярной системы координат на точку поворота (пусть она находится на расстоянии 0 от центра силы), получим для частей траектории, расположенных по две стороны от апсиды: 0 0 2 0 ( ) 2 ( ) eff M d m E U m , то есть примыкающие к точке поворота участки траектории отличаются для одинаковых значений лишь знаком полярного угла. Следовательно, траектория действительно симметрична относительно указанного направления. Замечательно, что это свойство симметрии позволяет построить всю траекторию движения точки, зная лишь участок траектории между двумя апсидами. Для финитного движения материальной точки, ограниченного расстояниями до центра силы min и max , траектория лежит в плоскости движения внутри кольца с указанными радиусами и центром в центре силы. Эта траектория в общем случае не является замкнутой. Выясним условие, при котором траектория является замкнутой. Найдем изменение полярного угла за время изменения расстояния от max до min и обратно: max min 0 2 0 2 2 ( ) eff M d m E U m Ясно, что траектория будет замкнутой, если через целое число таких периодов времени материальная точка окажется в исходном положении, а это означает, что накопившееся изменение полярного угла окажется кратным 2 . Таким образом, должны найтись такие целые числа k и n, что 2 k n (и тогда за n таких периодов времени материальная точка сделает k полных оборотов, и траектория замкнется). Если же не представимо в виде рациональной части от 2 , то траектория не будет замкнутой и будет за бесконечное время заполнять все кольцо между двумя ограничивающими его окружностями. Оказывается, лишь для двух типов центрально-симметричных полей все финитные траектории (при любых начальных условиях) замкнуты: когда потенциальная энергия ( ) U обратно пропорциональна расстоянию до центра силы (так называемая задача Кеплера – см. Тему 11), и когда потенциальная энергия ( ) U пропорциональна квадрату расстояния до центра силы (так называемый пространственный осциллятор). Тема 11. Задача Кеплера. Случай притяжения. Рассмотрим частный случай центрально-симметричного поля, когда потенциальная энергия имеет вид ( ) U , – постоянная. Пусть 0 , что соответствует притяжению к центру силы (важнейшие примеры таких сил – гравитационное притяжение и кулоновское притяжение разноименных зарядов), 2 0 2 ( ) 2 eff M U m . Можно сразу заметить, что, поскольку lim ( ) 0 eff U , только при отрицательной полной механической энергии 0 E будет наблюдаться финитное движение. При 0 0 E имеем инфинитное движение, причем lim v – конечная величина, то есть материальная точка, удаляясь бесконечно далеко от центра силы, продолжает двигаться с ненулевой скоростью. При 0 0 E также имеем инфинитное движение, но lim 0 v Найдем возможные траектории движения точки в задаче Кеплера. Подставим явный вид потенциальной энергии ( ) U в полученное выше уравнение траектории для произвольного центрально-симметричного поля: 0 2 2 0 0 2 1 ( ) 2 1 2 M d m C M E m m Введем параметр орбиты 2 0 0 M p m и эксцентриситет 2 0 0 2 2 1 0 E M m . Выделив под корнем в знаменателе полный квадрат 2 1 1 ( ) p , вычислим получившийся интеграл и получим уравнение траектории в задаче Кеплера в виде 1 cos( ) p c , где с – некоторая постоянная, связанная с начальными условиями. Заметим, что значению c соответствует ближайшая точка траектории к центру силы – так называемый перицентр: min 1 p (при движении вокруг некоторых конкретных космических объектов вместо части слова «-центр» используется название центрального тела: при движении вокруг Солнца говорят «перигелий», при движении вокруг Земли – «перигей» и т. д.). Удобно направить ось полярной системы координат в плоскости движения на перицентр, в дальнейшем будем подразумевать именно такой выбор системы координат – в ней, очевидно, 0 c , и уравнение траектории принимает наиболее простой вид 1 cos p Это уравнение кривой второго порядка, в фокусе которой находится начало координат (центр силы). Тип кривой второго порядка, как известно, зависит от значения эксцентриситета. 1) 1 (что достигается при 0 0 E ): траектория является гиперболой (одной из двух ее ветвей; вторая ветвь соответствует противоположному знаку , то есть отталкиванию от центра силы – см. Тему 12), движение инфинитное, при 0 1 arccos – асимптоты траектории, при бесконечном удалении от начала координат скорость остается конечной. 2) 1 (что достигается при 0 0 E ): траектория является параболой, движение инфинитное, при (асимптот нет), при бесконечном удалении от начала координат, как уже подчеркивалось, скорость стремится к нулю. 3) 0 1 2 0 2 0 0 2 m E M : траектория является эллипсом, движение финитное. Наиболее удаленная от центра силы точка с max 1 p и называется апоцентр (при движении вокруг Солнца говорят «апогелий» или «афелий», при движении вокруг Земли – «апогей» и т. д.). Большая полуось эллипса 2 0 1 2 p a E не зависит от 0 M . Малая полуось эллипса 0 2 0 2 1 p M b m E . Напомним, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек – фокусов эллипса (в одном из которых расположен центр силы) – равна постоянной величине; легко увидеть, что последняя равна 2a , если рассмотреть это условие для перицентра или апоцентра эллипса. 4) 0 2 0 min 2 0 2 eff m E U M : траектория является окружностью. Это предельный случай эллиптической траектории, когда два фокуса эллипса сливаются в одну точку. Для всех точек такой траектории p Отметим, что при 2 во всех случаях расстояние до центра силы равно параметру орбиты: p Установим закон движения материальной точки по эллиптической траектории в задаче Кеплера. Подставив явный вид потенциальной энергии ( ) U в полученный в предыдущей Теме закон движения для произвольного центрально-симметричного поля, получим 1 2 0 0 2 2 1 2 m d t C M E m Сделав замену переменных cos a a и выделив под корнем в знаменателе 2 ( ) a , вычислим интеграл и получим закон движения в параметрической форме: 3 1 (1 cos ), sin sgn(sin ). a ma t C Пусть время отсчитывается от момента прохождения материальной точкой перицентра, так что 0 t при min (1 ) 1 p a . Тогда в момент 0 t имеем 0 , отсюда 1 0 C . Пусть параметр увеличивается с увеличением времени (это наш произвольный выбор, можно было бы выбрать уменьшение , см. также далее). Тогда имеем окончательно 3 (1 cos ), sin a ma t Выясним геометрический смысл параметра При 2 имеем a и 3 2 ma t . При имеем max (1 ) 1 p a , 3 ma t При 3 2 имеем a и 3 3 2 ma t . При 2 имеем min (1 ) a , 3 2 ma t . Отсюда можно сделать вывод, что – угол, под которым видна материальная точка из центра эллипса, отсчитываемый от полярной оси в направлении увеличения полярного угла (если бы выше мы выбрали уменьшение параметра с увеличением времени, то сейчас получили бы что – угол, отсчитываемый в направлении алгебраического уменьшения полярного угла). Заодно мы получили формулу для периода движения по эллиптической траектории в задаче Кеплера: 3 3 0 2 2 ma m T E Отметим, что период не зависит от момента импульса, но зависит от энергии материальной точки. Можно переписать зависимость времени от угла через период: sin 2 T t Применим формулу для периода эллиптического движения к вращению планет вокруг Солнца (масса Солнца C M ). Для любой планеты с массой m имеем, что величина 2 2 2 3 4 4 C T m m a GmM не зависит от массы планеты (G – гравитационная постоянная). Этот результат составляет содержание третьего закона Кеплера: отношение квадрата периода обращения планеты к кубу большой полуоси орбиты для всех планет Солнечной системы одинаково. Поправки к этому закону, обусловленные конечностью массы Солнца, будут рассмотрены в Теме 13. Тема 12. Задача Кеплера. Случай отталкивания. Рассмотрим случай центрально-симметричного поля, когда потенциальная энергия имеет вид ( ) U , 0 , что соответствует отталкиванию от центра силы (пример такой силы – кулоновское отталкивание одноименных зарядов). Эффективная потенциальная энергия 2 0 2 | | ( ) 2 eff M U m в этом случае всегда положительна и монотонно убывает с увеличением расстояния до центра силы. Отсюда следует, что движение в таком поле возможно только с положительной полной механической энергией 0 E , движение при этом инфинитное, причем lim v – конечная величина, то есть материальная точка, удаляясь бесконечно далеко от центра силы, продолжает двигаться с ненулевой скоростью. Найдем траекторию движения точки в данной задаче. Подставим явный вид потенциальной энергии ( ) U в полученное выше уравнение траектории для произвольного центрально-симметричного поля: 0 2 2 0 0 2 1 ( ) 2 | | 1 2 M d m C M E m m Введем параметр орбиты 2 0 0 | | M p m и эксцентриситет 2 0 0 2 2 1 1 E M m (неравенство сразу следует из положительности 0 E ). Выделив под корнем в знаменателе полный квадрат 2 1 1 ( ) p , вычислим получившийся интеграл и получим уравнение траектории в виде 1 cos( ) p c , где с – некоторая постоянная, связанная с начальными условиями. Заметим, что значению c соответствует ближайшая точка траектории к центру силы – перицентр: min 1 p . Вновь направим ось полярной системы координат в плоскости движения на перицентр, тогда 0 c , и уравнение траектории принимает наиболее простой вид 1 cos p Получили уравнение гиперболы (второй ее ветви!), в фокусе которой находится центр силы. Интересно, что можно объединить уравнения траекторий в задачах Кеплера для случаев притяжения и отталкивания в одно: 2 0 , sgn( ) cos | | p M p m Тема 13. Задача двух тел. Под задачей двух тел будем понимать задачу о движении двух взаимодействующих материальных точек в отсутствие внешних сил. Введем обозначение для относительного радиус-вектора материальных точек 12 2 1 r r r . Пусть взаимодействие точек потенциальное, потенциальная энергия взаимодействия – известная функция относительного расстояния между точками 12 r : 12 ( ) U r . Известны также начальные условия: положения 10 r , 20 r и скорости 10 v , 20 v материальных точек в начальный момент времени. Требуется найти закон движения системы – функции 1 ( ) t r , 2 ( ) t r , а также траектории материальных точек. Силы, действующие на материальные точки, можно вычислить через потенциальную энергию их взаимодействия 1 2 12 2 12 2 1 12 1 12 1 2 12 ( ) grad ( ), ( ) grad ( ) ( ). U r U r F r F r F r Индекс у градиента указывает, по координатам какой точки проводится дифференцирование. Подчеркнем, что вектор силы, в отличие от модуля силы, зависит не только от расстояния 12 r , но и от направления вектора 12 r (эти векторы направлены вдоль одного направления). Запишем систему уравнений движения – второй закон Ньютона для материальных точек: 1 1 2 1 12 2 2 1 2 12 ( ), ( ). m m r F r r F r Эти уравнения «зацепляются», поскольку переменные координаты двух точек присутствуют в обоих уравнениях. Уравнения можно «расцепить», если перейти к другим переменным: 1 2 12 ( ), ( ) ( ), ( ) m t t t t r r r r Здесь введен радиус-вектор центра масс системы двух материальных точек 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) m m t m t t m m r r r На рисунке центр масс обозначен точкой О’. Сложив уравнения движения для двух материальных точек, получим: 0 m r Отсюда сразу находится закон движения для центра масс системы: 1 10 2 20 1 10 2 20 0 0 1 2 1 2 ( ) m m m m m m m t v t t m m m m r r v v r r Этот результат был очевиден: в отсутствие внешних сил центр масс любой механической системы движется равномерно и прямолинейно, это следствие закона сохранения импульса (см. также следующую Тему). Отсюда, в частности, следует, что для замкнутой механической системы система отсчета «Центра масс» является инерциальной системой отсчета (на рисунке обозначены оси координат этой системы отсчета – x’, y’, z’). Уравнение на 12 r приведем к виду: 12 1 2 12 2 12 ( ) grad ( ) U r r F r , где 1 2 1 2 m m m m – приведенная масса. Важно, что в правой части берутся производные по координатам конца вектора 12 r , так что это уравнение с математической точки зрения выглядит в точности как второй закон Ньютона, если вектор 12 r интерпретировать как радиус-вектор некоторой воображаемой материальной точки r : ( ) grad ( ) U r r F r Таким образом, формально нам нужно решить задачу о движении воображаемой точки с массой в известном центрально-симметричном поле ( ) U r . Такая точка называется -частицей. Начальные условия для этой задачи: 0 20 10 r r r , 0 20 10 v v v . Общее решение этой задачи всегда может быть получено в квадратурах, соответствующие формулы получены выше в Теме 10. Пусть задача о -частице решена, то есть найден ее закон движения ( ) t r . Тем самым мы фактически нашли закон движения относительного радиус-вектора 12 ( ) t r двух реальных частиц! Найдем теперь сам закон движения реальных частиц. Совершаем обратную замену переменных 12 1 2 ( ), ( ) ( ), ( ) m t t t t r r r r : 2 1 12 1 2 ( ) ( ) ( ) m m t t t m m r r r , 1 2 12 1 2 ( ) ( ) ( ) m m t t t m m r r r Заметим, что вторые слагаемые в правых частях этих формул – это радиус-вектора материальных точек относительно системы отсчета «Центр масс» (на рисунке они обозначены 1 r и 2 r , соответственно). Отсюда следует вывод: в системе отсчета «Центр масс» реальные частицы движутся по такой же траектории, что и -частица в воображаемом пространстве в задаче о - частице, с точностью до коэффициента подобия, причем для первой точки этот коэффициент отрицателен. Из последних формул можно получить также следующий замечательный результат. Поскольку задача о движении -частицы является задачей о движении в центрально-симметричном поле, для -частицы сохраняются в процессе движения ее момент импульса и полная механическая энергия (см. Тему 10). Можно показать, что эти интегралы движения задачи о -частице совпадают с суммарным моментом импульса двух реальных частиц в системе отсчета «Центр масс» и суммарной полной механической энергией двух реальных частиц в системе отсчета «Центр масс», соответственно. Рассмотрим теперь поправки к сформулированному в конце Темы 11 третьему закону Кеплера, обусловленные конечностью массы Солнца. В самом деле, в Теме 11 при рассмотрении вращения некоторой планеты вокруг Солнца мы пользовались общими формулами задачи Кеплера, предполагающими, что центр силы является неподвижным. В реальности же масса Солнца хоть и велика, но все же конечна, и Солнце испытывает влияние гравитационного притяжения со стороны планеты. Так что на самом деле задача о вращении планеты вокруг Солнца – это задача двух тел (влияние остальных планет не учитываем!). Выберем инерциальную систему отсчета, в которой неподвижным является центр масс системы из планеты и Солнца, вращающихся по подобным эллиптическим траекториям вокруг общего центра масс. Периоды обращения по эллиптическим траекториям для планеты, Солнца и -частицы совпадают, так что можно записать 2 2 2 3 4 4 ( ) C T a G m M , C C M a a m M , T T , 2 2 2 2 2 2 3 3 4 ( ) 4 4 1 1 2 C C C C C C T m M m m a G M GM M GM M Если бы масса Солнца была бесконечной, то в правой части мы получили бы просто множитель перед скобкой – результат из Темы 11, не зависящий от массы планеты (третий закон Кеплера). Поскольку же масса Солнца конечна, отношение квадрата периода к кубу большой полуоси орбиты оказывается разным для разных планет, хотя, конечно, отличия эти невелики – например, отношение массы Земли к массе Солнца равно примерно 0.000003, а для Юпитера это отношение равно 0.001. Тема 14. Законы изменения и сохранения импульса, момента импульса и полной механической энергии системы материальных точек Рассмотрим систему из N материальных точек (с постоянными массами). Выделим внутренние силы in i F действующие между точками данной системы, и внешние силы e i F действующие на точки системы со стороны тел, не входящих в систему: in e i i i F F F , 1 N in i j i j j i F F , причем по третьему закону Ньютона i j j i F F и || ( ) i j i j F r r . В пунктах 14.1-14.3 будем рассматривать свободную систему материальных точек. В пункте 14.4 рассмотрим несвободную систему материальных точек, на которую наложены связи. 14.1. Законы изменения и сохранения импульса системы материальных точек Импульсом системы материальных точек с массами i m называется величина 1 1 N N i i i i i m P p v . Найдем закон изменения импульса: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N N N N N N N N in e e e i i i i i i j i i i i i i i i i j i i j i m P p w F F F F F F , где двойная сумма равна нулю в силу третьего закона Ньютона 0 i j j i F F Закон сохранения импульса системы материальных точек: импульс системы материальных точек сохраняется, если сумма внешних сил, действующих на материальные точки системы, равна нулю в любой момент времени. В частности, сохраняется импульс замкнутой системы, не взаимодействующей с телами, не входящими в нее. Центр массы – воображаемая точка, обладающая массой всей системы, положение которой определяется вектором 1 1 N i i i m N i i m m r r Тогда ускорение центра масс есть 1 1 1 N e i i m N N i i i i m m F P w Таким образом, центр масс замкнутой системы движется (в инерциальной системе отсчета) равномерно и прямолинейно. Если проекция суммы внешних сил на некоторую неподвижную ось всегда равна нулю, то проекция импульса системы точек на эту ось сохраняется. Для подвижной оси (например, для оси, направленной вдоль орта криволинейной системы координат) это утверждение неверно. 14.2. Законы изменения и сохранения момента импульса системы материальных точек Моментом импульса системы материальных точек с массами i m называется величина 1 1 1 N N N i i i i i i i i i m M M r p r v . Найдем закон изменения момента импульса: 1 1 1 1 N N N N in e i i i i i i i i i i i i i i i i m m M v v r w r F r F r F Рассмотрим подробно сумму внутренних сил: 1 1 1 , 1 , 1 , N N N N N in i i i j i i j i j i j i j j i i i j i j i j j i i j i j r F r F r F r F r r F , что равно нулю в силу третьего закона Ньютона || ( ) i j i j F r r Получаем закон изменения момента импульса системы материальных точек: 1 1 N N e e i i i i i M r F L . Закон сохранения момента импульса системы материальных точек: момент импульса системы материальных точек сохраняется, если сумма моментов 1 N e i i L внешних сил, действующих на материальные точки системы, равна нулю в любой момент времени. В частности, сохраняется момент импульса замкнутой системы. Если проекция суммы моментов внешних сил 1 N e i i L на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция момента импульса системы точек на эту ось сохраняется. 14.3. Законы изменения и сохранения полной механической энергии системы материальных точек Рассмотрим изменение со временем кинетической энергии системы материальных точек 2 1 1 ( , ) 2 2 N N i i i i i i i m v m T v v : 1 1 ( , ) ( , ) N N i i i i i i i T m w v F v . Выделим среди сил, действующих на материальные точки, потенциальные, гироскопические и диссипативные: p g d i i i i F F F F Потенциальную силу можно представить как минус градиент по координатам соответствующей точки от полной потенциальной энергии системы: grad p i i U F . Полную потенциальную энергию системы материальных точек можно представить в виде суммы потенциальных энергий точек во внешнем потенциальном поле и внутренней потенциальной энергии системы (последняя, очевидно, не может зависеть от времени явно, в отличие от энергии во внешнем поле): 1, 2 1 , N e in i i N i U U t U r r r r Тогда имеем следующие выражения 1 1 ( , ) ( , ) N N p d i i i i i i T F v F v , grad grad p e in i i i i U U F Но заметим, что 1 1 grad +grad , e N N e in i i i i i i i U U U U t v Отсюда получается 1 1 ( , ) e N N d i i i i i U T U t F v Полная механическая энергия системы материальных точек E T U Закон изменения полной механической энергии системы материальных точки при наличии потенциальных, гироскопических и диссипативных сил: 1 1 ( , ) e N N d i i i i i U E t F v Закон сохранения полной механической энергии системы материальных точек: полная механическая энергия системы материальных точек сохраняется, если потенциальная энергия системы во внешних полях не зависит от времени явно, а диссипативные силы отсутствуют. 14.4. Законы изменения и сохранения полной механической энергии системы материальных точек со связями Рассмотрим важное обобщение предыдущего пункта. Рассмотрим систему из N материальных точек, подчиненных k идеальным голономным связям (см. Темы 15 и 16). Результат предыдущего пункта может быть непосредственно обобщен на этот случай, если включить силы реакции связей ( ) i t R в число сил, действующих на материальные точки: 1 1 1 ( , ) ( , ) e N N N d i i i i i i i i U E t F v R v Как показано в Теме 17, для системы с идеальными голономными связями силы реакции связей могут быть выражены через некоторые скалярные функции ( ) t (число которых равно числу наложенных связей: 1, k ) и градиенты функций, задающих уравнения связей 1 ( ,... , ) 0 N f t r r : 1 ( ) ( ) k i i t t f R , 1, i N Учитывая, что 1 0 N i i i f df f d dt t r , получим для мощности сил реакции связей 1 1 ( , ) ( ) N k i i i f t t R v . Тогда получим следующую форму закона изменения полной механической энергии системы материальных точек со связями: 1 1 1 ( , ) ( ) e N N k d i i i i i U f E t t t F v Отсюда следует закон сохранения полной механической энергии системы материальных точек со связями. Полная механическая энергия системы материальных точек со связями сохраняется, если: 1) потенциальная энергия системы во внешних полях не зависит от времени явно; 2) диссипативные силы отсутствуют; 3) связи стационарны (так что 0 f t ). |