Тема Элементы комбинаторики Комбинаторика это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
Тема 10. Выборочный метод Общее понятие о выборочном методе. Множество всех единиц совокупности, обладающих определенным признаком и подлежащих изучению, носит в статистике название генеральной совокупности. На практике по тем или иным причинам не всегда возможно или же нецелесообразно рассматривать всю генеральную совокупность. Тогда ограничиваются изучением лишь некоторой части ее, конечной целью которого является распространение полученных результатов на всю генеральную совокупность, т. е. применяют выборочный метод. Для этого из генеральной совокупности особым образом отбирается часть элементов, так называемая выборка, и результаты обработки выборочных данных (например, средние арифметические значения) обобщаются на всю совокупность. Теоретической основой выборочного метода является закон больших чисел. В силу этого закона при ограниченном рассеивании признака в генеральной совокупности и достаточно большой выборке с вероятностью, близкой к полной достоверности, выборочная средняя может быть сколь угодно близка к генеральной средней. Закон этот, включающий в себя группу теорем, доказан строго математически. Таким образом, средняя арифметическая, рассчитанная по выборке, может с достаточным основанием рассматриваться как показатель, характеризующий генеральную совокупность в целом. Разумеется, не всякая выборка может быть основой для характеристики всей совокупности, к которой она принадлежит. Таким свойством обладают лишь репрезентативные (представительные) выборки, т. е. выборки, которые правильно отражают свойства генеральной совокупности. Существуют способы, позволяющие гарантировать достаточную репрезентативность выборки. Как доказано в ряде теорем математической статистики, таким способом при условии достаточно большой выборки является метод случайного отбора элементов генеральной совокупности, такого отбора, когда каждый элемент генеральной совокупности имеет равный с другими элементами шанс попасть в выборку. Выборки, полученные таким способом, называютсяслучайными выборками. Случайность выборки является, таким образом, существенным условием применения выборочного метода Области применения выборочного метода в исторических исследованиях. Сфера приложения этого метода в изучении истории обширна. Во-первых, историки могут применять выборочный метод при проведении всякого рода обследований с целью изучения различных явлений и процессов современности. Правда, сейчас такими исследованиями больше занимаются социологи, чем историки, хотя именно историки могут проводить конкретно-социологические обследования, опираясь на исторические данные, и добиваться наибольшего эффекта таких исследований. Во-вторых, историки нередко имеют дело с сохранившимися данными ранее проведенных собственно выборочных обследований. Такие обследования стали все более широко применяться с конца XIX в. Так, при проведении ряда сплошных обследований и переписей выборочно собирались и собираются сведения по более широкой программе. Многие данные собирались только выборочно. Наиболее интересными среди них для историков являются описания разного рода хозяйственных комплексов (крестьянских хозяйств, промышленных предприятий, колхозов, совхозов и т. д.), а также бюджетные и другого рода обследования различных слоев населения. В-третьих, в распоряжении историков имеется значительное число разнообразных первичных сплошных массовых данных, полная обработка которых весьма затруднительна даже при применении современной вычислительной техники. При изучении их может быть применен выборочный метод. Такие материалы имеются по всем периодам истории, но особенно много их по истории XIX—XX вв. Наконец, историкам очень часто приходится иметь дело с частичными данными, так называемыми естественными выборками. При обработке этих данных также может быть применен выборочный метод. Характер естественных выборок бывает различным. Прежде всего они могут представлять собой сохранившийся остаток некогда существовавшей более или менее полной совокупности данных. Так, многие актовые материалы, документы текущего делопроизводства и отчетности представляют остатки в прошлом обширных и систематических массивов данных. Далее, при систематическом сборе тех или иных сведений отдельные показатели могли учитываться лишь частично (именно частично, а не выборочно). Так, при составлении «Экономических примечаний» к Генеральному межеванию второй половины XVIII в., которое охватило большую часть территории страны, ряд показателей (количество населения, площадь земельных угодий и др.) учитывался повсеместно, а некоторые важные данные (о величине барских запашек, размерах оброка) были собраны в силу целого ряда причин лишь частично. Многие сведения вообще собирались только частично. Это прежде всего относится к тем из них, которые не являлись нормативными и сбором которых занимались различные местные органы, научные и общественные организации и отдельные лица. Итак, области выборочного метода в исторических исследованиях весьма обширны, а задачи, которые следует при этом решать, различны. Так, при организации выборочного обследования и формировании выборки из имеющихся сплошных данных исследователь располагает определенной свободой маневра для обеспечения репрезентативности выборок. При этом он может опираться на хорошо разработанную в математической статистике теорию, методику и технику получения таких выборок. При оперировании же данными ранее проведенных выборочных обследований следует проверить, в какой мере они были выполнены в соответствии с требованиями, предъявляемыми к выборочному методу. Для этого надо знать, как было проведено это обследование. Чаще всего это вполне можно сделать. И совсем иное дело — естественные выборки данных, с которыми очень часто имеет дело историк. Прежде всего необходимо доказать их репрезентативность. Без этого экстраполяция показателей выборок на всю изучаемую совокупность будет необоснованной. Поскольку пока еще нет достаточно надежных методов математической проверки репрезентативности естественных выборок, то решающую роль здесь играет выяснение истории их возникновения и содержательный анализ имеющихся данных. Виды выборочного изучения. В зависимости от того, как осуществляется отбор элементов совокупности в выборку, различают несколько видов выборочного обследования. Отбор может быть случайным, механическим, типическим и серийным. Случайным является такой отбор, при котором все элементы генеральной совокупности имеют равную возможность быть отобранными. Другими словами, для каждого элемента генеральной совокупности обеспечена равная вероятность попасть в выборку. Требование случайности отбора достигается на практике с помощью жребия или таблицы случайных чисел. При отборе способом жеребьевки все элементы генеральной совокупности предварительно нумеруются и номера их наносятся на карточки. После тщательной перетасовки из пачки любым способом (подряд или в любом другом порядке) выбирается нужное число карточек, соответствующее объему выборки. При этом можно либо откладывать отобранные карточки в сторону (тем самым осуществляется так называемый бесповторный отбор), либо, вытащив карточку, записать ее номер и возвратить в пачку, тем самым давая ей возможность появиться в выборке еще раз (повторный отбор). При повторном отборе всякий раз после возвращения карточки пачка должна быть тщательно перетасована. Способ жеребьевки применяется в тех случаях, когда число элементов всей изучаемой совокупности невелико. При большом объеме генеральной совокупности осуществление случайного отбора методом жеребьевки становится сложным. Более надежным и менее трудоемким в случае большого объема обрабатываемых данных является метод использования таблицы случайных чисел. Таблиц случайных чисел существует несколько, одна из них приведена в приложении (табл. 9). Способ отбора с помощью таблицы случайных чисел рассмотрим на примере. Пример 1. Пусть совокупность состоит из 900 элементов, а намеченный объем выборки равен 20 единицам. Из таблицы случайных чисел (см. табл. 9 приложения) отбираем числа, не превосходящие 900, до тех пор, пока не наберем нужных 20 чисел. Получаем: 146 867 505 139 653 480 426 765 478 807 47 220 522 221 835 368 275 424 703 Выписанные числа будем считать порядковыми номерами тех элементов генеральной совокупности, которые попали в выборку. Для очень больших совокупностей отбор с помощью таблицы случайных чисел становится трудно осуществимым, так как сложно перенумеровать всю совокупность. Здесь лучше применить механический отбор. Механический отбор производится следующим образом. Если формируется 10%-ная выборка, т. е. из каждых десяти элементов должен быть отобран один, то вся совокупность условно разбивается на равные части по 10 элементов. Затем из первой десятки выбирается случайным образом элемент. Например, жеребьевка указала девятый номер. Отбор остальных элементов выборки полностью определяется указанной пропорцией отбора N номером первого отобранного элемента. В рассматриваемом случае выборка будет состоять из элементов 9, 19, 29 и т. д. Механическим отбором следует пользоваться осторожно, так как существует реальная опасность возникновения так называемых систематических ошибок (см. § 2). Поэтому прежде чем делать механическую выборку, необходимо проанализировать изучаемую совокупность. Если ее элементы расположены случайным образом, то выборка, полученная механическим способом, будет случайной. Однако нередко элементы исходной совокупности бывают частично или даже полностью упорядочены. Весьма нежелательным для механического отбора является порядок элементов, имеющий правильную повторяемость, период которой может совпасть с периодом механической выборки. Нередко элементы совокупности бывают упорядочены по величине изучаемого признака в убывающем или возрастающем порядке и не имеют периодичности. Механический отбор из такой совокупности приобретает характер направленного отбора, так как отдельные части совокупности оказываются представленными в выборке пропорционально их численности во всей совокупности, т. е. отбор направлен на то, чтобы сделать выборку представительной. Механический отбор, как никакой другой, широко использовался в русской и советской статистике. Большую ценность представляют обследования земских статистиков, которые наряду со сплошным подворным обследованием крестьянских хозяйств по сокращенной «похозяйственней карточке» изучали по расширенной программе определенную часть хозяйств, отобранных механическим способом. Механический отбор использовался советскими статистиками для учета посевных площадей, численности скота, размеров урожая и многого другого накануне сплошной коллективизации, когда в сельском хозяйстве насчитывалось 25 млн. мелких крестьянских хозяйств (так называемый 10%-ный весенний опрос крестьянских хозяйств и 5%-ный осенний опрос). Другим видом направленного отбора является типический отбор. Следует отличать типический отбор от отбора типичных объектов. Отбор типичных объектов применялся в земской статистике, а также при бюджетных обследованиях. При этом отбор «типичных селений» или «типичных хозяйств» производился по некоторым экономическим признакам, например по размерам землевладения на двор, по роду занятий жителей и т. п. Отбор такого рода не может быть основой для применения выборочного метода, так как здесь не выполнено основное его требование — случайность отбора. При собственно типическом отборе в выборочном методе совокупность разбивается на группы, однородные в качественном отношении, а затем уже внутри каждой группы производится случайный отбор. Типический отбор организовать сложнее, чем собственно случайный, так как необходимы определенные знания о составе и свойствах генеральной совокупности, но зато он дает более точные результаты. При серийном отборе вся совокупность разбивается на группы (серии). Затем путем случайного или механического отбора выделяют определенную часть этих серий и производят их сплошную обработку. По сути дела, серийный отбор представляет собой случайный или механический отбор, осуществленный для укрупненных элементов исходной совокупности. В теоретическом плане серийная выборка является самой несовершенной из рассмотренных. Для обработки материала она, как правило, не используется, но представляет определенные удобства при организации обследования, особенно в изучении сельского хозяйства. Например, ежегодные выборочные обследования крестьянских хозяйств в годы, предшествовавшие коллективизации, проводились способом серийного отбора. Историку полезно знать о серийной выборке, поскольку он может встретиться с результатами таких обследований. Кроме описанных выше классических способов отбора в практике выборочного метода используются и другие способы. Рассмотрим два из них. Изучаемая совокупность может иметь многоступенчатую структуру, она может состоять из единиц первой ступени, которые, в свою очередь, состоят из единиц второй ступени, и т. д. Например, губернии включают в себя уезды, уезды можно рассматривать как совокупность волостей, волости состоят из сел, а села — из дворов. К таким совокупностям можно применять многоступенчатый отбор, т. е. последовательно осуществлять отбор на каждой ступени. Так, из совокупности губерний механическим, типическим или случайным способом можно отобрать уезды (первая ступень), затем одним из указанных способов выбрать волости (вторая ступень), далее провести отбор сел (третья ступень) и, наконец, дворов (четвертая ступень). Примером двухступенчатого механического отбора может служить давно практикуемый отбор бюджетов рабочих. На первой ступени механически выбираются предприятия, на второй — рабочие, бюджет которых обследуется. Изменчивость признаков исследуемых объектов может быть различной. Например, обеспеченность крестьянских хозяйств собственной рабочей силой колеблется меньше, чем, скажем, размеры их посевов. В связи с этим меньшая по объему выборка по обеспеченности рабочей силой будет столь же представительной, как и большая по числу элементов выборка данных о размерах посевов. В этом случае из выборки, по которой определяются размеры посевов, можно сделать под выборку, достаточно репрезентативную для определения обеспеченности рабочей силой, осуществив тем самым двухфазный отбор. В общем случае можно добавить и следующие фазы, т. е. из полученной подвыборки сделать еще подвыборку и т. д. Этот же способ отбора применяется в тех случаях, когда цели исследования требуют различной точности при исчислении разных показателей. Потребность в многофазном отборе возникла при выборочной обработке материалов профессиональной переписи 1918 года. Как показали исследования, для выявления доли рабочих Ярославской губернии, уходящих на полевые работы, требовалась выборка одного объема, тогда как для изучения общей связи рабочих с землей можно было ограничиться выборкой меньшего объема. Разные объемы выборок потребовались и при изучении групп рабочих различных отраслей промышленности Ярославской губернии. Так, предварительные расчеты показали, что для достаточно надежных выводов по группе рабочих полиграфической промышленности требовалась, по крайней мере, 5%-ная выборка, а для исследования рабочих текстильной, пищевой, металлообрабатывающей и машиностроительной промышленности достаточной оказалась 1%-ная выборка Тема 11. Статистическая проверка гипотез Статистическая гипотеза - представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называютнепараметрическими, в противном случае – параметрическими. Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н 0 . Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н 1 . И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза. Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н 0 о равенстве =10 – простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н 0 о неравенстве > 10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н 0 о равенстве =b i , где b i – любое число, большее 10. Гипотеза Н 0 о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x 1 , x 2 , …, x n ). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S 0 и S 1 . Если значение критерия z попадает в область S 0 , то гипотеза принимается, а если в область S 1 , – гипотеза отклоняется. Множество S 0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S 1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область. Принятие или отклонение гипотезы Н 0 по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода - возникает с вероятностью тогда, когда отвергается верная гипотеза Н 0 и принимается конкурирующая гипотеза Н 1 Ошибка второго рода - возникает с вероятностью в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н 0 , в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н 1 Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н 0 Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н 0 называется мощностью критерия. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, табл. 3.1. Таблица 3.1. Гипоте заН 0 Решени е Вероятн ость Примечание Верна Приним ается 1– Доверительная вероятность Отверга Вероятность ошибки первого ется рода Неверн а Приним ается Вероятность ошибки второго рода Отверга ется 1– Мощность критерия Например, рассмотрим случай, когда некоторая несмещенная оценка параметра вычислена по выборке объема n, и эта оценка имеет плотность распределения f ), рис. 3.1. Рис. 3.1. Области и отклонения гипотезы Предположим, что истинное значение оцениваемого параметра равно Т. Если рассматривать гипотезу Н 0 о равенстве =Т, то насколько велико должно быть различие между и Т, чтобы эту гипотезу отвергнуть. Ответить на данный вопрос можно в статистическом смысле, рассматривая вероятность достижения некоторой заданной разности между и Т на основе выборочного распределения параметра . Целесообразно полагать одинаковыми значения вероятности выхода параметра за нижний и верхний пределы интервала. Такое допущение во многих случаях позволяет минимизировать доверительный интервал, т.е. повысить мощность критерия проверки. Суммарная вероятность того, что параметр границами 1– /2 и /2 , составляет величину . Эту величину следует выбрать настолько малой, чтобы выход за пределы интервала был маловероятен. Если оценка параметра попала в заданный интервал, то в таком случае нет оснований подвергать сомнению проверяемую гипотезу, следовательно, гипотезу равенства =Т можно принять. Но если после получения выборки окажется, что оценка выходит за установленные пределы, то в этом случае есть серьезные основания отвергнуть гипотезу Н 0 . Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна (равна уровню значимости критерия). Если предположить, например, что истинное значение параметра в действительности равно Т+d, то согласно гипотезе Н 0 о равенстве =Т – вероятность того, что оценка параметра попадет в область принятия гипотезы, составит , рис. 3.2. При заданном объеме выборки вероятность совершения ошибки первого рода можно уменьшить, снижая уровень значимости . Однако при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода (снижается мощность критерия). Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда истинное значение параметра равно Т – d. Единственный способ уменьшить обе вероятности состоит в увеличении объема выборки (плотность распределения оценки параметра при этом становится более "узкой"). При выборе критической области руководствуются правилом Неймана – Пирсона: следует так выбирать критическую область, чтобы вероятность была мала, если гипотеза верна, и велика в противном случае. Однако выбор конкретного значения относительно произволен. Употребительные значения лежат в пределах от 0,001 до 0,2. В целях упрощения ручных расчетов составлены таблицы интервалов с границами 1– /2 и /2 для типовых значений и различных способов построения критерия. При выборе уровня значимости необходимо учитывать мощность критерия при альтернативной гипотезе. Иногда большая мощность критерия оказывается существеннее малого уровня значимости, и его значение выбирают относительно большим, например 0,2. Такой выбор оправдан, если последствия ошибок второго рода более существенны, чем ошибок первого рода. Например, если отвергнуто правильное решение "продолжить работу пользователей с текущими паролями", то ошибка первого рода приведет к некоторой задержке в нормальном функционировании системы, связанной со сменой паролей. Если же принято решения не менять пароли, несмотря на опасность несанкционированного доступа посторонних лиц к информации, то эта ошибка повлечет более серьезные последствия. В зависимости от сущности проверяемой гипотезы и используемых мер расхождения оценки характеристики от ее теоретического значения применяют различные критерии. К числу наиболее часто применяемых критериев для проверки гипотез о законах распределения относят критерии хи-квадрат Пирсона, Колмогорова, Мизеса, Вилкоксона, о значениях параметров – критерии Фишера, Стьюдента. 3.2. Типовые распределения При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z ). Для односторонней критической области z ) = z 1– , т.е. критическое значение аргумента z ) соответствует квантили z 1– уровня 1– , так как , рис. 3.3. Рис. 3.3. Односторонняя критическая область Для двусторонней критической области, с уровнем значимости , размер левой области 2, правой ), рис. 3.4. Значения z 2) и z 1) связаны с квантилями распределения соотношениями z 1)=z 1– 1 , z 2)= 2 , так как , . Для симметричной функции плотности распределения f(z) критическую область выбирают из условия /2 (обеспечивается наибольшая мощность критерия). В таком случае левая и правая границы будут равны |z /2)|. Рис. 3.4. Двусторонняя критическая область Нормальное распределение Этот вид распределения является наиболее важным в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением их количества при произвольном законе распределения отдельных слагаемых, если слагаемые обладают конечной дисперсией. Так как реальные физические явления часто представляют собой результат суммарного воздействия многих факторов, то в таких случаях нормальное распределение является хорошим приближением наблюдаемых значений. Функция плотности нормального распределения (3.1) – унимодальная, симметричная, аргумент х может принимать любые действительные значения, рис. 3.5. Рис. 3.5. Плотность нормального распределения Функция плотности нормального распределения стандартизованной величины u имеет вид Вычисление значений функции распределения Ф(u) для стандартизованного неотрицательного аргумента u (u 0) можно произвести с помощью полинома наилучшего приближения [9, стр. 694] Ф(u)= 1– 0,5(1 + 0,196854u + 0,115194u 2 + + 0,000344u 3 + 0,019527u 4 ) – 4 (3.2) Такая аппроксимация обеспечивает абсолютную ошибку не более 0,00025. Для вычисления Ф(u) в области отрицательных значений стандартизованного аргумента u (u<0) следует воспользоваться свойством симметрии нормального распределения Ф(u) = 1 – Ф(–u). Иногда в справочниках вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей , u > 0. (3.3) Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения соотношением Ф(u) = 0,5 + F(u). Распределение хи-квадрат Распределению хи- 2 -распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы квадратов n стандартизованных случайных величин u i , каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n k. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы , x 0, (3.4) где х = 2 , Г(k/2) – гамма-функция. Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для 2 . Функция плотности при k, равном одному или двум, – монотонная, а при k >2 – унимодальная, несимметричная, рис. 3.6. Рис. 3.6. Плотность распределения хи-квадрат Математическое ожидание и дисперсия величины 2 равны соответственно k и 2k. Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея. С увеличением числа степеней свободы (k >30) распределение хи-квадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение 2 (k; ) u 1– (k, 2k), где u 1– (k, 2k) – квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов. Распределение Стьюдента Распределение Стьюдента (t-распределение, предложено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, публиковавшим научные труды под псевдонимомStudent) характеризует распределение случайной величины , где u 0 , u 1 , …, u k взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента (3.5) Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения – унимодальная и симметричная функция, похожая на нормальное распределение, рис. 3.7. Область изменения аргумента t от – до . Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k/(k–2) соответственно, при k>2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней или двусторонней критической области. Распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k 30. При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов. Поэтому относительно оценки ошибок малыми считаются выборки объемом не более 30 единиц, большими – объемом более 100 единиц. При аппроксимации распределения Стьюдента нормальным распределением для односторонней критической области вероятность Р{t > t(k; )} = u 1– (0, k/(k–2)), где u 1– (0,k/(k–2)) – квантиль нормального распределения. Аналогичное соотношение можно составить и для двусторонней критической области. Распределение Фишера Распределению Р.А. Фишера (F-распределению Фишера – Снедекора) подчиняется случайная величина х =[(y 1 /k 1 )/(y 2 /k 2 )], равная отношению двух случайных величин у 1 и у 2 , имеющих хи-квадрат распределение с k 1 и k 2 степенями свободы. Область изменения аргумента х от 0 до . Плотность распределения (3.6) В этом выражении k 1 обозначает число степеней свободы величины y 1 с большей дисперсией, k 2 – число степеней свободы величины y 2 с меньшей дисперсией. Плотность распределения – унимодальная, несимметричная, рис. 3.8. Рис. 3.8. Плотность распределения Фищера Математическое ожидание случайной величины х равно k 2 /(k 2 –2) при k 2 >2, дисперсия т 2 = [2 k 2 2 (k 1 +k 2 –2)]/[k 1 (k 2 –2) 2 (k 2 –4)] при k 2 > 4. При k 1 > 30 и k 2 > 30 величина х распределена приближенно нормально с центром (k 1 – k 2 )/(2 k 1 k 2 ) и дисперсией (k 1 + k 2 )/(2 k 1 k 2 ). 3.3. Проверка гипотез о законе распределения Обычно сущность проверки гипотезы о законе распределения ЭД заключается в следующем. Имеется выборка ЭД фиксированного объема, выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Необходимо оценить по этой выборке параметры закона, определить степень согласованности ЭД и выбранного закона распределения, в котором параметры заменены их оценками. Пока не будем касаться способов нахождения оценок параметров распределения, а рассмотрим только вопрос проверки согласованности распределений с использованием наиболее употребительных критериев. Критерий хи-квадрат К. Пирсона Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F п (x), которая приближенно подчиняется закону распределения 2 . Гипотеза Н 0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда. Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов . Наблюдаемая частота попаданий в i-й разряд n i . В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i-й разряд составляет F i . Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n i – F i ). Для нахождения общей степени расхождения между F(x) и F п (x) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда (3.7) Величина 2 при неограниченном увеличении n имеет распределение хи-квадрат (асимптотически распределена как хи-квадрат). Это распределение зависит от числа степеней свободы k, т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся – 1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются параметров распределения, то число степеней свободы составит – –1. Область принятия гипотезы Н 0 определяется условием 2 ( ), где 2 ( ) – критическая точка распределения хи-квадрат с уровнем значимости . Вероятность ошибки первого рода равна , вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n>200, допускается применение при n>40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу). |