Тема Элементы комбинаторики Комбинаторика это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения

• Название: Тема Элементы комбинаторики Комбинаторика это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения
• Дата: 23.11.2021
• Размер: 1.75 Mb.
• Имя файла: lekcii16.pdf
• Тип: Конспект; #280266
• страница: 3 из 6

Тема 7. Основные законы распределения случайной величины
Величины, которые могут принять в результате опыта любое из возможных значений, являются предметом дальнейшего изучения. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.
Пример 1. Примерами дискретной случайной величины являются: число бракованных изделий в случайно отобранной партии из n-изделий; число солнечных дней в году; число учеников, опрошенных на уроке в школе.
Примерами непрерывной случайной величины служат: время безаварийной работы станка; расход горючего на единицу расстояния; количество осадков, выпавших за сутки.

Однако простое перечисление всех возможных значений случайной величины не дает достаточно полного представления о ней. Кроме того, необходимо знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытаний или наблюдений, т.е. следует знать вероятности их появления. Полное представление о случайной величине может дать закон ее распределения.
Законы распределения дискретных случайных величин
Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения.
При табличном способе задания закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а вторая – соответствующие вероятности (


1
i
p
):
i
x
1
x
2
x
…
n
x
i
p
1
p
2
p
…
n
p
Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения (закон распределения Бернулли), если она принимает целочисленные неотрицательные значения
0, 1, 2, 3, …, m, …, n с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:
i
x
0 1
… m
… n
i
p
n
q
1 1

n
n
pq
C
…
m
n
m
m
n
q
p
C

…
n
p
где
;
1
p
q


)!
(
!
!
m
n
m
n
C
m
n


- число сочетаний из n элементов по m.
Пример 2. На некотором участке дороги 60% водителей соблюдают предусмотренный правилами скоростной режим. Составить закон распределения числа водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших.
Случайная величина Х – число водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости из пяти проехавших. В
5

n
независимых испытаниях вероятность того, что скоростной режим не нарушен, по условию постоянна и равна:
6
,
0

p
. Следовательно, вероятность нарушения:
4
,
0 6
,
0 1



q
. Тогда биномиальный закон распределения числа водителей имеет вид:
i
x
0 1
2 3
4 5
i
p
0,0 1024 0,0 768 0,2 304 0,3 456 0,2 592 0,0 7776
Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром
np


, если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, …, m,

… с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона. Т. к. вероятность наступления события в каждом испытании мала (при
0
,



p
n
), закон распределения Пуассона еще называют законом редких событий.
i
x
0 1
… m
…
i
p


e



e
…
!
m
e
m



…
Пример 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,015. Сделано
600 выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий в цель не меньше 7 и не большее 10?
В данном случае
9 015
,
0 600




. Предполагая закон распределения Пуассона, имеем:
i
x
7 8
9 10
i
p
0,1 171 0,1 318 0,1 318 0,1 186
Следовательно,
4993
,
0
)
10 7
(



X
P
Законы распределения непрерывных случайных величин
Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.
Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(XФункцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:
)
(
)
(
x
X
P
x
F


Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям
i
p
для дискретной случайной величины в непрерывном случае.
Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной

величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:
)
(
)
(
x
F
x
f


Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.
Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:












,
0
;
,
1
;
,
0
)
(
b
x
b
x
a
a
b
a
x
x
f
Функция плотности вероятности f(x)
Функция распределения
F(x)
Рис.1. Равномерный закон распределения
Пример 4. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.













2
,
0
;
2 0
,
2 1
0 2
1
;
0
,
0
)
(
x
x
x
x
f














2
,
1
;
2 0
,
2 0
2 0
;
0
,
0
)
(
x
x
x
x
x
x
F
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина
Х имеет нормальный закон распределения с параметрами

и
2

(обозначают
)
;
(
2


N
X

), если ее плотность вероятности имеет вид:
2 2
2
)
(
2 1
)
(







x
e
x
f
, где
)
( X
M


,
)
(
2
X
D


Функция плотности вероятности f(x)
Функция распределения
F(x)

Рис.2. Нормальный закон распределения
Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении

кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при
0


и при
2



). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при
0


:
2
,
0 2


;
0
,
1 2


;
0
,
5 2


). Таким образом, параметр

характеризует положение, а параметр
2

- форму кривой плотности вероятности.
Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами
0


и
1


(обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.
Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой:











x
t
x
dt
e
dx
x
f
x
F
0 2
2 2
1 2
1
)
(
)
(
, где




x
t
Интеграл такого рода является "неберущимся", поэтому для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию
Лапласа, для которой составлены таблицы (см. Приложение 2).
dx
e
t
Ф
t
x




0 2
2 2
1
)
(

,
)
(
)
(
t
Ф
t
Ф



- функция нечетная!
Рис. 3. Функция Лапласа Ф(t)
Используя функцию Лапласа можно выразить функцию распределения нормального закона по формуле:
)
(
5
,
0
)
(
t
Ф
x
F


, где




x
t
Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.
1.
Если
)
;
(
2


N
X

, то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х
1
;х
2
) используется формула:






















1 2
2 1
)
(
x
Ф
x
Ф
x
X
x
P

2.
Вероятность того, что отклонение случайной величины
)
;
(
2


N
X

от ее математического ожидания

не превысит величину
0


(по абсолютной величине), равна:















Ф
X
P
2 3.
"Правило трех сигм". Если случайная величина
)
;
(
2


N
X

, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (




3
;
3


).
(Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры (

и

), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины.
Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами
8


,
3


Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).
 
044
,
0 4332
,
0 4772
,
0
)
5
,
1
(
2 3
8 5
,
12 3
8 14
)
14 5
,
12
(























Ф
Ф
Ф
Ф
X
P
Пример 6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами
0


,
9


. Проводятся три независимых измерения.
Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.
Вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм:


2586
,
0 1293
,
0 2
)
33
,
0
(
2 9
3 2
3 0













Ф
Ф
X
P
Вероятность того, что эта погрешность измерения в одном испытании превышает 3 мм, равна:




7414
,
0 2586
,
0 1
3 1
3







X
P
X
P
Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм:


4075
,
0 3
)
(
3



X
P
A
P
Искомая вероятность:
5925
,
0 4075
,
0 1
)
(
1
)
(





A
P
A
P
Тема 8. Закон больших чисел
Неравенство Чебышѐва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к

теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы части прикладной математической статистики.
Теорема Чебышѐва. Пусть случайные величины Х
1
, Х
2
,…, Х
k попарно независимы и существует число С такое, что D(X
i
) (11)
Доказательство. Рассмотрим случайные величины Y
k
= Х
1
+ Х
2
+…,+ Х
k и Z
k
= Y
k
/k.
Тогда согласно утверждению 10
М(Y
k
) = М(Х
1
)+М(Х
2
)+…+М(Х
k
), D(Y
k
) = D(Х
1
)+D(Х
2
)+…+D(Х
k
).
Из свойств математического ожидания следует, что М(Z
k
) = М(Y
k
)/k, а из свойств дисперсии - чтоD(Z
k
) = D(Y
k
)/k
2
. Таким образом,
М(Z
k
) ={М(Х
1
)+М(Х
2
)+…+М(Х
k
)}/k,
D(Z
k
) ={D(Х
1
)+D(Х
2
)+…+D(Х
k
)}/k
2
Из условия теоремы Чебышѐва, что
Применим к Z
k второе неравенство Чебышѐва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку что и требовалось доказать.
Эта теорема была получена П.Л.Чебышѐвым в той же работе 1867 г. «О средних величинах», что и неравенства Чебышѐва.
Пример 13. Пусть С = 1, = 0,1. При каких k правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?
В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равно 100/ k. Она не превосходит 0,1, если k не меньше 1000, не превосходит 0,05, если k не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если k не меньше 10 000 000.
Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании k и фиксированных С и убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом . Это утверждение называют ЗАКОНОМ
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все X
i
, i = 1, 2, …, имеют одно и то же математическое ожидание M(X
1
) и одну и ту же дисперсию
. В качестве

замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое
Из закона больших чисел следует, что при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к М(Х
1
), что записывают так:
Здесь знак означает «сходимость по вероятности». Обратим внимание, что понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе.
Напомним, что последовательность b n
имеет предел b при
, если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при любом справедливо утверждение:
. При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число и утверждение предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее
Сходимость частот к вероятностям. Уже отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математики Якоб Бернулли (1654-
1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова.
Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в k независимых
(попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом справедливо неравенство
(12)
Доказательство. Как показано в примере 10, случайная величина m имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха р и является суммой k независимых случайных величин X
i
,i = 1, 2. …, k, каждое из которых равно 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р, т.е. m= X
1
+X
2
+…+ X
k
.Применим к X
1
, X
2
,…, X
k теорему Чебышѐва с С = р(1 - р) и получим требуемое неравенство (12).
Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по Р.
Мизесу (1883-1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний. Продемонстрируем эту связь. Для этого сначала отметим, что

при всех р. Действительно,
Следовательно, в теореме Чебышѐва можно использовать С = ¼. Тогда при любом р и фиксированном правая часть неравенства
(12) при возрастании k приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.
Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения герба равна ½ из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте
Бюффона равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба – частота 0,5016. В другой раз он бросил монету
24000 раз, герб выпал 12012 раз – частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5