Тема Евклидово векторное пространство

• Название: Тема Евклидово векторное пространство
• Дата: 05.04.2023
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: 7.docx
• Тип: Документы; #1040536

Тема 7. Евклидово векторное пространство

1. 
   Скалярное произведение.
   
2. 
   Аксиомы скалярного произведения.
   
3. 
   Евклидовы пространства.
   
4. 
   Длина вектора и угол между векторами.
   
5. 
   Неравенство Коши - Буняковского - Шварца.
   
6. 
   Неравенство треугольника.
   
7. 
   Ортогональные векторы и теорема Пифагора.
   
8. 
   Метрическая форма и метрические коэффициенты.
   
9. 
   Формулы преобразования метрических коэффициентов при замене базиса.
   

1. 
   Скалярное произведение.
   

Определение 7.1. Углом между векторами и называется наименьший угол между этими векторами, приведенными к общему началу. Его обозначение Очевидно, что

Определение 7.2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 7.1)

(7.1)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию второго вектора на ось, направление которой определяется первым вектором.



Рисунок 7.1 – Скалярное произведение векторов и

Определение 7.3. Проекциями вектора на координатные оси называют координаты вектора:

(7.2)

где – направляющие косинусы вектора; – углы между вектором и осями координат

Для направляющих косинусов выполняется равенство:



где

Определение7.4. Проекцией вектора на вектор называется число



Пример7.1.Найти скалярное произведение векторов и в каждом из следующих случаев:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Решение. По определению скалярного произведения (7.1) имеем:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Пример7.2. Вычислить скалярное произведение векторов и заданных координатами

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Решение. Подразумеваем, что координаты векторов даны в ортонормированном базисе. Если то в ортонормированном базисе



Имеем

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

2. 
   Аксиомы скалярного произведения.
   

Пусть – произвольное линейное пространство над полем вещественных чисел.

Определение7.5 Скалярным произведением на пространстве называется произвольная функция

(7.3)

пары векторов, принимающая числовые значения.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Коммутативность. Для любых векторов

Ассоциативность. Для любых векторов и любого числа



Дистрибутивность. Для любых векторов

Положительность. Для любого отличного от нуля вектора

прямой угол; острый угол; тупой угол.

Пример 7.3. В координатах даны векторы:



Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.



Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.



Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.



Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.



Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.



Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.



Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

3. 
   Евклидовы пространства.
   

Определение 7.6. Линейное пространство для которого выбрано и зафиксировано некоторое скалярное произведение (7.2), называется евклидовым линейным пространством.

Линейное векторное пространство обладает свойствами скалярного произведения 1-5.

Теорема 7.1. Скалярное произведение в евклидовом пространстве есть положительно определенная симметричная билинейная функция. И наоборот, любую положительно определенную симметричную функцию можно выбрать в качестве скалярного произведения.

4. 
   Длина вектора и угол между векторами.
   

Определение 7.7. Длина вектора определяется формулой

(7.4)

а угол между отличными от нуля векторами и – формулами

(7.5)

которая дает для два значения, в сумме составляющие

Пример. Дан вектор Найти если

Решение. В силу (7.4) имеем



Пример 7.4. Найти угол между векторами и

Решение. Применим формулу (7.5):

5. 
   Неравенство Коши - Буняковского - Шварца.
   

В евклидовом точечном пространстве расстояние между двумя точками определяется формулой



а угол между двумя прямыми – формулой (7.5), в которой и – произвольные направляющие векторы данных прямых.

Аксиома положительности означает, что для любого вектора формула (7.4) однозначно определяет длину являющуюся неотрицательным числом. При этом если и если

В формуле (7.5) правая часть принадлежит области определения арккосинуса, т.е. число



или

(7.6)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца.

Для доказательства рассмотрим функцию



числовой переменной Согласна аксиоме 4 для всех имеет место неравенство С другой стороны,



а из элементарной алгебры известно, что если квадратный трехчлен принимает лишь неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен. В данном случае дискриминант равен



что и доказывает неравенство (7.6).

Если векторы и коллинеарны, то в (7.6) имеет место равенство. Обратно, если то при согласно формуле для корней квадратного уравнения, где Поэтому

Таким образом, неравенство Коши-Буняковского-Шварца обращается в равенство для коллинеарных векторов и

Пример 7.5. Докажите неравенство если и

Доказательство. Домножим на Имеем

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского для векторов с координатами: и

Теперь поскольку то

6. 
   Неравенство треугольника
   

Из неравенств Коши-Буняковского следует, что



и, аналогично, что



Отсюда следует, что

(7.7)

Если – произвольный треугольник и то и получаем из (7.7) неравенства:



(сторона треугольника не больше суммы двух других сторон и не меньше их разности). На этом основании неравенства (7.7) называются неравенствами треугольника.

Пример 7.6.  Внутри треугольника взята точка (рис. 7.2). Доказать, что периметр треугольника меньше периметра треугольника



Рисунок 7.2 – Треугольник

Доказательство. Так как у треугольников и сторона – общая, то достаточно доказать, что

Продлим сторону до пересечения со стороной в точке Из  по неравенству треугольника Тогда

(*).

 Из  по неравенству треугольника значит,

(**).

Из неравенств (*) и (**) следует, что Утверждение доказано.

7. 
   Ортогональные векторы и теорема Пифагора.
   

Определение 7.8. 

При и это равносильно тому, что угол между векторами и равен

Если векторы и ортогональны, то

(7.8)

При когда отсюда получаем теорему Пифагора:



На этом основании равенство (7.8) также называется теоремой Пифагора (рис 7.3).



Рисунок 7.3 – Теорема Пифагора.

Пример 7.7. Доказать, что векторы  являются ортогональными.

Доказательство. Находим скалярное произведение данных векторов:



Поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Пример 7.8. Найти значение числа при котором векторы и будут являться ортогональными.

Решение. Найдем скалярное произведение векторов:



Полученное приравняем к нулю:



Таким образом, векторы и ортогональны при значении

8. 
   Метрическая форма и метрические коэффициенты
   

Пусть – произвольный базис евклидова линейного пространства и пусть



два произвольных вектора этого пространства.

В обозначениях Энштейна



т. е.

(7.9)

где положено

(7.10)

Заметим, что

(7.11)

При формула (7.9) имеет вид



где

При – вид



где

при – вид



где

В общем случае запишем подобные члены:



Формулу (7.9) можно записать матричных обозначениях. Пусть



и пусть – квадратная -матрица

(7.12)

Рассмотрим матрицу



где По правилу умножения прямоугольных матриц эта матрица имеет размер т.е. представляет собой число. Вычислив его, имеем

(7.13)

т.е. равно (7.9). Тем самым доказано, что

(7.14)

При получаем, что

(7.15)

и, в частности, при



при



и при



Стоящее в правой части формулы (7.9) алгебраическое выражение представляет собой однородный многочлен от двух наборов переменных и линейный по каждому из этих наборов. Однородные многочлены называют формами, а многочлены вида (7.13) – билинейными формами. Формы (7.13), коэффициенты которых обладают свойством (7.11), называются симметричными формами.

При симметричная билинейная форма превращается в однородный многочлен второй степени от переменных т.е. в квадратичную форму. Согласно аксиоме 4 форма (7.15) обладает тем же свойством, что и



если Такие квадратичные формы называются положительно определенными.

Таким образом, формула (7.9) утверждает, что скалярное произведение двух векторов является билинейной, симметричной и положительно определенной формой от их координат.

Определение 7.9. Форма называется метрической формой данного базиса а ее коэффициенты – коэффициентами этого базиса.

Пример 7.9. Система координат задается репером базис которого характеризуется метрическими коэффициентами, составляющими матрицу Грамма



Найти длины базисных векторов и угол между ними.

Решение. Длины базисных векторов находятся из диагональных метрических коэффициентов:



Далее

9. 
   Формулы преобразования метрических коэффициентов при замене базиса.
   

Пусть и – два базиса,



столбцы координат одного и того же базиса в этих базисах, – матрица перехода от базиса к базису и – матрица метрических коэффициентов базиса Тогда



Кроме того, Поэтому



Эта формула означает, что матрица метрических коэффициентов базиса выражается формулой

(7.16)

Иначе говоря,

(7.17)

Пример 7.10. Найти косинус угла между векторами и зная метрические коэффициенты базиса

Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами воспользуемся формулой (7.5):



Нахождение числителя и знаменателя целесообразно провести в матричной форме считая, что матрица метрических коэффициентов имеет вид



Тогда



Таким образом, получим



Пример 7.11. В базисе матрица метрических коэффициентов евклидового пространства имеет вид



Формулы нового базиса выражаются через векторы базиса следующим образом: Найти:

Решение. Матрица метрических коэффициентов выражается формулой (7.16). Для нахождения соответственной матрицы нужно найти матрицу перехода от базиса к базису Имеем



Тогда



2) Матрица является обратной к матрице Поэтому



3) ) Матрица является обратной к матрице Поэтому



Вопросы для самоконтроля

1. 
   Что называют скалярным произведением?
   
2. 
   Свойства скалярного произведения.
   
3. 
   Евклидово пространство.
   
4. 
   Длина вектора и угол между векторами.
   
5. 
   Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
   
6. 
   Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.
   
7. 
   Ортогональные векторы. Теорема Пифагора.
   
8. 
   Билинейные, симметричные и положительно определенные формы.
   
9. 
   Метрические формы и метрические коэффициенты.
   
10. 
    Формулы преобразования метрических коэффициентов при замене базиса.
    

Задания для самостоятельного решения

1. 
   Вычислить скалярное произведение если известно, что и
   
2. 
   Вычислить косинус угла между векторами и если известны координаты точек
   
3. 
   Вычислить ортогональную проекцию вектора на направление вектора
   
4. 
   Вычислить модуль вектора если
   
5. 
   Найти проекцию вектора на направление вектора если и
   
6. 
   По заданному и найти координату
   
7. 
   Даны вершины треугольника Определить внешний угол при вершине
   
8. 
   Найти скалярное произведение векторов если известны их модули и угол
   
9. 
   Установить связь между неравенством Коши–Буняковского и областью допустимых значений функции cos ϕ.
   
10. 
    Система координат задается репером базис которого характеризуется метрическими коэффициентами, составляющими матрицу Грамма
    

Найти длины базисных векторов и угол между ними.

Тест

1. Скалярное произведение векторов – это:

а) абсолютная величина этих векторов;

б) вектор;

+в) число;

г) сумма векторов.

2.Среди представленных формул стоит выбрать ту, что соответствует скалярному произведению:

+а)

б)

в)

г)

3.Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними 90⁰:

а) любому числу;

б) нулю;

в) положительному числу;

г) отрицательному числу.

4. Если скалярное произведение равно отрицательному числу, то этот угол межу векторами:

а) прямой;

б)развернутый;

+в) тупой;

г) острый.

5. Укажите соответствие:



. и



Положительность. 

3а) Дистрибутивность;

1б) Коммутативность;

2в) Ассоциативность;

4г) Положительность.

6. Длина вектора определяется по формуле:

а)

б)

в)

г)

7. Укажите неравенство Коши - Буняковского – Шварца.

+а)

б)

в)

г)

8. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы называются:

а) сонаправленными;

б) равными;

+в) ортогональными;

г) коллинеарными.

9. Общая формула метрической формы имеет вид:

а)

б)

в)

_+г)

10.При n=2, метрическая форма имеет вид:

а)

б)

+в)

г)

11. Метрические коэффициенты выражаются формулой:

+а)

б)

в)

_г)

12. Линейное пространство для которого выбрано и зафиксировано некоторое скалярное произведение, называется

+а) евклидовым пространством;

б) векторным пространством;

в) аффинным пространством;

г) ассоциативным пространством.

13. При каком значении x векторы и перпендикулярны.

а) 7,3;

б) 7;

+в) 7,5;

г) 8.

14. Косинус угла между двумя векторами равен 30⁰. Чему будет равняться их скалярное произведение, если их длина равна 3 и 4?

а)

б)

в)

г)

15. Найдите угол BAC треугольника ABC с координатами точек , :

. а) 45°;

б) 60°;

в) 50°;

+г) 90°.