Курсовая работа. Курсовая работа по учебной дисциплине Теория и практика решения математических задач тема Замечательные точки и прямые четырёхугольника
 Скачать 7.44 Mb.
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ) Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики Курсовая работа по учебной дисциплине: «Теория и практика решения математических задач» тема: «Замечательные точки и прямые четырёхугольника» Выполнил обучающийся 34М группы 3 курса Очной формы обучения Физико-математического факультета Алыгусейнова Фируза Араз кызы Руководитель: ст. преподаватель Высоцкая П. А. Дата защиты : «__» ____________20__г. Оценка:__________________________ _________________________________ (подпись руководителя) Регистрационный номер______ Дата регистрации____________ Мытищи 2022 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ §1 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ПРЯМЫЕ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА 1.1. Центроид четырёхугольника 1.2. Точка Понселе в четырёхугольнике 1.3. Пьер Вариньон и его теорема 1.4. Теорема и неравенство Птолемея 1.5. Прямая Эйлера 1.6. Теорема Брианшона и ее продолжение §2 ЗАДАЧИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА 3 Введение Геометрия считается трудным предметом. А трудность ее состоит в том, что по сравнению с алгеброй геометрия менее алгоритмизирована. Практически каждую содержательную задачу можно решить несколькими способами, используя различные методы. Поэтому геометрия содержит в себе огромный потенциал для развития гибкости ума, пластичности мышления и конструктивных способностей учащихся, воспитания у них чувства прекрасного. В ходе реформы школьного математического образования начиная еще с 70-х годов XX века были допущены существенные просчеты и перегибы. Со страниц школьных учебных пособий по геометрии исчезли многие замечательные геометрические факты. Например, большая часть геометрии четырехугольников не вошла в школьный курс математики. Действенную помощь учащимся в нахождении элементов в четырёхугольнике смогут оказать сведения об особых точках и линиях в четырёхугольниках, которые стали называть замечательными точками. Представленный материал позволит формировать у учащихся метапредметные универсальные действия при решении геометрических задач. Знания замечательных точек и прямых четырёхугольника способствуют более эффективному и рациональному решению задач, развивают мышление и творческую активность. Предметом курсовой работы является замечательные точки и прямые четырёхугольника. Объектом будет свойства четырёхугольника. Цель данной работы – изучение замечательных точек и прямых четырёхугольника, применение полученных знаний к решению задач. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: • Изучить центроид четырёхугольника, точку Понселе, прямую Эйлера. • Рассмотреть теоремы Вариньона, Птолемея и Брианшона. 4 • Подготовить подборку задач с решением по данной теме из школьного курса геометрии. В заключении сформулированы выводы по выполнению задач курсовой работы, поставленных во введении. Структура: курсовая работа состоит из введения, двух параграфов, заключения и списка использованной литературы. 5 §1. Замечательные точки и прямые четырёхугольника 1.1. Центроид четырёхугольника Отрезки (а также прямые), соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, называются его средними линиями. Теорема. Средние линии четырехугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Доказательство 1: Пусть MN и PQ — средние линии четырехугольника ABCD, точки E и F — середины его диагоналей AC и BD (Рис. 1). Тогда по свойству средней линии треугольника отрезки MP и NQ параллельны диагонали АС и равны её половине. Следовательно, четырехугольник MPNQ — параллелограмм. С равным правом четырехугольники MENF и PEQF —параллелограммы. Из этих трех параллелограммов каждые два имеют общую диагональ. Отсюда и следует истинность доказываемого свойства. Доказательство 2: Примем произвольную точку O за начало векторов. Тогда 𝑂𝑀 ######⃗ = ! " & 𝑂𝐴 #####⃗ + 𝑂𝐵 #####⃗ + и 𝑂𝑁 ######⃗ = ! " & 𝑂𝐶 #####⃗ + 𝑂𝐷 ######⃗+. Пусть G – середина MN. Тогда 𝑂𝐺 #####⃗ = ! " & 𝑂𝑀 ######⃗ + 𝑂𝑁 ######⃗ + = ! # = ! " &𝑂𝐴 #####⃗ + 𝑂𝐵 #####⃗ + 𝑂𝐶 #####⃗ + 𝑂𝐷 ######⃗+. В это выражение векторы вершин четырехугольника входят равноправно. Поэтому точка G будет и серединой отрезков PQ и EF . Рис. 1 6 О п р е д е л е н и е. Точка пересечения средних линий четырехугольника называется центроидом этого четырехугольника. Вектор центроида G имеет выражение: 𝑂𝐺 #####⃗ = ! # & 𝑂𝐴 #####⃗ + 𝑂𝐵 #####⃗ + 𝑂𝐶 #####⃗ + 𝑂𝐷 ######⃗ +. (1) При совпадении точек О и G будем иметь: 𝐺𝐴 #####⃗ + 𝐺𝐵 #####⃗ + 𝐺𝐶 #####⃗ + 𝐺𝐷 #####⃗ = 0#⃗ Теорема. Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырехугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырехугольника и делятся им в отношении 3 : 1, считая от вершин. В самом деле, если G1 — центроид треугольника BCD, то для любой точки O 𝑂𝐺1 ########⃗ = 1 3 & 𝑂𝐵 #####⃗ + 𝑂𝐶 #####⃗ + 𝑂𝐷 ######⃗+. Разделим отрезок AG1 в отношении 3 : 1. Вектор делящей точки равен & 𝑂𝐴 #####⃗ + 3 𝑂𝐺1 #########⃗ + 1 + 3 = 1 4 & 𝑂𝐴 #####⃗ + 𝑂𝐵 #####⃗ + 𝑂𝐶 #####⃗ + 𝑂𝐷 ######⃗ + = 𝑂𝐺 #####⃗, чем и заканчивается доказательство. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника. Выведем сперва удобную в применениях формулу для скалярного произведения произвольных векторов AB и CD. Пользуясь теоремой косинусов, находим: 2А𝐵 #####⃗ ∗ 𝐶𝐷 #####⃗ = 2 𝐴𝐵 #####⃗& 𝐴𝐷 #####⃗ − 𝐴𝐶 ######⃗+ = 2𝐴𝐵 #####⃗ ∗ 𝐴𝐷 #####⃗ − 2 𝐴𝐵 #####⃗ ∗ 𝐴𝐶 #####⃗ = 𝐴𝐵 " + 𝐴𝐷 " − 𝐵𝐷 " − 𝐴𝐵 " − 𝐴𝐶 " + 𝐵𝐶 " Итак, 2𝐴𝐵 #####⃗ ∗ 𝐶𝐷 #####⃗ = 𝐴𝐷 " + 𝐵𝐶 " − 𝐵𝐷 " − 𝐴𝐶 " . (2) Отсюда следует: А𝐵 #####⃗⟂𝐶𝐷 #####⃗ ⇔ 𝐴𝐷 " + 𝐵𝐶 " = 𝐴𝐶 " + 𝐵𝐷 " , 𝐴𝐶 #####⃗⟂𝐵𝐷 ######⃗ ⇔ 𝐴𝐷 " + 𝐵𝐶 " = 𝐴𝐵 " + 𝐶𝐷 " . (3) Таким образом, две противоположные стороны четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других 7 противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей. Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны. Введем постоянные обозначения: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = e, BD = f . Запишем два представления вектора 𝑀𝑁 #######⃗: 𝑀𝑁 #######⃗ = 𝑀𝐴 ######⃗ + А𝐷 #####⃗ + 𝐷𝑁 ######⃗ и 𝑀𝑁 #######⃗ = 𝑀𝐵 ######⃗ + 𝐵𝐶 #####⃗ + 𝐶𝑁 #####⃗. Складывая их и учитывая, что 𝑀𝐴 ######⃗ + 𝑀𝐵 ######⃗ = 0#⃗ и 𝐷𝑁 ######⃗ + 𝐶𝑁 #####⃗ = 0#⃗ (Рис. 2), получим: 2𝑀𝑁 ##########⃗ = 𝐴𝐷 #####⃗ + 𝐵𝐶 #####⃗. (4) Аналогично, 2 𝑃𝑄 #####⃗ = 𝐵𝐴 #####⃗ + 𝐶𝐷 #####⃗ и 2𝐸𝐹 #####⃗ = 𝐴𝐷 #####⃗ + 𝐶𝐵 #####⃗. Далее находим, руководствуясь формулой (2): 4𝑀𝑁 " = 𝐴𝐷 " + 𝐵𝐶 " + 2𝐴𝐷 ∗ 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 " + 𝐵𝐶 " + 𝐴𝐶 " + 𝐵𝐷 " − 𝐴𝐵 " − 𝐷𝐶 " Итак, 𝑀𝑁 " = ! # (𝑏 " + 𝑑 " + 𝑒 " + 𝑓 " − 𝑎 " − 𝑐 " ). Аналогично 𝑃𝑄 " = 1 4 (𝑎 " + 𝑐 " + 𝑒 " + 𝑓 " − 𝑎 " − 𝑑 " ), 𝐸𝐹 " = ! # (𝑎 " + 𝑏 " + 𝑐 " + 𝑑 " − 𝑒 " − 𝑓 " ). (5) Последнюю из этих формул называют формулой Эйлера. Рассмотрим некоторые частные случаи. 1) Если четырехугольник ABCD — параллелограмм, то середины E и F его диагоналей совпадают. Следовательно, 𝑎 " + 𝑏 " + 𝑐 " + 𝑑 " = 𝑒 " + 𝑓 " , (6) т. е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Рис. 2 8 2) Если четырехугольник ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, то (2) принимает вид: −2𝑎𝑐 = 𝑑 " + 𝑏 " − 𝑒 " − 𝑓 " , откуда 𝑒 " + 𝑓 " = 𝑏 " + 𝑑 " + 2𝑎𝑐 и поэтому 𝑃𝑄 " = 1 4 (𝑎 " + 𝑐 " + 2𝑎𝑐), 𝑃𝑄 = 1 2 (𝑎 + 𝑐), 𝐸𝐹 " = 1 4(𝑎 " + 𝑐 " − 2𝑎𝑐), 𝐸𝐹 = 1 2 |𝑎 − 𝑐|. 3) Треугольник можно рассматривать как вырожденный четырехугольник с двумя совпавшими вершинами. Скажем, если точки C и D совпадают, то середина N отрезка CD совпадает с ними (Рис. 3). Средняя линия MN четырехугольника становится медианой треугольника ABC, а средняя линия PQ совпадает с EF и будет средней линией треугольника ABC. Тогда e=d, b=f, c=0 поэтому из первой формулы (5) получаем формулу длины медианы треугольника 𝑀𝑁 " = ! # (2𝑏 " + 2𝑑 " − 𝑎 " ),а вторая и третья формулы дают: 𝑃𝑄 = 𝐸𝐹 = ! " 𝑎. (7) Из формул (5) вытекают еще и такие следствия: 4) Выполнено равенство 𝑀𝑁 " + 𝑃𝑄 " + 𝐸𝐹 " = 1 4 (𝑎 " + 𝑏 " + 𝑐 " + 𝑑 " + 𝑒 " + 𝑓 " . (8) 5) Средние линии четырехугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон. Рис. 3 9 6) Расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно длине его средней линии тогда и только тогда, когда сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов противоположных сторон, содержащих концы этой средней линии. 1.2. Точка Понселе. Теорема. На плоскости даны две окружности. Если существует n- угольник, вписанный в первую окружность, все стороны которого касаются второй, то таких n-угольников бесконечно много, причём любая точка первой окружности может быть его вершиной. Первую окружность мы будем обозначать через ω, вторую через γ. Выберем произвольную точку А 1 ∈ω и проведём из неё касательную к окружности γ. Эта прямая имеет вторую точку пересечения с окружностью ω, обозначим её А 2. Из точки А 2 можно провести две касательные к γ. Одна из них уже есть, это А 2 А 1. Проведём вторую. Она пересекает окружность ω второй раз в некоторой точке А 3. Проведём вторую касательную из точки А 3 и т. д. Так выглядит процесс Понселе построения ломаной, вписанной в окружность ω и описанной около γ. Теорема Понселе утверждает, что если процесс Понселе замкнулся через n шагов, т. е. А n+1 = А 1, то он для любой начальной точки А 1 ∈ω, из которой можно провести касательную к γ, замкнётся через n шагов. Случай n=4: В отличие от треугольника четырёхугольник не всегда имеет вписанную и описанную окружности. Вписанно-описанные четырёхугольники – особые объекты, многие интересные факты связаны с ними. В частности, для них верен аналог формулы Эйлера-Чаппела. Перепишем сначала эту формулу так: 1 𝑅 − 𝑑 + 1 𝑅 + 𝑑 = 1 𝑟. Если каждую из трёх дробей возвести в квадрат, получим формулу для четырёхугольника: 10 Формула Фусса. Если четырёхугольник вписан в окружность радиусом R и описан около окружности радиусом r, а d – расстояние между их центрами, то 1 (𝑅 − 𝑑) " + 1 (𝑅 + 𝑑) " = 1 𝑟 " Формула доказана в 1792 году Николаем Ивановичем Фуссом (1755- 1825), академиком Санкт-Петербургской академии наук, учеником и помощником Л. Эйлера. Доказательство сложнее, чем у формула Эйлера- Чаппела. Следующее упражнение является большим вызовом для доказательства. Упражнение 1. Дана окружность, точка А на ней и точка I внутри неё. Постройте четырёхугольник ABCD, вписанный в данную окружность и описанный около некоторой окружности с центром I. Сколько решений, в зависимости от расположения точек А и I, имеет задача? Не стоит пытаться решить эту задачу с помощью формулы Фусса, построив отрезок длины r по известным R и d. Формула Фусса утверждает, что если есть вписанно-описанный четырёхугольник, то для него числа R, r и d связаны таким соотношением. Она не утверждает обратного, что если числа R, r и d связаны этим соотношение, то для них найдётся вписанно- описанный четырёхугольник. Нам это и требуется. Упражнение 1 – сложная задача, указывать решение не будем. Попытаемся обойти эту сложность и доказать теорему без неё. От этой задачи нам нужно существование четырёхугольника с вершиной А, вписанного в данную окружность и описанного около некоторой окружности с заданным центром l. Сам четырёхугольник при этом не нужен, поэтому строить его излишне. А чтобы доказать существование, воспользуемся непрерывностью. Проведём сначала внутреннюю окружность с центром I и радиусом r=R-d (Рис. 4). 11 Они будут касаться внешней окружности в некоторой точке К. Построим последовательно хорды АВ, ВС, СD, DE, касающиеся внутренней окружности. Точка Е при этом не дойдёт до точки касания и будут лежать на дуге АК. Теперь начнём непрерывно уменьшать радиус r. Если сделать его очень маленьким, то точка С вплотную приблизится к точке А, а точка Е уже перейдёт за точку А. Таким образом, обязательно настанет момент, когда Е=А, то есть четырёхугольник ABCD будет описан около окружности с центром l. Теперь доказываем теоремы Понселе для n=4. Взяли произвольную точку А’ внешней окружности, для неё существует вписанно-описанный четырёхугольник А’B’C’D’ с центром вписанной окружности I. Применив формулу Фусса, приходим к выводу, что у этого четырёхугольника значение радиуса r такое же, как у четырёхугольника ABCD, поскольку у него такие же R и d. Таким образом, он описан около той же окружности. Это доказательство можно было бы применить к другим n, если бы у нас были формулы для вписанно-описанных n-угольников, связывающие R, r и d. Например, для n=5. 1.3. Пьер Вариньон и его теорема Пьер Вариньон (1654 — 22.12.1722), французский механик и математик, родился в г. Каенне во Франции. Изучал философию и математику. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. Наибольшее значение имеют Рис. 4 12 работы Вариньона по геометрической статике. В 1687 г. в работе «Проект новой механики...» Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вариньона. Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны) и гласит: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей. Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны (многоугольник – простая замкнутая ломаная). Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники. Рассмотрим доказательство теоремы для выпуклого четырёхугольника. Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Доказательство: Рис. 5 Рис. 6 13 1) К и L – середины сторон АD и AB, значит КL – средняя линия треугольника АВD, поэтому отрезок КL параллелен диагонали BD и равен её половине. 2) M и N – середины сторон BC и CD, значит MN – средняя линия треугольника BDС, поэтому отрезок MN параллелен диагонали BD и равен её половине. 3) Таким образом, MN || KL и KL = MN , значит четырехугольник KLMN – параллелограмм по признаку. Теорема доказана. Следствие. В любом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам. Действительно, в этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма, а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка – центр симметрии параллелограмма). Заметим, что: 1) Если ABCD – прямоугольник, то KLMN – ромб; 2) Если ABCD - ромб, то KLMN – прямоугольник; 3) Если ABCD - квадрат, то KLMN - квадрат; 4) Если ABCD – равнобедренная трапеция, то KLMN - ромб. Однако обратные утверждения нельзя считать верными. Справедливость теоремы Вариньона не зависит от выпуклости четырёхугольника. Теорема Вариньона и следствие из неё остаются верными и для невыпуклого четырехугольника, и для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной, в последнем случае может оказаться, что параллелограмм KLMN «вырожденный» - точки K, L, M, N лежат на одной прямой) (доказательство аналогично 14 рассмотренному выше). Оказывается, что даже не обязательно, чтобы исходный четырёхугольник был плоский, т. е. его вершины не обязаны попадать в одну плоскость, а теорема Вариньона всё равно верна! (рис. 5). Четырёхугольник, вершины которого не лежат в одной плоскости, называют пространственным. Пространственный четырёхугольник можно получить, вырезав из бумаги четырёхугольник ABCD и согнув его по диагонали под некоторым углом. при этом ясно, что средние линии KL и MN треугольников ABC и ADC остаются по-прежнему их средними линиями и будут параллельны отрезку АС и равны АС/2 (здесь используется тот факт, что для пространства остаётся верным основное свойство параллельных прямых: если две прямые KL и MN параллельны третьей прямой AC, то KL и MN лежат в одной плоскости и параллельны между собой). Таким образом, точки K, L, M, N – вершины параллелограмма; тем самым отрезки KM и LN пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Вместо четырехугольника здесь можно говорить о тетраэдре - треугольной пирамиде АВСD: середины К, L, М, N его ребер АВ, АС, СD и DА всегда лежат в одной плоскости. Разрезав тетраэдр по этой плоскости, получается параллелограмм KLMN, две стороны которого параллельны ребру АС и равны AC/2, а две другие - параллельны ребру ВD и равны BD/2. Рис. 7 15 Такой же параллелограмм – «среднее сечение» тетраэдра – можно построить и для других пар противоположных рёбер. Каждые два из этих трёх параллелограммов имеют общую диагональ. При этом середины диагоналей совпадают. Таким образом, получаем интересное свойство тетраэдра: в тетраэдре 3 отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам (на чертеже отрезки KM, LN и PQ). Итак, мы показали, что теорема Вариньона верна для выпуклого, невыпуклого, пространственного четырёхугольников, а также для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной и тетраэдра. 1.4. Теорема и неравенство Птолемея Теорема. Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений его противолежащих сторон равна произведению его диагоналей. То есть, если ABCD – вписанный четырёхугольник, то |AB|*|CD|+|BC|*|AD|=|AC|*|BD|. Для доказательства рассмотрим такую точку М на диагонали BD, что ∠DCM = ∠ACB (рис.1а) Затем, учитывая равенство вписанных углов, используем две пары подобных треугольников: ⃤ АВС подобен ⃤ DMC и ACD подобен ВСМ. Обобщением теоремы Птолемея является неравенство Птолемея, которое формируется следующим образом: в любом четырёхугольнике АВСД (в том числе, и в невыпуклом или «вырожденном») |𝐴𝐵| ∗ |𝐶𝐷| + |𝐵𝐶| ∗ |𝐴𝐷| ≥ |𝐴𝐶| ∗ |𝐵𝐷|. Доказательство: Пусть точки В’, С’ и D’ лежат на лучах АВ, АС и АD, причём |АВ’| = ! |АВ| , |АС|’ = ! |АС| , |𝐴𝐷’| = ! |()| (Рис 1б) Рис. 8 16 Тогда |(*’| |(,| = ! |(*|∗|(,| = |(,’| |(*| , значит, треугольники АВ’С’ и АСВ (по II признаку). Следовательно, |𝐵’𝐶’| = |*,| |(*|∗|(,| Аналогично, из подобия треугольников АС’D’ и АDC получим, что |𝐶’𝐷’| = |,)| |(,|∗|()| , а из подобия треугольников АВ’𝐷’ и АВС получим, что |В’𝐷’| = |*)| |(*|∗|()| По неравенству треугольника |B’C’| + |C’D’| ≥ |B’D’|. Подставив полученные выражения в это неравенство и освободившись от знаменателя, получим требуемое. Выясним, когда достигается равенство. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точки B’, C’ и D’ лежат на одной прямой, то есть ∠ B’C’A + ∠D’C’A = 180 °. Это равносильно тому, что сумма углов В и D данного четырехугольника равна 180 °, то есть ABСD – вписанный. 1.5 . Прямая Эйлера Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. М – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон (центроид четырёхугольника), О – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, Н – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BCP, APB и CPD. Тогда М – середина OH. Доказательство: Пусть O 1 – середина AC, а O 2 – середина BD. Несложно показать, что точка М — середина отрезка O 1 O 2 (понятно, что М — центр масс системы 1А, 1В, 1С, ID. Рассмотрим подсистемы 1А, 1С и 1B, 1D, которые эквивалентны подсистемам 2O 1 , 2O 2 Очевидно, четырехугольник, образованный ортоцентрами, есть параллелограмм, стороны которого лежат на перпендикулярах, проведенных из вершин четырехугольника к соответствующим диагоналям. Поэтому Н — точка пересечения диагоналей этого параллелограмма и делит их пополам. 17 Докажем, что прямая НO 2 параллельна OO 2, или, иначе говоря, перпендикулярна диагонали BD. Рассмотрим прямую, перпендикулярную этой диагонали и проходящую через Н и покажем, что она проходит и через точку O 1 . Пусть наша прямая пересекает отрезок AH 4 в точке К. Тогда она является средней линией в треугольнике AH 2 H 4 , и потому К — середина AH 4. А следовательно, наша прямая будет средней линией и в треугольнике AH 4 C, и потому пройдет через O 1. Рассуждая совершенно аналогично, убеждаемся в том, что прямая НO 2 параллельна OO 1 , т.е. НO 1 ОO 2 — параллелограмм, причем М — точка пересечения его диагоналей. Отсюда следует, что точки О, М, Н лежат на одной прямой, и /0 01 = 1. Заметим, что задача допускает очевидное обобщение: Пусть М — точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, О — точка пересечения некоторых двух прямых, проходящих через середины диагоналей, Н — точка пересечения диагоналей параллелограмма, полученного при пересечении прямых, проходящих через вершины четырехугольника, и соответственно параллельных указанным двум «серединным» прямым. Тогда М — середина ОН. Пусть четырехугольник ABCD можно вписать в окружность, и H a — ортоцентр треугольника BCD. Аналогично определим точки H b , H c , H d . Тогда прямые AH a , BH b , CH c , DH d пересекаются в точке Н, и М (центроид) является серединой ОН (О — центр описанной около четырехугольника окружности). Рис. 9 18 Доказательство: Если четырехугольник вписан в окружность, то О совпадает с центром этой окружности, которая также будет описана около каждого из четырех треугольников. Пусть, например, M a — точка пересечения медиан треугольника BCD. Несложно показать, что точка М делит отрезок AM a в отношении 3 : 1 (рассмотрим подсистемы 1А и 1С, 1 В, 1D, которые эквивалентны подсистемам 1А, 3M a ). С другой стороны, точки H a , M a , О лежат на одной прямой (прямой Эйлера треугольника BCD), причем 1202 /02 = " ! . Отсюда немедленно следует (проще всего из геометрии масс), что прямая AH a пересекает прямую ОМ в такой точке H’, что /0 1’0 = 1. Из предыдущей теоремы теперь следует, что точки H’ и H совпадают. Точно так же доказывается, что и три другие прямые пройдут через точку Н. 1.6. Теорема Брианшона и ее продолжение Среди четырехугольников есть такие, которые не требуют уточнения, выпуклый он или невыпуклый. Это описанные четырехугольники. Известно, что центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. Чтобы все биссектрисы пересеклись в одной точке, необходимо выполнение критерия для сторон a+с=b+d. В описанном четырехугольнике интересным свойством обладает точка пересечения диагоналей. Известна теорема Шарля Жульена Брианшона (1783—1864) для четырехугольника: В описанном четырехугольнике прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, проходят через точку пересечения его диагоналей. Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, найдем отношение, в котором точка пересечения диагоналей делит сами диагонали. Для этого нужно напомнить некоторые формулы площади четырехугольников. На рисунке 10 в четырехугольнике проведены перпендикуляры из двух вершин и из точки пересечения диагоналей к стороне. 19 Выпишем отношения площадей треугольников: 𝑆 𝐴𝐵𝐷 𝑆 𝐴𝐵𝑀 = 𝐷𝑁 𝑀𝑄 = 𝐵𝐷 𝐵𝑀 = 𝑆 𝐵𝐶𝐷 𝑆 𝐵𝐶𝑀. Из принципа равных отношений следует, что 𝑆 𝐴𝐵𝐷 + 𝑆 𝐵𝐶𝐷 𝑆 𝐴𝐵𝑀 + 𝑆 𝐵𝐶𝑀 = 𝑆 𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 𝐷𝑁 𝑀𝑄. Таким образом, площадь четырехугольника равна 𝑆 = 1 2 𝐴𝐵 ∗ 𝐷𝑁 ∗ 𝐶𝑃 𝑀𝑄 . Для площади описанного четырехугольника выпишем известную формулу площади: 𝑆 = √𝑎𝑏𝑐𝑑 ∗ sin 3 45 " Из рисунка 10 следует, что DN=d*sinα и CP=b*sinβ, следовательно 𝑆 = ! " 𝑎𝑏𝑑 6789∗678: 0; Таким образом, 𝑀𝑄 = ! " p 2<= > ∗ 6789∗678: 678 !"# $ Учитывая, что О — это центр вписанной окружности, выпишем все стороны четырехугольника через радиус вписанной окружности и функции углов: 𝑎 = 𝑟 ∗ q𝑐𝑡𝑔 𝛼 2 + 𝑐𝑡𝑔 𝛽 2v = 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 2 ; 𝑏 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 + 𝛾 2 𝑠𝑖𝑛 𝛾2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 2 ; Рис. 10 20 𝑐 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛾 + 𝛿 2 𝑠𝑖𝑛 𝛾2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛿 2 ; 𝑑 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛿 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛿 2 Теперь вернемся к теореме Брианшона. На рисунке 11 показан описанный четырехугольник, где x, y, z, t — отрезки касательных, равные соответственно r*ctg 9 " ; r*ctg : " ; r*ctg ? " ; r*ctg @ " , а P, Q и E, F – точки касания. Для отрезков МР и МQ в треугольниках запишем векторные равенства: 𝑀𝑃 ######⃗ = A B4A 𝑀𝐶 ######⃗ + B B4A 𝑀𝐷; ########⃗ 𝑀𝑄 ######⃗ = C C4D 𝑀𝐵 ######⃗ + D C4D 𝑀𝐴 ######⃗. Перепишем эти равенства в другом виде: 𝑃𝑀 ######⃗ = A B4A 𝐶𝑀 ######⃗ + B B4A 𝐷𝑀 ######⃗ = AE % $ AE % $ 4AE # $ 𝐶𝑀 ######⃗ + AE # $ AE % $ 4AE # $ 𝐷𝑀 ######⃗ ; 𝑀𝑄 ######⃗ = AE & $ AE & $ 4AE ! $ 𝑀𝐴 ######⃗ + AE ! $ AE & $ 4AE ! $ 𝑀𝐵 ######⃗. Воспользуемся теперь полученным ранее результатом для отношения отрезков диагоналей: 𝐶𝑀 = 𝑀𝐴 ∗ AEF & $ G AEF % $ G и 𝐷𝑀 = 𝑀𝐵 ∗ AE ! $ AE # $ Таким образом, выражения для векторов будут иметь вид: 𝑃𝑀 ######⃗ = AE & $ ∗>H6 % $ ∗>H6 # $ 678 %"# $ 𝑀𝐴 ######⃗ + AE ! $ ∗>H6 % $ ∗>H6 # $ 678 %"# $ 𝑀𝐵; ########⃗ Рис. 11 21 𝑀𝑄 ######⃗ = 𝑡𝑔 𝛼2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 2 𝑀𝐴 ######⃗ + q𝑡𝑔 𝛽2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 2v 𝑠𝑖𝑛 q𝛼 + 𝛽 2 v 𝑀𝐵 ######⃗. Можно заметить, учитывая одинаковые знаменатели в этих формулах, что оба вектора коллинеарные и связаны равенством: 𝑀𝑄 ######⃗ = 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 2 𝑐𝑜𝑠 𝛾2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛿 2 𝑃𝑀 ######⃗ . Следовательно, прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон четырехугольника, проходят через точку пересечения его диагоналей. Кроме того, в теореме Брианшона имеем важное продолжение. Мы получили отношение, в котором делятся отрезки, соединяющие точки касания окружности со сторонами: 0; 0I = >H6 & $ ∗>H6 ! $ >H6 % $ ∗>H6 # $ ; 0J 0K = >H6 & $ ∗>H6 # $ >H6 % $ ∗>H6 ! $ Рассмотрим случай трапеции, когда С=180-β и B=180-α, где α и β – углы при основании трапеции (Рис. 12). Отношения, в которых делятся отрезки, включая диагонали, равны: 0, 0( = *0 0) = 0L 01 = 𝑡𝑔 9 " • ∗ 𝑡𝑔 : " • ; 𝑀𝐸 𝑀𝐹 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛽. Рис. 12 22 Первые два равенства можно было получить и без общих формул. Учитывая, что 𝐴𝐷 = 𝑟 𝑐𝑡𝑔 9 " + 𝑐𝑡𝑔 : " • ; 𝐵𝐶 = 𝑟 𝑡𝑔 9 " + 𝑡𝑔 : " •; 𝐴𝐻 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑡𝑔 9 " ; 𝐻𝐷 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑡𝑔 : " , получаем те же отношения из подобия треугольников. Трапеция интересна еще и тем, что точка пересечения диагоналей и центр вписанной окружности лежат на диаметре, перпендикулярном основаниям трапеции. Таким образом, получен новый результат, дополняющий теорему Брианшона, а также приведен один из вариантов ее доказательства. Кроме того, для описанных четырехугольников найдены соотношения, в которых диагонали делятся точкой пересечения. 23 |