Задача 21. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём
∠ACD=90◦, ∠ACB=∠BAD, AD=2, CD=
T
R
. Найдите ВС.
Решение:
Из условия следует, что АD – диаметр,
∠AВD=90◦, AB=BD.
Следовательно, треугольник ABD - равнобедренный прямоугольный, откуда
AB=BD=√2.
Далее, из прямоугольного треугольника ACD находит катет АС: АС=
U
R
Осталось применить теорему Птолемея:
2 ∗ ВС + √2 ∗
T
R
=
U
R
∗ √2
ВС =
√"
R
Ответ:
√"
R
Рис. 25
37 Задача 22. Докажите, что если два противоположных угла четырёхугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали. Доказательство: Пусть углы B и D четырёхугольника ABCD тупые. Тогда точки B и D лежат внутри окружности с диаметром AC. Так как расстояние между любыми двумя точками, лежащими внутри окружности, меньше её диаметра, то BD < AC. Задача 23. Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD. а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности. б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c. Доказательство: а) Четырехугольник ABNM вписан в окружность и его стороны AM и BN параллельны, следовательно, ABNM ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда MN = AB, но CD = AB, значит, и Рис. 26 Рис. 27
38 четырехугольник CDMN ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.
Решение: б) Положим AD = x. Так как DK ― касательная к данной окружности, а
DA ― секущая, то
𝐷𝐾
"
= 𝐴𝐷 ∗ 𝑀𝐷 = 𝑏𝑥. Рассуждая аналогично, находим
𝐶𝐾
"
= 𝑐𝑥. Тогда CD = √𝑏𝑥 + √𝑐𝑥, а значит, AB=MN=√𝑏𝑥 + √𝑐𝑥.
Пусть BH ― высота равнобедренной трапеции ABNM. Тогда:
𝐵𝑀
"
=
𝐴𝐵
"
+ 𝐴𝑀 ∗ 𝐵𝑁 (по теореме Птолемея).
Откуда
𝑎
"
= &√𝑏𝑥 + √𝑐𝑥+
"
+ (𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) = 𝑥
"
+ 2𝑥√𝑏𝑐 + 𝑏𝑐 =
&𝑥 + √𝑏𝑐+
"
Тогда a= x+√𝑏с, и, таким образом, x= a-√𝑏с.
Ответ: x= a-√𝑏с.
Задача 24. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке
A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно
AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке
C. а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
Доказательство: а) Обозначим
∠BAD = ∠ PAB = α. Поскольку ABPQ и CDPQ — вписанные четырёхугольники.
Рис. 28
39
∠BQP=180°- α,
∠CQP=180°-∠BQP=180°-(180°- α)= α,
∠ADC=∠PDC=180°-∠PQC=180°- α.
Значит,
∠BAD + ∠ADC = 180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
Решение: б) Пусть R — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 2R. По теореме синусов:
BP=2*2Rsin
∠BQR=4Rsin(180°- α)=4Rsin α,
PC = 2Rsin
∠CQP=2Rsin α.
Следовательно,
*I
I,
=
#6782
"W6782
= 2.
Ответ: 2.
Задача 25. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.
Доказательство:
1.S
ABCD
= S
LMNK
+ S
LKD
+ S
ALM
+ S
BMN
+ S
KNC
2.Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL – параллелограммы, то
S
ALM
= S
MOL
, S
MBN
= S
MON
, S
NCK
= S
KON
, S
LKD
= S
LOK
3.Отсюда получаем, что S
ABCD
= 2 S
LMNK
, что и требовалось доказать.
Задача 26. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найдите площадь
ABCD, если KL=6, KM=4√3,
∠MKL=30°.
Решение:
Рис. 29
40 1) Пусть точки K , L , M и N – середины AВ , BC , CD и AD, тогда получившийся четырехугольник KLMN – параллелограмм Вариньона, следовательно S ABCD =2S KLMN 2) Проведем высоту MF к основанию KL, тогда S KLMN = KL*MF ⃤ KMF – прямоугольный и имеет ∠MKL =30° , следовательно катет, лежащий против ∠=30° равен половине гипотенузы ⇒ ML = 0,5KM=2√3 S KLMN = 6*2√3=12√3 S ABCD =12√3*2=24√3 Ответ: S ABCD = 24√3. Задача 27. Одна из средних линий четырехугольника ABCD равна а . Его диагонали равны 3/2а и 5/2а. Найдите площадь четырехугольника ABCD. Решение: 1)Пусть в четырехугольнике ABCD LN = a, AC = S2 " , BD = R2 " Тогда, KL = ! " AC = S2 # и KN = ! " BD = R2 # 2) По формуле Герона площадь треугольника KLN =√ S2 " ∗ 2 " ∗ S2 # ∗ 2 # • = S2 $ U Значит, S ABCD = 4 SKLN = S2 $ " Ответ : S ABCD = S2 $ " Задача 28. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны. Доказательство: Рис. 30
41
Пусть M, N,K,L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD. Тогда MN – средняя линия треугольника ABC и
𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐶, KL – средняя линия треугольника ADC и 𝐾𝐿 ∥ 𝐴𝐶. Отсюда, 𝑀𝑁 ∥
𝐾𝐿.
Аналогично, ML – средняя линия треугольника ABD и
𝑀𝐿 ∥ 𝐵𝐷, NK – средняя линия треугольника BCD и
𝑁𝐾 ∥ 𝐵𝐷. Отсюда, 𝑀𝐿 ∥ 𝑁𝐾.
По определению MNKL – параллелограмм, но по условию MK=NL, поэтому MNKL – прямоугольник. Тогда
𝑀𝑁 ⊥ 𝑁𝐾, но MN и NK параллельны сторонам AC и BD, значит и
𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, что и требовалось доказать.
Задача 29. В четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Докажите, что диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны.
Доказательство:
1)
⃤ BEF ⃤ BAC и ⃤ DHG ⃤ DAC, следовательно EF || HG || AC.
Аналогично со сторонами EH и FG:
2) Т.к. EG=FH, то из этого следует, что четырехугольник EFGH является параллелограммом Вариньона и прямоугольником =) EF
⊥EH,
FG
⊥GH
3) Т.к.
⃤ BEF ⃤ BAC =) EF||AC и ⃤ AEH ⃤ ABD ⇒ BD || EH
Поэтому EF
⊥EH и AC⊥BD ч.т.д.
Задача 30. Последовательные стороны четырехугольника равны a, b, c, d. Докажите, что его площадь не превосходит
2>4<=
"
Решение:
1)
Разрежем четырехугольник по диагонали (Рис.31).
Рис. 31
Рис. 32
42 2)
Перевернем одну из частей «на другую сторону» и склеим обе части по линии разреза. Получим новый четырехугольник (Рис. 32) той же площади.
3)
Если четырехугольник выпуклый, то его можно диагональю разбить на два треугольника, один из которых имеет стороны a и c, а другой –b и d. Он мог оказаться и невыпуклым, но тогда он целиком покрывается одним из треугольников.
4)
Осталось доказать, что площадь нового четырехугольника не превосходит
2>4<=
"
5)
Это следует из того, что новый четырехугольник можно разрезать диагональю на треугольник со сторонами a и c (площадь которого не превосходит
2>
"
и треугольник со сторонами b и d (площадь которого не превосходит
<=
"
. Доказано.
43 Заключение Следует отметить, что свойства замечательных точек и линий четырёхугольника, широко используются при решении различных задач. Знания, полученные при изучении данной темы, учащиеся смогут использовать в своей учебной практической деятельности, самостоятельно применяя изученные теоремы при решении определенных задач. Так же стоит отметить, что применение свойств замечательных точек и линий четырёхугольника в изучении математики может оказаться весьма эффективным. Знание их свойств значительно ускоряет решение многих геометрических задач. В данной курсовой работе: • Изучен центроид четырёхугольника, точка Понселе, прямая Эйлера. • Рассмотрены теоремы Вариньона, Птолемея и Брианшона. • Подготовлена подборка задач с решением по данной теме из школьного курса геометрии.
44
Список использованной литературы
• http://fizmatege.ru/wp- content/uploads/2015/08/EGE_2013_Matematika_Zadacha_S4__Gordin_R_
K_P.pdf
• https://myotveti.ru/wp- content/uploads/2020/07/Matematika_Geometria_EGE-
2020_Profilny_16_zadanie.pdf
• https://kvant.ras.ru/pdf/2017/2017-12.pdf
• https://www.geometry.ru/articles/fillipovsky_2parallelogramm.pdf
• https://geometry.ru/articles/protasov_poncelet.pdf
• http://m.mathnet.ru/links/07aca1a70f2d9a1c805a4c624e84c7c8/mp138.pdf
• https://math.ru/lib/files/pdf/planim5.pdf?ysclid=l27qpncz7u#page154
• https://math.ru/lib/files/pdf/geometry/Ponarin-I.pdf
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004.
|
Скачать 7.44 Mb.