Функция полезности. Тема Функция полезности
 Скачать 157.68 Kb.
|
Тема 4. Функция полезности. Пусть заданы критерии K 1 ,…,K n ; X = { x | x = (x 1 ,…,x n ) } – множество векторых оценок вариантов по этим критериям. Пусть на X задано R – отношение предпочтения. Числовая функция f : X → R , называется функцией полезности (ценности, предпочтительности), если она обладает следующим свойством: f(x) ≥ f(y) ⇔ x R y. Если известна функция полезности, то поиск оптимального варианта сводится к задаче нахождения x* = arg max f(x), x ∈X – аргумента максимума функции полезности на множестве X. Как найти функцию полезности? Методы построения функции полезности делятся на эвристические и аксиоматические К эвристическим методам можно отнести метод главного критерия и метод обобщенного критерия Метод главного критерия сводится к оптимизации по одному выбранному критерию, при условии, что остальные критерии не больше (или не меньше) приемлемых значений. Метод обобщенного критерия заключается в свёртке набора критериев в числовую функцию, которая и будет являться функцией полезности. Виды свёрток: 1) аддитивная свёртка : f = α 1 K 1 +…+ α n K n ; 2) мультипликативная свёртка : f = exp( α 1 ln(K 1 )+…+ α n ln(K n )) = = 1 1 n n K K α α ⋅ ⋅ ; 3) приведенная свёртка : f = min(K i / α i ) по всем i=1…n (или f = max(K i / α i ) по всем i=1…n). Аксиоматические методы построения функции полезности – это формальные методы, основанные на том, что формулируются специальные предположения (аксиомы) о свойствах предпочтения, выполнение которых гарантирует существование функции полезности конкретного вида. Обычно, при использовании таких методов функцию полезности строят в аддитивном виде: f = λ 1 f 1 +…+ λ n f n (*) как сумму функций полезности по каждому критерию с некоторыми весовыми коэффициентами λ 1 ,…, λ n Пусть K I ⊂ K = {K 1 ,…,K n } – подмножество множества критериев, т.е. группа критериев с номерами из множества I = {i 1 ,…,i m }. Ī = {1,…,n}\I. Тогда K Ī – все остальные критерии, а векторная оценка x представляется в виде (x I ,x Ī ). Говорят, что критерии K I не зависят по предпочтению от критериев K Ī , если предпочтения для любых двух оценок x = (x I ,x Ī ) и x’ = (x I ’,x Ī ), содержащих одинаковые компоненты с номерами из Ī, не зависят от самих значений этих компонент. Пример 1. n = 5, I = {1,3,4}, Ī = {2,5}. x = (7,1,2,8,2) = (x I ,x Ī ), где x I = (7,2,8), x Ī = (1,2). y = (4,1,8,3,2) = (y I ,y Ī ), где y I = (4,8,3), y Ī = (1,2). Таким образом, x Ī = y Ī Если критерии K I не зависят по предпочтению от критериев K Ī и оценка x предпочтительнее, чем оценка y, то и, например, оценка x 1 = (7,4,2,8,5) будет предпочтительнее, чем y 1 = (4,4,8,3,5), потому что их значения по критериям из группы K I совпадают с соответствующими значениями оценок x и y, а оценки по остальным критериям одинаковые. Таким образом, вместо x Ī = y Ī = (1,2) можно подставить любую оценку (a,b) и предпочтение сохранится: (7,a,2,8,b) предпочтительнее, чем (4,a,8,3,b). Критерии K 1 ,…,K n такие, что любой набор K I из них не зависит по предпочтению от остальных критериев K Ī , называются взаимно независимыми по предпочтению Теорема Дебре (критерий существования аддитивной функции полезности): функция полезности может быть задана в аддитивном виде (*) тогда и только тогда, когда критерии K 1 ,…,K n взаимно независимы по предпочтению (при n ≥3). При n=2, кроме взаимной независимости критериев, требуется выполнение условия соответственных замещений (при n ≥3 оно выполняется автоматически): ∀x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,a,b,c,d если (x 1 ,x 2 ) ∼ (x 1 –a,x 2 +b) и (x 1 ,y 2 ) ∼ (x 1 –a,y 2 +c), то (y 1 ,x 2 ) ∼ (y 1 –d,x 2 +b) и (y 1 ,y 2 ) ∼ (y 1 –d,y 2 +c). Т.е., если увеличение на b и c разных значений x 2 и y 2 критерия K 2 при некотором опорном значении x 1 критерия K 1 компенсируется одним и тем же уменьшением этого значения x 1 критерия K 1 , то такие же увеличения b и c тех же значений x 2 и y 2 критерия K 2 сохраняются и при любом другом опорном значении y 1 критерия K 1 Как осуществляется проверка взаимной независимости критериев по предпочтению? Непосредственно по определению проверить независимость критериев затруднительно, т.к. даже при небольших n возникает большое число вариантов, которые надо проверить. Утверждение (Леонтьева-Гормана): если любая пара критериев { K i , K j } не зависит по предпочтению от остальных (n-2) критериев, то все критерии K 1 ,…,K n взаимно независимы по предпочтению. Таким образом, проверка сводится к установлению независимости только всех пар критериев от всех остальных критериев. Пусть необходимо проверить на независимость по предпочтению наборы K I и K Ī . Берём набор x Ī + наилучших (явно хороших) значений K Ī и подбираем (запрашиваем у ЛПР) два разных набора x I ’ и x I ’’ таких, что (x I ’, x Ī + ) (x I ’’, x Ī + ). Затем берём набор x Ī – самых плохих оценок и спрашиваем у ЛПР, сохранилось ли безразличие (x I ’, x Ī – ) (x I ’’, x Ī – )? Если нет, то критерии K I зависят от критериев K Ī Если да, повторяем процедуру еще для некоторых других x I ’ и x I ’’. Если всё время безразличие остаётся, задаём вопрос в общем виде (сохранится ли безразличие при любых наборах). Если да, то наборы критериев K I и K Ī независимы. Методы построения аддитивной функции полезности Шаговый метод совместного шкалирования. Пусть n=2 и условие соответственных замещений выполнено. f(x 1 ,x 2 ) = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) ∀(x 1 ,x 2 ) ∈X. Обозначим диапазоны изменения оценок x 1 и x 2 : x 1* ≤ x 1 ≤ x 1 * , x 2* ≤ x 2 ≤ x 2 * Полагаем f(x 1* ,x 2* ) = f 1 (x 1* ) = f 2 (x 2* ) = 0 (начало отсчета). Берем любое значение x 1 1 > x 1* достаточно близкое к нему. Устанавливаем f 1 (x 1 1 ) = 1 (единица измерения). От ЛПР требуем указать x 2 1 такое, что (x 1 1 , x 2* ) (x 1* , x 2 1 ), для этого значения также f 1 (x 2 1 ) = 1. Затем у ЛПР запрашиваем x 1 2 и x 2 2 такие, что: (x 1 2 , x 2* ) (x 1 1 , x 2 1 ) (x 1* , x 2 2 ). f(x 1 1 ,x 2 1 ) = 1+1 = 2 ⇒ f 1 (x 1 2 ) = f 2 (x 2 2 ) = 2. Далее у ЛПР запрашиваем x 1 3 и x 2 3 такие, что: (x 1 3 , x 2* ) (x 1 2 , x 2 1 ) (x 1 1 , x 2 2 ) (x 1* , x 2 3 ) ⇒ f 1 (x 1 3 ) = f 2 (x 2 3 ) = 3. И т.д. Таким образом, получаем наборы значений f 1 (x 1* ), f 1 (x 1 1 ), f 1 (x 1 2 ), f 1 (x 1 3 )… и f 2 (x 2* ), f 2 (x 2 1 ), f 2 (x 2 2 ), f 1 (x 2 3 )… по которым с помощью интерполяции строятся функции f 1 (x) и f 2 (x). Метод половинного деления. Метод находит функцию полезности в виде f(x 1 ,x 2 ) = λ 1 f 1 (x 1 )+ λ 2 f 2 (x 2 ), где f 1 (x 1* ) = f 2 (x 2* ) = 0, f 1 (x 1 * ) = f 2 (x 2 * ) = 1, λ 1 >0, λ 2 >0, λ 1 + λ 2 =1. Построим функцию f 1 ЛПР просим указать среднюю по полезности оценку x 1 0.5 ∈ [x 1* ;x 1 * ], т.е. такую, изменение полезности на [x 1* ;x 1 0.5 ] равно изменению полезности на [x 1 0.5 ;x 1 * ]. Устанавливаем f 1 (x 1 0.5 ) = 0.5. Далее аналогично получаем x 1 0.25 ∈ [x 1* ;x 1 0.5 ] ⇒ f 1 (x 1 0.25 ) = 0.25 и x 1 0.75 ∈ [x 1 0.5 ;x 1 * ] ⇒ f 1 (x 1 0.75 ) = 0.75 и т.д. С помощью интерполяции, восстанавливаем функцию f 1 по её значениям в точках x 1 0.5 , x 1 0.25 , x 1 0.75 … Функция f 2 строится аналогично. Для нахождения весового коэффициента λ 1 достаточно запросить у ЛПР пару одинаковых по предпочтительности оценок (x 1 ’,x 2 ’) ∼ (x 1 ’’,x 2 ’’) ⇒ ⇒ f(x 1 ’,x 2 ’) = f(x 1 ’’,x 2 ’’) ⇒ λ 1 f 1 (x 1 ’)+(1- λ 1 )f 2 (x 2 ’) = λ 1 f 1 (x 1 ’’)+(1- λ 1 )f 2 (x 2 ’’), а из этого равенства уже можно выразить λ 1 (а λ 2 = 1 – λ 1 ). |