Различные способы решения задач. Различные способы решения задач на сплавы. Тема Различные способы решения

• Название: Тема Различные способы решения
• Анкор: Различные способы решения задач
• Дата: 03.04.2022
• Размер: 225 Kb.
• Имя файла: Различные способы решения задач на сплавы.doc
• Тип: Документы; #438177

Андреевская основная общеобразовательная школа

Ибресинского района Чувашской Республики
Тема: Различные способы решения

задач на сплавы и смеси.

Максимова Нина Васильевна, учитель математики.

Аннотация:

Слово процент от латинского слова “pro centum”, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Предмет исследования: решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями. Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на сплавы и смеси для школьников. Работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются основные типы задач на сплавы и смеси, приводятся примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби). Свою задачу мы видели в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что в настоящее время редкий тест по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых не упоминались бы проценты. Во второй главе рассматривается выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Нами была предпринята попытка создания практического пособия по решению задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями. Это пособие ориентировано на школьников 6-11 классов. Будет полезно также выпускникам школ, и абитуриентам при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Введение.

Процентом называется сотая доля числа. Для чего нужны проценты и почему для этого введен специальный термин?

Прежде чем ответить на эти вопросы, попробуем ответить на другой: много ли соли в морской воде? Конечно, можно налить в ведро морскую воду. Поставить его на огонь, подождав, пока вся вода испарится, собрать и взвесить оставшуюся соль. Можно ли утверждать, что у другого человека получится столько же? Видимо, нет. Его ведро может оказаться больше или меньше, оно может быть налито более или менее полно; в результате получится другое количество соли. Таким образом, наша мера солености морской воды (количество граммов соли на ведро воды) оказалось неудачной.

Возьмем другую меру - количество граммов соли на 1кг раствора. Для этого нужно до кипячения взять раствор, а потом массу полученной соли разделить на массу раствора. Пусть масса раствора 8,4кг, а масса соли 21г. Тогда получаем ответ: 2,5г соли на 1кг раствора. Если опыт повторить, то получится такая же величина.

Но почему число граммов в килограмме, а не центнеров в тонне или английских фунтов в пуде? Давайте считать число граммов в грамме, тогда же ответ получится, если считать число тонн в тонне или число пудов в пуде. При этом удобно записать результат в виде десятичной дроби, поскольку десятичные дроби удобнее сравнить между собой по величине.

Но с какой точностью находить отношение? С помощью карандаша и бумаги мы можем делить до миллионных долей, однако точность первоначальных чисел зависит от точности приборов, с которых они были получены: весов, вольтметров, спидометров и т.д. Как правило, верными можно считать лишь первые две цифры показаний этих приборов. В результате будем получать 0,27, 0,64, 0,37 и другие сотые доли числа, т. е. проценты. Была придумана и специальная запись- 27%, 64%, 37%.

Проценты были известны индийцами еще в V веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на тысячи лет позже. Их ввел бельгийский ученый С. Стевин. В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов.

Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товара, рост денежного дохода и т. д.

Со временем люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячи долей от массы самого вещества.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на сплавы и смеси, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6  классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей школы, я выяснила, что в учебнике «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, задач на сплавы и смеси, всего 6 и несколько задач имеются в дидактических материалах. В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред. Колмогорова А.Н  задач на проценты и процентную концентрацию четыре. Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в  2003, 2004, 2005 годах. Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2008 года для выпускников основной общеобразовательной школы. Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на сплавы и смеси, считаю актуальным.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Задачи на сплавы и смеси».

Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы, я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных  учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.

Предмет исследования: решение задач  на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными  дробями.

Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на сплавы и смеси для школьников.

Задачи исследования:1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу. 2) Систематизировать задачи на проценты по типам. 3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты. 4) Выявить практическое применение таких задач.5). Определить план дальнейшей работы над темой.

Практическая значимость работы.  Данное пособие по решению задач на сплавы и смеси будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Старинный способ решения задач на смешение веществ.
1.Как смешивать масла? У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен.

Приводим старинный способ решения этой задачи.

Друг под другом пишут стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине - стоимость масла, которое должно получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую картину:
6

7

10

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большой цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:
6 3

7

10 1
Из этой схемы делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорого, т. е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла ведра, а дешевого масла ведра.

2.Как смешивать чай? Некто имеет чай трех сортов - цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Вот решение из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:

« А когда случится мешати три товара из них же зделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же зде видимо есть: 5 6 6 6 12 1 5 2 1 6 8 1

Здесь предлагается взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Указанный Л. Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо метод, изложенный при решении задачи 1,применить два раза: первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а второй раз с наименьшей средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (в приведенном примере 1 и 1). Сложив затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй Раз(6+2=8), получим долю дешевого вещества в общей смеси.

Задачи на нахождение среднего взвешенного.

Задача 1. Смешали 24 кг чая по цене 125 рублей за килограмм и 16 кг чая по цене 30 рублей за килограмм. Вычислите себестоимость килограмм смеси чая и определите, по какой средней цене должен быть продан чай, чтобы получить 80 рублей сверху себестоимости?

Решение. 1. Определим себестоимость килограмма смеси чая:


2.К себестоимости товара прибавим 80р.: 3480+80=3560(р.)
3. Определим среднюю цену смеси чая:

Ответ:87р. и 89р.

Задача 2. Имеется 17 кг муки по 12 за килограмм и 23 кг муки другого сорта по

10 за килограмм. Вычислите себестоимость килограмма составленной смеси муки.

Решение. 1. Определим себестоимость килограмма составленной смеси муки:

Ответ:10р. 85к.
Задача 3. Магазин взял для компота сухие фрукты: чернослива 6 кг по цене 14р., сушеных яблок 18 кг по цене 5р., урюка 16 кг по цене 6р. за килограмм. Вычислите себестоимость за килограмм составленной смеси компота.

Решение. 1. Определим себестоимость килограмма составленной смеси компота: (р.)
Ответ: 6,75р.


Задачи на сплавы первого рода.
Золото и серебро, употребляемые в быту, никогда не бывает без примеси других металлов. Эта примесь других металлов (чаще всего медь) называется лигатурой. Проба золота или серебра показывает отношение массы чистого золота или серебра к массе всего сплава. Это отношение обычно выражается в тысячных долях. Например, проба 850 показывает, что на 1000 весовых частей сплава приходится 850 таких же частей чистого золота, то есть 0,850 массы всего сплава.

Задача1. Сплавили два слитка серебра: 700г 800-й пробы, 500г 560-й пробы и 900г меди. Какой пробы получится сплав?

Краткая запись условия задачи: 700г 800-й пробы, 500г 560-й пробы, 900 меди. Какой пробы получится сплав?

Решение. 1.вычислим, сколько чистого серебра содержится в 700г 800-й пробы:

2. Вычислим, сколько чистого серебра содержится в 500г 560-й пробы:



3. Вычислим, сколько чистого серебра содержится в двух слитках: 560г+280г=840г.

4.Вычслим, чему равна масса сплава:700г+500г+900г=2100г.

5.Вычислим пробу сплава:
Числовая формула решения:


Ответ: Проба слава 400.

Задачи на концентрацию и процентное содержание.

Решение задач на концентрацию и процентное содержание основано на использовании следующих понятий и формул:

1. Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами Масса смеси, составленной из этих веществ, равна

М ассовой концентрацией вещества А в смеси называется величина , вычисляемая по формуле:

Соответственно массовые концентрации веществ В и С в этой смеси есть

,

Очевидно

.
2. Процентными содержаниями веществ А, В и С в данной смеси называются величины , , , соответственно вычисляемые по формулам

, , .

По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых веществ (компонент) равно двум, четырем и т. д.

3. Объединим концентрации веществ в смеси определяются такими же формулами, как и массовые концентрации, только вместо масс компонент в

Этих формулах будут стоять объемы компонент .

В тех случаях, когда речь идет об объемных концентрациях, обычно предполагается, что при смешивании веществ объем смеси будет равен сумме объемов компонент. Это предположение не является физическим законом, а представляет собой соглашение, принимаемое при решении задач на объемную концентрацию.

Схемы при решении задач на смеси
Задача 1. В каких порциях надо смешать p-процентную и g-процентную кислоты. Чтобы получить r-процентный раствор.

Решение. Пусть , тогда . Если P-процентной кислоты x литров (или килограммов), а g-процентной y литров (или килограммов), то

Это уравнение очень наглядно показывает, что « проценты здесь ни при чем» - сотни сокращаются, откуда

x (r-p)= y(g-r)

и следовательно, что просто представить схематически

pg




r



g-rr-g

естественно, от большего отнимается меньшее.

Задача 2. Один раствор содержит 20% кислоты, а второй 70% кислоты. Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 литров раствора с 50%-ным содержанием кислоты?

Применим схему. (рис.2)
Итак, объемы искомых растворов относятся как 20:30=2:3

20. 
    7 0
    

50



70-50=20 50-20=30 ( рис. 2)

Отсюда по условию: 2x+3x=100

x=20

(л)

(л)

Значит, первого раствора надо взять 40л, а второго 60л.

Ответ: 40л, 60л.
Задача 2. Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго, то получится 50%-ный раствор. Если же слить300г первого раствора и 200г второго, то получится 42%-ный раствор. Определите концентрацию каждого из двух данных растворов.

Решение. Так как 100:200= x:2x, то имеет схему, изображенную на рисунке 2.
? ? 50-2x 50+x

50. 
    5 0
    

x 2x x 2x
Исходные концентрации в процентах равны соответственно 50-2x и 50+x. Соответствующая схема для второй схемы изображена на рисунке 5. По условию , откуда x=10.

50-2x 50+x

42

50+x-42=x+8

42-(50-2x)=2x-8

( рис.2)

Значит, концентрация первого раствора равна , а второго .

Ответ: 30%, 60%.
Обоснование способа решения задач на смеси.
Задача: При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140граммов 30%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора нужно было для этого взять?

Решение. Для решения этой задачи строится схема

5. 
   4 0
   

30



40-30=10

30-5=25
Из которой следует, что на 10 частей 5%-го раствора необходимо взять 25 частей 40%-го раствора. Значит, чтобы получить 140г 30%-го раствора, нужно смешать 40г первого(5%-го) и 100г второго (40%-го) растворов.

Однако не совсем понятно, почему задача решается именно так. Для того, чтобы пользоваться этой схемой сознательно, начнем решение с исследования процесса изменения концентрации. Возьмем по 100г каждого раствора и в соответствии с процентным составом разделим их содержимое на кислоту и воду

5

95

40

60

Затем сравним исходные составы с тем, что должно получиться после смешивания:

30		70

30

70

В результате сравнения приходим к выводу, что необходимо 25г воды в первом растворе заменить кислотой, а 10г кислоты во втором - водой. Так как мы можем оперировать растворами только с данными составами, напрашивается мысль об обмене 10г кислоты из второго раствора на воду из первого.

5			10

30

1 0

Вода

Кислота



Результат взаимообмен:

5	15	10

30

70

Получили необходимый состав для 100г второго раствора. Но в первом осталось еще 15г воды, которую надо заменить кислотой. Где ее взять? Возникает следующая идея: нужно взять еще 100г второго раствора, а затем 50г и выполнить те же действия. Окончательный результат выглядит так:

5

5

10

10

70

30

10

100г

30

10

100г

15

5

Таким образом, следует, что на каждые 100г первого раствора необходимо взять 250г второго, т. е. в отношении 10:25 обратном соотношению между недостатком и избытком кислот в исходных растворах. После рассмотрения принципа взаимообмена

5	5	10		10		70

30

10

Недостаток Избыт
Задача №87 (из учебника «Алгебра 7» под редакцией Г.В.Дорофеева)
Имеется творог двух сортов: жирный содержит 20% жира, а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности полученного творога, если смешали:

а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога;

б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Решение: а)

	Масса, кг	Жирность, %	Жирность, кг
Жирный творог	2	20% =0,2	2*0,2=0,4
Нежирный творог	3	5% =0,05	3*0,05=0,15
Новый состав	5		0,4+0,15=0,55

0,55:5*100% =0,11*100% =11% Ответ:11%

б)

	Масса, кг	Жирность, %	Жирность, кг
Жирный творог	3	20% =0,2	3*0,2=0,6
Нежирный творог	2	5% =0,05	2*0,05=0,1
Новый состав	5		0,6+0,1=0,7

0,7:5*100%=14% Ответ:14%

Алгебраический способ решения задач на смешивание.

1. 
   Если смешать 8кг и 2кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получится 12 %-ный раствор. При смешивании двух одинаковых масс тех же кислот получится 15%-ный раствор. Определить первоначальную концентрацию каждого раствора.
   

P %

g %

12%

+ =
8кг 2кг

P %

g %

15%

+

х х

		Общее количество, кг.	Кислота, кг.
1 случай	1 2 3	8 2 10	8 2 10
2 случай	1 2 3	X Х 2Х

Составим систему уравнений:
4p + g =60

p +g =30 3p = 30 p = 10(%)

g =30 -10 = 20(%)
Ответ:P=10%

g =20%.
Задача 2: Имеются два сплава меди и цинка. В первом случае сплаве меди в два раза больше, чем цинка, а во - втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было в два раза больше, чем меди.

Медь 2

Цинк 1

Медь 1

Цинк 5

Медь 1

Цинк 2

+ =

	Общее количество	Медь	Цинк
1 сплав	х
2 сплав	у
3 сплав	х +у

Составим уравнение:

4х+ у =2х + 2у

у =2х

Ответ:2

Литература.

1. .Быков А.А. и др. В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для    подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

 3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математике

М:   Наука, 1992.

4. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

5. Алгебра, 7, под ред. Г.В.Дорофеева, М: Просвещение,  2005

6.Алгебра, 8, под ред. Г.В.Дорофеева, М: Просвещение,  2007

7.Алгебра, 9, под ред. Г.В.Дорофеева, М: Просвещение,  2007

8. Л.П.Евстафьева. А.П.Карп Алгебра. Дидактические материалы для 7 класса общеобразовательных учреждений, М: Просвещение,  2006

6. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.

7. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

8. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.