Тема Задача Коши. Численные методы решений оду первого порядка. Метод Эйлера. Тема Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Тема Задача Коши
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Лекция №3 Рассматриваемые темы: Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде: – некоторая функция, в общем случае, нелинейная. Порядок ОДУ зависит от порядка производной от искомой функции. – производная первая, значит и порядок ОДУ – тоже первый Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Для полной постановки задачи не хватает граничных или начальных условий. В чем отличие граничных условий (ГУ) от начальных (НУ)? начальные граничные время координата Да данном этапе нам неважно что характеризует координата, по которой проводится дифференцирование. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Для полной постановки задачи не хватает граничных или начальных условий. Как определить количество граничных условий? Рассмотрим простейшее ОДУ первого порядка: Решение: константа, определяемая из ГУ Пример ГУ: при x0 = 2, y0 = 1. Значит C = –1 – это общее решение – это частное решение Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Как определить количество граничных условий? Количество граничных определяется порядком ОДУ. Для ОДУ первого порядка необходимо одно граничное условие. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Полная постановка задачи. Граничное условие (одно): Это задача Коши Требования. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Решение ОДУ будем искать в дискретном наборе точек xi, совокупность которых образует расчетную сетку, т.е. решение будет выглядеть как … x0 x1 x2 xi xn x3 … Ось ОХ Составим конечно-разностную схему. Запишем данное уравнение для узла с номером i (x = xi): Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Введем обозначения: индекс, не степень! Применим правила конечно-разностных аппроксимаций первых производных для левой части уравнения. Левая разность: подставляем в ОДУ Выражаем yi через yi–1: Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Проделаем то же самое для формул правой и центральной разностей. Правая разность: Центральная разность: Проделанные операции называются построением разностных схем. Решение ОДУ первого порядка с использованием данных расчетных формул называется методом Эйлера, а алгоритм их получения – метод конечных разностей. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Итого мы получили три рабочих формулы для решения ОДУ первого порядка: 1. 2. 3. явная схема неявная схема уточненная схема Значения функции на текущем шаге вычисляется на основе значений функций, взятых с предыдущего шага. Значения функции на текущем шаге вычисляется на основе значений функций, взятых как с предыдущего шага, так и с текущего. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Пример. Дано ОДУ первого порядка: Решить численно методом конечных разностей данное уравнение в промежутке от 1(a) до 5(b) и сравнить численное решение с аналитическим. Постановка задачи полная? Нет, не хватает граничных условий: x1 = 1, y1 = 10. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Шаг 1. Вычисление шага сетки. Будем использовать 21 узел. В данном примере есть только одна координата x, поэтому сетка будет одномерная. Вычислим шаг по формуле: h=L/(n – 1). Шаг 2. Нахождение набора значений xi : где i = 1, 2 … 10, x1 = a = 1. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Шаг 3. Составим численную схему решения для явной и неявной схем: явная схема неявная схема Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Шаг 4. Вычисление. Внимание! Именно при вычислении значения функции в следующем за первым узле необходимо граничное условие. В противном случае отсутствия граничного условия, ОДУ нельзя решить однозначно. явная схема Граничное условие Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Шаг 4. Вычисление. Внимание! Именно при вычислении значения функции в следующем за первым узле необходимо граничное условие. В противном случае отсутствия граничного условия, ОДУ нельзя решить однозначно. неявная схема Граничное условие Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. … x1 x2 x3 xi xn x4 … Ось ОХ Граничное условие … x1 x2 x3 xi xn x4 … Ось ОХ вычисляем в этом узле вычисляем в этом узле Решение уже известно Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Шаг 5. Найдем аналитическое решение интеграла ОДУ. Для нахождения константы С воспользуемся ГУ: x1 = 1, y1 = 10 – общее решение частное решение: Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Шаг 6. Вычисление относительной погрешности численного и аналитических решений (в процентах):
Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Немного более сложная ситуация возникает при использовании уточненной схемы. … x1 x2 x3 xi xn x4 … Ось ОХ В узле 2 , т.е. в точке, ближайшей к граничной, не можем использовать данное уравнение, т.к. информации об узле с номером «0» отсутствует. Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Как это лечится? … x1 x2 x3 xi xn x4 … Ось ОХ левая или правая разности уточненная схема Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера.
Получено с использованием явной схемы Тема 6. Задача Коши. Численные методы решений ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Замечание: в общем случае граничное условие может быть задано в промежутке [a, b], а не на концах отрезка. … x1 x2 x3 x5 xn x4 Ось ОХ x6 Граничное условие явная схема Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Вопрос 1: какова точность метода Эйлера? левая разность правая разность остаточный член остаточный член явная схема неявная схема Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Ошибка (погрешность), возникающая на одном итерационном шаге, называется локальной. Провести вычисление функции в одном узле сетки означает провести одну итерацию. Остаточный член≈ вторая степень Вопрос 1: какова точность метода Эйлера? Вывод: локальная погрешность метода Эйлера для явной и неявной схем имеет второй порядок Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Вопрос 1: какова точность метода Эйлера? центральная разность остаточный член уточненная схема Вывод: локальная погрешность метода Эйлера для уточненной схемы имеет третий порядок третья степень Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Вопрос 1: какова точность метода Эйлера? Задача из примера. Но не все так просто… тут погрешность уже сидит тут погрешность уже сидит с предыдущих шагов тут погрешность, которая копилась n-1 итерационных шагов локальная ошибка Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Вопрос 1: какова точность метода Эйлера? В результате к последнему итерационному шагу, т.е. в последней точке сетки, мы накапливаем локальную ошибку. Накопленная ошибка называется глобальной. тут погрешность, которая копилась n-1 итерационных шагов Итерация в последней точке Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. … x1 x2 x3 xi xn x4 … Ось ОХ Глобальная ошибка Накопление локальной ошибки локальная ошибка Вопрос 1: какова точность метода Эйлера? Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Вопрос 2: каков порядок глобальной ошибки метода Эйлера? Не происходит ли такого большого «лавинообразного» накопления локальной ошибки, что к последнему итерационному шагу решение «развалится» и мы в конечном итоге получим некорректное решение? К этому важнейшему фундаментальному вопросу в теории построении численных схем относятся такие понятия как устойчивость и сходимость. Принято говорить так: является ли численная разностная схема устойчивой и сходимой? Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Определение 1 Устойчивость – это свойство алгоритма решения задачи или самой задачи, при котором малое изменение входных данных приводит к малому изменению результата. На вопрос устойчивости стоит исследовать как (а) саму задачу (уравнение, ОДУ или что то другое), так и (б) сам метод решения (численную схему). Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Примеры неустойчивых задач. Пусть n = 10. Если погрешность в измерении (x-a) составит 10-10, то результат изменится на величину примерно равную 10-1. Вывод: задача неустойчива к малым возмущениям. Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Определение 2 Пусть yi – численное решение, полученное на сетке; пусть y*(xi) – точное (идеальное) решение. а) Разностная схема называется сходящейся, если при i стремящемся к бесконечности. б) Разностная схема называется сходящейся с порядком k, если выполняется неравенство: при i стремящемся к бесконечности. Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Итак, можно сформулировать 2 цели.
Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Введем параметр εi , характеризующий различия между точным и численным решением на i – ом шаге: Выразим εi+1 через εi . Точное решение y*(xi) представим с помощью формулы Тейлора, а численное решение с использованием явной схемы – точное решение – численное решение Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. C L Модуль суммы меньше или равен сумме модулей Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. В узле 1, в котором задано ГУ , В узле 2: В узле 3: В узле 4: В узле n: Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. В узле n: Что это за конструкция? Это геометрическая прогрессия! Поскольку n – большое число, то без потери общности примем, что Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Сделаем обратную замену. длина сетки Вспомним первый замечательный предел: при n – большое число, значит 1/α стремится к нулю. Удовлетворяет требованию Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Это глобальная ошибка, накопленная к n-му итерационному шагу. Ответы на вопросы: 1) выяснить, является ли метод Эйлера сходящимся? Да! Метод Эйлера является сходящимся с первым порядком по шагу. Его можно смело использовать для построения численных схем Тема 7. Локальная и глобальная ошибки. Устойчивость и сходимость метода Эйлера. Ответы на вопросы: 2) Определить порядок глобальной ошибки метода Эйлера. Порядок глобальной ошибки Эйлера – первый. Порядок глобальной ошибки на один порядок меньше локальной ошибки. Это общее правило для большинства численных схем. Спасибо за внимание |