Алгебра_Шпаргалка. _17_Алгебра_Шпаргалка__qomi. Теорема Виета Если у квадратного уравнения
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
17 задание из ЕГЭ 2022 Теорема Виета Если у квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 есть корни x 1 , x 2 , то x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a Обратная теорема Виета Если известно, что сумма некоторых чисел x + y = A , их произведе- ние xy = B , то если такие числа существуют, они являются корнями квадратного уравнения p 2 − Ap + B = 0 Примеры, где встречается • Найти сумму квадратов корней уравнения: x 2 1 + x 2 2 = x 2 1 + 2x 1 x 2 + x 2 2 − 2x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2x 1 x 2 = b 2 a 2 − 2c a • Определить, когда ровно один из двух корней положительный: D > 0 x 1 x 2 = c a < 0 • Определить, когда имеет единственное решение система: x 2 + y 2 = A x + y = B Так как A = x 2 + y 2 = ( x + y) 2 − 2xy = B 2 − 2xy , то xy = 0, 5 (B 2 − A) , следовательно, единственное решение у системы, если единственное решение имеет уравнение p 2 − Bp + 0, 5 (B 2 − A) = 0 Метод хорошего/плохого корня 1 Находим все потенциальные корни, которые может иметь исходное уравнение. Каждый из них будет корнем уравнения, если удовлетворяет “своим” условиям: ОДЗ и условию задачи (например, лежит в некотором отрезке). Пусть таких корней два. 2 Назовем корень хорошим, если он удовлетворяет “своим” условиям, в противном случае — плохим. Найдем значения параметра a , при которых корень хороший. Пусть при a ∈ A 1 корень x 1 хороший, при a ∈ A 2 корень x 2 — хороший. Тогда при a ∈ R\A 1 корень x 1 — плохой, при a ∈ R\A 2 корень x 2 — плохой. 3 Смотрим, сколько корней должно иметь уравнение по условию задачи. Если требуется наличие одного корня, то это возможно в одном из трех случаев: • x 1 — хороший, x 2 — плохой a ∈ A 1 a ∈ R\A 2 • x 1 — плохой, x 2 — хороший a ∈ A 2 a ∈ R\A 1 • x 1 = x 2 — хорошие и совпадающие a ∈ A 1 x 1 = x 2 Уравнения имеют общий корень Если уравнения f (x, a) = 0 и g(x, a) = 0 имеют общий корень, то система f (x, a) = 0 g(x, a) = 0 имеет решения ( x 0 ; a 0 ) . Причем число решений системы — число об- щих корней уравнений, где a 0 — значение параметра, при котором у уравнений x 0 — общий корень. Квадратичная функция Пусть y = x 2 + bx + c с вершиной x 0 имеет две точки пересечения с осью абсцисс. Введем названия: • I – место левее меньшего корня • II – меньший корень • III – место между корнями • IV – больший корень • V – место правее большего корня Положение точки k относительно корней • I : D > 0 y(k) > 0 x 0 > k • III : y(k) < 0 ⋆ • V : D > 0 y(k) > 0 x 0 < k ⋆ условие D > 0 необязательно, так как если у параболы с ветвями вверх есть хоть одна точка, где ее значение отрицательно, то она автоматически пересекает ось абсцисс в двух точках. Примеры, где встречается • Оба корня уравнения y(x) = x 2 + 2(a − 2)x − 4a + 5 = 0 не меньше − 1 То есть − 1 должна располагаться в I или II местах, следовательно, D > 0 y(−1) ⩾ 0 x 0 > −1 • Один корень уравнения y(x) = x 2 + 2(a − 2)x − 4a + 5 = 0 заключен в [ 2; 4) , а второй удовлетворяет x ⩽ −3 То есть − 3 должна располагаться в II или III местах, 2 — в III или IV, 4 — в V месте, следовательно, D > 0 ⋆ y(−3) ⩽ 0 y(2) ⩽ 0 y(4) > 0 x 0 > 4 ⋆ ⋆ необязательно Модульные неравенства • |A| > |B| ⇔ A 2 > B 2 • |A| > B ⇔ A > B A < −B • |A| < B ⇔ A < B A > −B Решение уравнение через исследование функций Любое уравнение можно свести к виду f (x) = 0 или f (x) = g(x) Опишем некоторые свойства функций, помогающие в решении. 1 Сумма двух возрастающих функций – возрастающая функция; 2 Если f (x) – возрастающая функция, то − f (x) – убывающая функция; 3 Если f (x) – возрастающая функция, то f (x) + c – возрастающая функция ( c = const ). 4 Если функция f (x) — строго монотонна на X , то из равенства x 1 = x 2 ( x 1 , x 2 ∈ X ) следует f (x 1 ) = f (x 2 ) , и наоборот. 5 Если функция f (x) — строго монотонна на X , то уравнение f (x) = c , где c — некоторое число, всегда имеет не более одного решения на X 6 Если на [ a; b] f (x) – возрастающая функция, а g(x) – убывающая функция, то уравнение f (x) = g(x) на [ a; b] имеет не более одного корня. 7 Если функция f (x) — неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке [ a; b] , причем на концах отрезка она принимает значения f (a) = A, f (b) = B , то при C ∈ [A; B] ( C ∈ [B; A] ) уравнение f (x) = C всегда имеет хотя бы одно решение. 8 Если функция f (x) непрерывна, то область значений функции будет содержать отрезок [ A; B] , если имеют решения равенства f (x) = A и f (x) = B 9 Композиция функций одинакового характера монотонности — возрастающая, разного — убывающая. То есть если f (x), g(x) – возрастающие функции, h(x), p(x) – убывающие (на некотором множестве), то f (g(x)) – возрастающая, f (h(x)) – убывающая, h(f (x)) – убывающая, h(p(x)) – возрастающая. 10 Если f (x) – возрастающая и знакопостоянная на некотором множестве (либо положительна, либо отрицательна), то 1 f (x) – убывающая. Аналогично с убывающей. 11 Если f (x), g(x) – возрастающие неотрицательные функции, то f (x) · g(x) – возрастающая. Аналогично с убывающими. 12 Если f (x) ⩽ 0 и убывающая, g(x) ⩾ 0 и возрастающая, то f (x) · g(x) — убывающая. Касание • Касание двух функций y = f (x) и y = g(x) в точке x 0 задается системой f (x 0 ) = g(x 0 ) f ′ ( x 0 ) = g ′ ( x 0 ) • Касание параболы y = ax 2 + bx + c с невертикальной прямой y k = kx + p можно находить, требуя единственного корня от уравнения y = y k , то есть D = 0 от ax 2 + bx + c = kx + p • Аналогично с гиперболой y = a bx+c + d с прямой y k = kx + p Работа с заменой • 2a(x + 1) 2 − |x + 1| + 1 = 0 Замена t = |x+1| . Так как |A| ⩾ 0 ∀A , то при t < 0 решений x нет; t = 0 дает один корень x = −1 ; каждый t > 0 дает два корня x = ±t − 1 • cos 2 x − (a + 2) cos x + 2(a − 1) = 0 при x ∈ 0; 4π 3 Замена t = cos x . Если x пробегает все зна- чения из отрезка 0; 4π 3 , то cos x пробегает все значения из отрезка [− 1; 1] , причем каждому t ∈ (−1; −0, 5] соответствует два угла x , а каждому t ∈ {−1} ∪ (−0, 5; 1] соответствует ровно один корень x • 4 √ 1−x 2 + a · 2 √ 1−x 2 + a 2 − 1 = 0 Замена t = 2 y , y = √ p , p = 1 − x 2 . Заметим, что 0 ⩽ p ⩽ 1 , причем p = 1 дает один корень x = 0 , каждый из 0 ⩽ p < 1 дает по два корня x . Следовательно, y = √ 1 = 1 дает один x , каждый из 0 ⩽ y < 1 дает по два x . Тогда t = 2 дает один корень x = 0 , каждый из 1 ⩽ t < 2 дает по два корня x Метод главного модуля У функции f (x) = m |x − a| + n|x − b| с m > n главным модулем будет модуль с большим коэффициентом m . Это значит, что переход через точку x = a влияет на смеху характера монотонности функции, например, при x < a функция возрастает, а при x > a функция убывает. То есть то, как себя ведет |x − b| , не влияет на характер монотонности функции. Примеры, где встречается • f (x) = 3 5 √ 6, 2x − 5, 2 + 4 log 5 ( 4x + 1) + 5a = 0 Так как функции y = 5 √ x , y = 6, 2x − 5, 2 , t = log 5 x , y = 4x + 1 возрастающие, то композиции этих функций — возрастающие функции, следовательно, y = f (x) — возрастающая. Значит, уравнение f (x) = 0 имеет не более одного корня. • 64x 6 + 4x 2 = ( 3x + a) 3 + 3x + a Рассмотрим возрастающую функцию f (t) = t 3 + t . Тогда уравнение имеет вид f (4x 2 ) = f (3x + a) . Из-за строгой монотонности y = f (x) следует, что полученное уравнение равносильно 4x 2 = 3x + a • x 3 + ax 2 + 13x − 6 = 0 Исследуем уравнение, разделив обе части на x 2 , так как x = 0 не является корнем. Получим a = −x − 13 x + 6 x 2 . Получили уравнение в виде a = f (x) . Далее исследуем функцию y = f (x) (с помощью фактов левее либо через производную), рисуем ее график. Если, например, уравнение должно иметь одно решение, то ищем такие горизонтальные прямые y = a , при которых с графиком y = f (x) имеется одна точка пересечения. • log a ( ax) = 2 − x 5 при a > 1 Функция f (x) = log a ( ax) при a > 1 возрастающая, функция g(x) = 2 − x 5 убывающая, следовательно, уравнение f (x) = g(x) имеет не более одного решения. Подбором находим корень x = 1 P.S. Да, обращаем внимание, что подбор корня в параметре — не редкость. Как видите, в этой задаче мы доказали, что корней не более одного и один нашли, значит, решение полно. • f (x) = 4 − |3x − |x + a|| − 9|x − 1| = 0 Главным модулем является |x − 1| . Выражение |3x − |x + a|| при всех возможных способах раскрытия модулей будет выглядеть как kx + b , где k ∈ {±2; ±4} Таким образом, при x < 1 получим f (x) = Ax + B , где A ∈ {9 ± 2; 9 ± 4} , то есть A > 0 , следовательно, f (x) ↑ ; при x > 1 получим f (x) = Ax + B , где A ∈ {−9 ± 2; −9 ± 4} , то есть A < 0 , следовательно, f (x) ↓ Метод оценки Если f (x) ⩾ c , g(x) ⩽ c при любом x , то равенство f (x) = g(x) возможно тогда и только тогда, когда f (x) = g(x) = c Функции, которые нужно знать Функция Область значений Область определения (значение y) (значение x) y = x 2 y ⩾ 0 x ∈ R y = x + 1 x y ⩾ 2, если x > 0 x ∈ R\{0} y ⩽ −2, если x < 0 y = |x| + |1 − x| y ⩾ 1, причем x ∈ R y = 1, если x ∈ [0; 1] y = |x − a| + |x + a| y ⩾ 2|a|, причем x ∈ R y = 2 |a|, если x ∈ [− |a|; |a|] Важные неравенства • v u u u u u u t a 2 1 + a 2 2 2 ⩾ a 1 + a 2 2 ⩾ √ a 1 a 2 ⩾ 2 1 a 1 + 1 a 2 a 1 , a 2 > 0 • |a| − |b| ⩽ |a ± b| ⩽ |a| + |b| |