Тезаурус. Теоретические основы обучения математике

• Название: Теоретические основы обучения математике
• Дата: 26.12.2021
• Размер: 65.4 Kb.
• Имя файла: Тезаурус.docx
• Тип: Закон; #318887

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Методика обучения математике - наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп. Раздел педагогики, исследующий закономерности обучения математике на определенном уровне ее развития в соответствии с целями обучения, поставленными обществом.

Цель методики обучения математике - исследование основных компонентов системы обучения математике в школе - целей, содержания, методов, форм и средств - и связей между ними.

Основные задачи методики обучения математике:

1. 
   определить конкретные цели изучения математики и содержание учебного предмета средней школы;
   
2. 
   разработать наиболее рациональные методы и организационные формы обучения, направленные на достижение поставленных целей;
   
3. 
   рассмотреть необходимые средства обучения и разработать рекомендации по их применению в практике работы учителя.
   

Составные части методики обучения математике:

Общая методика – конкретизация дидактики с учетом специфики математики как учебного предмета. Общая методика вырабатывает на психолого-педагогической основе общие методические идеи, положения, рекомендации.

Частная методика – применение общей методики к изучению конкретных тем школьного курса математики.

Актуальные проблемы методики обучения математике:

1. 
   стандартизация образования;
   
2. 
   дифференциация содержания образования;
   
3. 
   методическое обеспечение преподавания математики в связи с постоянным обновлением содержания школьного математического образования;
   
4. 
   нарушение межпредметных связей;
   
5. 
   контроль и оценка знаний учащихся при обучении математике;
   
6. 
   кадровое обеспечение учебного процесса;
   
7. 
   региональные особенности математического образования и др.
   

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Основные цели школьного математического образования:

1. 
   овладение всеми учащимися элементами мышления и деятельности, которые наиболее ярко проявляются в математической ветви человеческой культуры и которые необходимы каждому для полноценного развития в современном обществе;
   
2. 
   создание условий для зарождения интереса к математике и развития математических способностей одаренных школьников.
   

Цели обучения математике:

1. 
   Воспитательные;
   

2) Развивающие;

3) Общеобразовательные.

Общеобразовательные цели:

1. 
   овладение учащимися определенной системой математических знаний, умений и навыков (ЗУН);
   
2. 
   овладение математическими методами познания реальной действительности.
   

Воспитательные цели:

1. 
   воспитание устойчивого интереса к изучению математики;
   
2. 
   воспитание активности, самостоятельности, ответственности;
   
3. 
   воспитание нравственности, культуры общения;
   
4. 
   воспитание эстетической культуры, графической культуры школьников.
   

Развивающие цели:

1. 
   формирование мировоззрения учащихся;
   
2. 
   развитие логического мышления;
   
3. 
   развитие алгоритмического мышления;
   
4. 
   развитие пространственного воображения.
   

МАТЕМАТИКА КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ. СТРУКТУРА ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ.

Требования к учебному предмету:

1. 
   Должны быть достаточно полно представлены основы современной науки в доступной для учащихся форме
   
2. 
   Должна существовать определенная взаимосвязь между различными разделами науки, представленными в учебном предмете, обеспечивающая их систематическое изучение
   

Для современного этапа развития математики как учебного предмета характерны:

1. 
   Жесткий отбор основ содержания;
   
2. 
   Четкое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к математической подготовке учащихся на каждом этапе обучения;
   
3. 
   Усиление воспитывающей и развивающей роли математики, ее связи с жизнью;
   
4. 
   Систематическое формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям.
   

Математика как учебный предмет в школе представляет собой:

1. 
   Элементы арифметики;
   
2. 
   Элементы алгебры;
   
3. 
   Элементы начал математического анализа;
   
4. 
   Элементы евклидовой геометрии плоскости и пространства;
   
5. 
   Элементы аналитической геометрии;
   
6. 
   Элементы тригонометрии.
   

Содержание учебного предмета математики меняется со временем в связи:

1. 
   С расширением целей образования;
   
2. 
   Появлением новых требований к школьной подготовке
   
3. 
   Изменением стандартов образования;
   
4. 
   Непрерывным развитием самой науки
   

Основные требования к содержанию обучения математике:

1. 
   соответствие логике математики как науки;
   
2. 
   соответствие дидактическим принципам обучения;
   
3. 
   учет психологических возможностей и возрастных особенностей школьников разных ступеней обучения;
   
4. 
   адекватность потребности личности в образовании;
   
5. 
   формирование профессиональной направленности школьников.
   

Нормативные документы, регламентирующие содержание школьного математического образования:

1. 
   Государственный стандарт образования по математике;
   
2. 
   Базисный учебный план;
   
3. 
   Учебная программа по математике;
   

В настоящее время учебные программы по математике предусматривают:

1. 
   Начальный курс математики - 1-4 кл.
   
2. 
   Математика – 6-9 кл.
   
3. 
   Алгебра – 7-9 кл.
   
4. 
   Алгебра и начала анализа – 10-11 кл.
   
5. 
   Геометрия – 7-11 кл.
   

Ядро современной школьной математики (Основные линии школьного курса математики):

1. 
   Числовые системы;
   
2. 
   Величины;
   
3. 
   Уравнения и неравенства;
   
4. 
   Тождественные преобразования математических выражений;
   
5. 
   Координаты;
   
6. 
   Функции;
   
7. 
   Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования;
   
8. 
   Векторы;
   
9. 
   Начала математического анализа.;
   

Числовые системы:

Линия изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже в далеком прошлом. Но с течением времени происходило значительное снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В настоящее время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела «Комплексные числа».

Величины:

Изучение этой линии в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.

Уравнения и неравенства:

Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость этой темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. Раньше систематическое изучение уравнений начиналось лишь вместе с изучением алгебры. В настоящее время знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.

Тождественные преобразования математических выражений:

Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.

Координаты и функции:

Вошли в курс математики средней школы только в первой четверти ХХ века. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования:

Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми подходами. Появилась идея фузионизма, слитного изучения стереометрии и планиметрии.

Векторы:

Впервые в курс геометрии вошли только в середине 70-х годов прошлого столетия. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание.

Начала математического анализа:

Включение в программу элементов математического анализа вызвано их большой идейной и прикладной значимостью.
ОСНОВНЫЕ ДИДАКТИСЕКИЕ ПРИНЦИПЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Дидактические принципы обучения математике – это совокупность единых требований к организации процесса обучения математике, его содержанию, формам и методам.

Система дидактических принципов:

1. 
   принцип научности;
   
2. 
   принцип воспитания;
   
3. 
   принцип наглядности;
   
4. 
   принцип сознательности, активности и самостоятельности;
   
5. 
   принцип прочности знаний;
   
6. 
   принцип систематичности и последовательности;
   
7. 
   принцип доступности;
   
8. 
   принцип индивидуального подхода к учащимся.
   

Принцип научности обучения в математике заключается в обязательности соответствия содержания и методов преподавания уровню и требованиям математики как науки в ее современном состоянии.

Под научностью содержания образования понимают такую его качественную характеристику, которая удовлетворяет трем признакам:

1. 
   соответствие содержания образования уровню современной науки;
   
2. 
   создание у учащихся верных представлений об общих методах научного познания;
   
3. 
   показ важнейших закономерностей процесса познания.
   

Для реализации принципа научности учитель должен:

1. 
   следить за корректностью формулировок при определении математических понятий и построении математических суждений;
   
2. 
   приучать учащихся критически относиться к каждому суждению, не принимать за доказанное то, что не обосновано;
   
3. 
   требовать от учащихся четко различать определения и теоремы.
   

Принцип воспитания заключается в формировании у учащихся интереса к этому предмету, выработке у них стремления к новым знаниям, к их полному и прочному усвоению, формировании умения пользоваться полученными знаниями и расширять их за счет самостоятельного изучения.

Принцип наглядностивытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала. Он означает, что в обучении необходимо, следуя логике процесса усвоения знаний, на каждом этапе обучения найти его исходное начало в фактах и наблюдениях единичного или в аксиомах, научных понятиях и теориях, после чего определить закономерный переход от восприятия единичного, конкретного предмета к общему, абстрактному или, наоборот, от общего, абстрактного к единичному, конкретному.

Наглядность применяется как:

1. 
   средство познания нового;
   
2. 
   для иллюстрации мысли;
   
3. 
   для развития наблюдательности;
   
4. 
   для лучшего запоминания материала.
   

Практикой обучения математике выработаны специальные средства наглядности, способствующие реализации принципа наглядности.

Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил:

1. 
   ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;
   
2. 
   обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;
   
3. 
   показать предмет, по возможности, в развитии;
   
4. 
   предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;
   
5. 
   использовать средства наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.
   

Принцип сознательности, активности и самостоятельностизаключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмыслении, творческой переработке и применении.

Сознательностьпонимается в дидактике как овладение учащимися данными науки, учебным материалом, глубокое осмысление его, умение пользоваться знаниями на практике в новых условиях, превращение знаний в убеждение, в руководство к действию.

Познавательная активностьесть деятельное состояние учащегося, которое характеризуется стремлением к учению, умственным напряжением и проявлением волевых усилий в процессе овладения знаниями.

Познавательная самостоятельностьявляется высшей формой активности и сознательности учащихся в процессе учения. Поэтому осуществление в обучении сознательного и активного процесса учения формирует такое качество личности, как познавательная самостоятельность.

Реализация принципа сознательности, активности и самостоятельности в обучении предполагает выполнение следующих условий:

1. 
   соответствие познавательной деятельности учащихся закономерностям процесса учения;
   
2. 
   познавательная активность учащихся в процессе учения;
   
3. 
   осознание школьниками процесса учения;
   
4. 
   владение учащимися методами умственной работы в процессе познания нового.
   

Принцип прочного усвоения учащимися знаний, умений и навыков обусловливается как задачами школы, так и закономерностями самого обучения. Он заключается в том, что опираться на приобретенные знания, умения и навыки на последующих этапах обучения и пользоваться ими в жизни можно лишь тогда, когда они усвоены твердо, длительное время удерживаются в памяти. В процессе обучения учащиеся не только приобретают ЗУН, но и закрепляют и совершенствуют их.
Для реализации этого принципа учитель должен:

• 
  умело организовать повторение пройденного материала;
  
• 
  осуществлять своевременный контроль знаний и умений учащихся, предупреждение и устранение пробелов в знаниях учащихся;
  
• 
  обращать особое внимание на систематический характер предлагаемых учащимся задач и упражнений.
  

Реализацию данного принципа характеризуют следующие моменты:

• 
  если учащиеся излагают учебный материал ясно и кратко, подкрепляя теоретические упражнения примерами практически реализуемых моделей;
  
• 
  успешно выполняют различные виды самостоятельной работы;
  
• 
  умеют четко и быстро воспроизвести в памяти определения основных понятий, теорем, формул и т.п.;
  
• 
  умеют применять теорию к решению простейших задач.
  

Принцип систематичности и последовательностив обучении обусловливается и логикой самих наук, изучаемых в школе, и особенностями познавательной и практической деятельности учащихся, протекающей в соответствии с закономерностями их умственного и физического развития. Этот принцип лежит в основе построения учебных программ, определяет систему работы учителя и деятельность учащихся в процессе обучения.

Систематичность в обучении математике предполагает соблюдение определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов и постепенное овладение основными понятиями и положениями школьного курса математики.

Последовательность в обучении математике означает, что обучение идет от простого к сложному, от представлений к понятиям, от известного к неизвестному, от знания к умению, а от него – к навыку.

Учитель реализует этот принцип, если обучение математике представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых последовательно дополняет известные учащимся ЗУН разумной дозой новых ЗУН.

Успешная реализация этого принципа во многом зависит от того, какое значение придается учителем межпредметным связям в обучении, как скоординированы требования к учащимся между преподавателями различных учебных предметов, соблюдается ли преемственность в изучении отдельных тем и учебных предметов.

Принцип доступности в обучении вытекает из требований учета возрастных особенностей учащихся. Он требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащихся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу ЗУН.

Реализация принципа доступности предполагает выполнение следующих условий – дидактических правил:

1. 
   следовать в обучении от простого к сложному;
   
2. 
   от легкого к трудному;
   
3. 
   от известного к неизвестному.
   

Принцип дифференцированного (индивидуального) подхода к учащимся обусловливается особенностями индивидуального развития детей, типов высшей нервной деятельности, а также – стремлением наилучшим образом развивать творческие силы и способности учащихся.

Этот принцип предполагает оптимальное приспособление учебного материала и методов обучения к индивидуальным способностям каждого школьника.

Основным средством реализации принципа индивидуального подхода являются индивидуальные самостоятельные работы, предназначенные для учащихся.


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ. ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ.

Понятие – это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия – множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Если объем одного понятия содержится в объеме другого понятия, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму.

Определение понятия - перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение.

Классификация понятия - процесс выяснения объема понятия; разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды.

Основные методы введения математических понятий:

1. 
   Конкретно-индуктивный метод;
   
2. 
   Абстрактно-дедуктивный метод.
   

Методическая схема конкретно-индуктивного метода:

Этап восприятия и ощущения:

1. 
   Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность изучения этого понятия.
   

Этап перехода от восприятия к представлению:

2. 
   Выявление различных существенных и несущественных признаков данного понятия (учащиеся);
   
3. 
   Введение термина, обозначающего данное понятие (учитель);
   
4. 
   Рассмотрение особых случаев, если они имеются;
   
5. 
   Мотивировка термина, обозначающего данное понятие (учитель).
   

Этап перехода от представления к понятию:

1. 
   Отбор существенных свойств данного понятия и формулировка определения этого понятия;
   
2. 
   Первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся);
   
3. 
   Четкое определение (учитель);
   
4. 
   Повторение определения (учащиеся).
   

Этап образования понятия:

1. 
   Иллюстрация понятия конкретными примерами;
   
2. 
   Модели понятия (динамичные и статические);
   
3. 
   Контрпримеры;
   
4. 
   Символическое обозначение.
   

Этап усвоения понятия:

Другие возможные определения данного понятия.

Методическая схема абстрактно-дедуктивного метода:

1. 
   Дать определение нового понятия, мотивируя обозначающий его термин;
   
2. 
   Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия, проведя своеобразную классификацию этого понятия. Привести некоторые контрпримеры этого понятия;
   
3. 
   Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами, всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению;
   
4. 
   Привести конкретные примеры приложения этого понятия.
   

Методическая схема абстрактно-дедуктивного метода:

1. 
   Дать определение нового понятия, мотивируя обозначающий его термин;
   
2. 
   Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия, проведя своеобразную классификацию этого понятия. Привести некоторые контрпримеры этого понятия;
   
3. 
   Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами, всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению;
   
4. 
   Привести конкретные примеры приложения этого понятия.
   

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СУЖДЕНИЙ. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ.

Суждения – это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Важнейшими видами сложных суждений являются:

1. 
   Теоремы;
   
2. 
   Аксиомы.
   

Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства.

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства.

Два вида формулирования теоремы:

1. 
   Импликативная;
   
2. 
   Категорическая.
   

В теореме, которая сформулирована в импликативной форме, должно быть ясно указано:

1. 
   условие теоремы (при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект);
   
2. 
   заключение теоремы (что об этом объекте утверждается).
   

Структура теоремы:

1. 
   Условие теоремы;
   
2. 
   Заключение теоремы.
   

Основные типы теорем:

• 
  Прямая;
  

• 
  Обратная;
  

• 
  Противоположная;
  

• 
  Конрапозитивная.
  

Доказательство– рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения.

Элементы доказательства:

• 
  тезис;
  

• 
  аргументы доказательства;
  

• 
  демонстрация.
  

Тезис – математическое предложение, в котором выражается главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.

Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Делится на две группы:

1. 
   Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса;
   
2. 
   Методы доказательства, выделенные по используемому математическому аппарату.
   

Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса:

1. 
   Прямые;
   
2. 
   Косвенные.
   

Прямые приемы доказательства:

1. 
   синтетический - преобразование условия суждения;
   
2. 
   восходящий анализ – отыскание достаточных оснований справедливости заключения;
   
3. 
   нисходящий анализ – отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений;
   
4. 
   последовательное преобразование то условия, то заключения суждения.
   

Косвенные приемы поиска доказательств:

1. 
   метод от противного – метод, при котором истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения, противоречащего ему суждения;
   
2. 
   разделительный метод (метод разделения условий или метод исключения) – метод, при котором тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения опровергаются, кроме одного.
   

Методы доказательства, выделенные по используемому математическому аппарату:

1. 
   Метод геометрических преобразований – метод, используемый как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии;
   
2. 
   Алгебраические методы – методы доказательства теорем с помощью уравнений, неравенств, тождественных преобразований;
   
3. 
   Векторный метод – метод, использующий аппарат векторной алгебры;
   
4. 
   Координатный метод – метод, позволяющий устанавливать переход от геометрических отношений к аналитическим.
   

Этапы изучения теоремы:

1. 
   мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания;
   
2. 
   работа над структурой теоремы;
   
3. 
   мотивация необходимости доказательства теоремы;
   
4. 
   построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;
   
5. 
   поиск доказательства, доказательство и его запись;
   
6. 
   закрепление теоремы;
   
7. 
   применение теоремы.
   

Для мотивировки необходимости изучения теорем можно предложить такие приемы:

1. 
   Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык;
   
2. 
   Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач;
   
3. 
   Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем;
   
4. 
   Показ, как решалась данная проблема в истории науки.
   

Все перечисленные приемы служат одновременно и раскрытию содержания теоремы. Из других приемов раскрытия содержания теорем можно назвать:

1. 
   наблюдение наглядного материала, в том числе подвижных моделей или ряда чертежей;
   
2. 
   выполнение построений;
   
3. 
   решение задач на вычисление и доказательство;
   
4. 
   выполнение лабораторных и практических работ;
   
5. 
   решение задач на отыскание некоторых зависимостей.
   

Чтобы теорема была усвоена, необходима работа с ней и после ее доказательства. Этому способствуют задания следующих видов:

1. 
   Сформулируйте теорему.
   
2. 
   Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема?
   
3. 
   Сформулируйте теорему со словами «Если…то…».
   
4. 
   Сформулируйте предложение, обратное теореме.
   
5. 
   Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов.
   
6. 
   Составьте план доказательства.
   
7. 
   Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве.
   
8. 
   Докажите теорему другим способом.
   
9. 
   Решите задачи на применение теоремы.
   

Этапы работы над теоремой:

1. 
   Мотивация изучения теоремы.
   
2. 
   «Открытие» самими учащимися содержания теоремы, формулирование теоремы.
   
3. 
   Мотивировка необходимости доказательства теоремы.
   
4. 
   Работа над структурой теоремы.
   
5. 
   Поиск доказательства, доказательство.
   
6. 
   Усвоение формулировки теоремы.
   
7. 
   Усвоение доказательства теоремы.
   
8. 
   Решение задач на применение теоремы.
   

Логико-математический анализ:

1. 
   В какой форме сформулирована теорема;
   
2. 
   Сформулируйте теорему в импликативной форме;
   
3. 
   Выделите разъяснительную часть;
   
4. 
   Выделите условие и заключение теоремы;
   
5. 
   Установите в зависимости от числа условий и заключений, является ли данное утверждение простым или сложным.
   

НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИИ.

Основные методы математического исследования:

1. 
   Эмпирические методы: наблюдение и опыт;
   
2. 
   Логические методы;
   
3. 
   Сравнение;
   
4. 
   Анализ и синтез;
   
5. 
   Обобщение и специализация;
   
6. 
   Абстрагирование и конкретизация;
   

Наблюдение - метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Опыт - метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия.

Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Принципы сравнения:

1. 
   Сравнение должно иметь смысл (сравнивать можно только те объекты, которые имеют определенную связь друг с другом)
   
2. 
   Сравнение должно проходить планомерно (требуется четкое выделение тех свойств, по которым проводится сравнение)
   
3. 
   Сравнение должно быть полным.
   

Анализ как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез – как путь (метод мышления) от частей к целому.

Анализ как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от при­чины переходят к следствию, порожденному этой причиной.

Анализ (аналитический) как метод иссле­дования, основу которого составляет количественное изучение свойств объекта, опирающееся на понятие числа и меры, а синтез (синтетический) — как метод исследования, основу которого со­ставляет изучение качественных свойств объекта.

Анализа типа «фильтр» - при таком анализе человек, решающий задачу, действует без всякой видимой системы; он просто наугад хаотически ищет способы решения данной задачи, пробует приме­нить один способ за другим и отсеивает неоправдавшиеся себя пробы.

Анализ через синтез — это познание новых сторон, качеств и свойств изучаемых объектов путем включения этих объек­тов в систему связей и отношений, в которых эти новые свойства могут быть обнаружены.

Аналитический метод – это метод, сущность которого состоит в том, что исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сво­дится к утверждению, известному как истинное.

Синтетический метод – это метод, сущность которого состоит в том, что отыскивают­ся такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логи­чески обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение (требуемое утверждение).

Обобщение – процесс при котором мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Специализация – процесс при котором мысленно выделяется некоторое свойство из множества свойств изучаемого объекта.

Абстрагирование – это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств.

Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими сторонами. Конкретизация может выступать и как наглядная иллюстрация, и как подтверждение какого-либо абстрактного положения, и как приложение некоторого свойства в конкретных условиях.
ИНДУКЦИЯ И ДЕДУКЦИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Индукция имеет три основных значения:

1. 
   это один из видов умозаключений, при котором из двух или нескольких единичных, или частных суждений получают новое общее суждение (вывод);
   
2. 
   это метод исследования, при котором, желая изучить некоторое множество объектов (некоторое явление), изучают отдельные объекты (обстоятельства), устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов (или те обстоятельства, от которых зависит данное явление);
   
3. 
   это форма изложения материала в литературном источнике, беседе, когда от менее общих положений приходят к общим положениям (заключениям, выводам).
   

Индукция как особая форма умозаключения:

Единичные суждения:

1. 
   окружность может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
   
2. 
   эллипс может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
   
3. 
   парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
   
4. 
   гипербола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
   

Частные суждения:

Окружность, эллипс, парабола и гипербола представляют собой все виды конического сечения.

Новое общее суждение:

Все конические сечения по контуру могут пересекаться с прямой самое большее в двух точках (истинное суждение)

Основные виды индуктивных умозаключений:

1. 
   Неполная индукция - умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).
   
2. 
   Полная индукция - умозаключение (вывод), основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.
   

Метод исследовательской (экспериментальной) индукции — это метод, который заключается в установлении причинных связей между объектами или явлениями с помощью наблюдений и эксперимента и имеет смысл лишь тогда, когда эти связи и отношения существуют объективно. При этом проводимые по индукции умозаключения от известного к неизвестному можно считать достоверными лишь с некоторой степенью вероятности.

Виды исследовательской индукции:

1. 
   Метод сходства (совпадения)
   
2. 
   Метод различия
   
3. 
   Метод остатков
   
4. 
   Метод сопутствующих изменений
   

Дедукция (от латинского – выведение):

1. 
   форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение.
   
2. 
   метод исследования, при котором для получения нового знания о некотором объекте находят ближайший к данному объекту класс объектов и применяют к этому объекту существенные свойства этого класса объектов.
   
3. 
   форма изложения материала в учебнике и метод обучения, при котором от общих правил и положений приходят к менее общим или частным правилам и положениям.
   

Виды дедуктивных умозаключений:

1. 
   Умозаключение от более общего положения к менее общему (или единичному) положению.
   
2. 
   Умозаключение от общего положения к общему положению.
   
3. 
   Умозаключение от единичного к частному.
   

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Метод обучения – это упорядоченный комплекс дидактических приемов и средств, с помощью которых реализуются цели обучения и воспитания.

Методы обучения – это взаимосвязанные способы деятельности учителя и учащегося, направленные на овладение учащимися знаниями, умениями, навыками, на воспитание и развитие их в процессе обучения.

Педагогическая классификация методов обучения:

1. 
   Методы преподавания (средства, приемы, способы информации, управления и контроля познавательной деятельностью школьников)
   
2. 
   Методы изучения (учения) (средства, приемы, способы усвоения учебного материала, репродуктивные и продуктивные приемы учения и самоконтроля)
   

Методы изучения математики - способы осуществления активной, самостоятельной познавательной деятельности математического характера самих школьников.

Научные методы изучения математики:

1. 
   Наблюдение и опыт;
   
2. 
   Сравнение;
   
3. 
   Анализ и синтез;
   
4. 
   Обобщение и специализация;
   
5. 
   Абстрагирование и конкретизация.
   

Учебные методы изучения математики:

1. 
   эвристический метод;
   
2. 
   обучение на моделях;
   
3. 
   метод программированного обучения и т.д.
   

К методам преподавания относятся:

1. 
   обучающая беседа,
   
2. 
   рассказ, объяснение и лекция учителя,
   
3. 
   управление самостоятельной работой тренировочного характера,
   
4. 
   руководство работой учащихся с учебной литературой и т.д.
   

Классификации методов обучения по различным основаниям:

По характеру познавательной деятельности:

1. 
   объяснительно-иллюстративный (рассказ, лекция, беседа, демонстрация и т.д.);
   
2. 
   репродуктивные (решение задач, повторение опытов и т.д.);
   
3. 
   проблемные (проблемные задачи, познавательные задачи и т.д.);
   
4. 
   частично-поисковые - эвристические;
   
5. 
   исследовательские.
   

По компонентам деятельности:

1. 
   организационно-действенные (организация и осуществление учебно-познавательной деятельности);
   
2. 
   контрольно-оценочные (метод контроля и самоконтроля эффективности учебно-познавательной деятельности;
   
3. 
   стимулирующие (стимулирование и мотивации учебно-воспитательной деятельности).
   

По дидактическим целям:

1. 
   методы изучения новых знаний;
   
2. 
   методы закрепления знаний;
   
3. 
   методы контроля.
   

По способам изложения учебного материала:

1) монологические – информационно-сообщающие (рассказ, лекция, объяснение);

2) диалогические (беседа, проблемное изложение, диспут)

По источникам передачи знаний:

1) словесные (рассказ, лекция, беседа, инструктаж, дискуссия);

2) наглядные (демонстрация, иллюстрация, схема, показ материала, график);

3) практические (упражнения, лабораторные работы, практикум)

Методы обучения математике:

1. 
   Методы, направленные на первичное овладение знаниями
   
2. 
   Методы, направленные на совершенствование знаний и формирование умений и навыков:
   

1. 
   Методы, направленные на первичное овладение знаниями:
   

1. 
   Информационно-развивающие:
   

1. 
   Передача информации в готовом виде (лекция, объяснение, демонстрация учебных кинофильмов, слушание магнит записей и др.);
   
2. 
   Самостоятельное добывание знаний (самостоятельная работа с книгой, с обучающей программой, с информационными базами данных – использование информационных технологий).
   

Проблемно-поисковые:

1. 
   проблемное изложение учебного материала (эвристическая беседа),
   

3. 
   учебная дискуссия,
   
4. 
   лабораторная поисковая работа,
   
5. 
   организация коллективной мыслительной деятельности в работе малыми группами,
   
6. 
   организационно-деятельностная игра,
   
7. 
   исследовательская работа.
   

2. Методы, направленные на совершенствование знаний и формирование умений и навыков:

Репродуктивные:

1. 
   пересказ учебного материала,
   
2. 
   выполнение упражнения по образцу,
   
3. 
   лабораторная работа по инструкции,
   
4. 
   упражнения на тренажерах.
   

Творчески-репродуктивные:

1. 
   вариативные упражнения,
   
2. 
   анализ производственных ситуаций,
   
3. 
   деловые игры и другие виды имитации профессиональной деятельности.
   

СОВРЕМЕННЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Технология — это совокупность приемов, применяемых в каком-либо деле, мастерстве, искусстве.

Педагогическая технология — это системный метод создания, применения и определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействие, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования (ЮНЕСКО)‏

Образовательная технология — это процессная система совместной деятельности учащихся и учителя по проектированию (планированию), организации, ориентированию и корректированию образовательного процесса с целью достижения конкретного результата при обеспечении комфортных условий участникам.

Педагогическая технология — совокупность психолого-педагогических установок, определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приемов обучения, воспитательных средств; она есть организационно-методический инструментарий педагогического процесса (Б.Т.Лихачев).

Педагогическая технология — это содержательная техника реализации учебного процесса (В.П.Беспалько).

Педагогическая технология — это описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И.П.Волков).

Технология обучения — это составная процессуальная часть дидактической системы (М.Чошанов).

Педагогическая технология — это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В.М.Монахов).

Педагогическая технология означает системную совокупность и порядок функционирования всех личностных, инструментальных и методологических средств, используемых для достижения педагогических целей (М.В.Кларин).

Педагогическая технология — это алгоритм (последовательность) действий ученика и учителя, обеспечивающий достижение намеченного образовательного результата.

При множестве определений понятий "педагогическая технология" объединяют их четырьмя принципиально важными положениями:

1. 
   планирование обучения и воспитания на основе точно определённого желаемого эталона;
   
2. 
   программирование учебно-воспитательного процесса в виде строгой последовательности действий учителя и ученика;
   
3. 
   сопоставление результатов обучения и воспитания с первоначально намеченным эталоном как в ходе учебно-воспитательного процесса (мониторинг), так и при подведении итогов;
   
4. 
   коррекция результатов на любом этапе учебно-воспитательного процесса.
   

Образовательная технология — это комплекс, состоящий из:

1. 
   некоторого представления планируемых результатов обучения;
   
2. 
   средств диагностики текущего состояния обучаемых;
   
3. 
   набора моделей обучения;
   
4. 
   критериев выбора оптимальной модели для данных конкретных условий.
   

Образовательными технологиями (термин, становящийся, общепринятым для педагогических технологий 90-х годов) принято считать технологии, ставящие более «широкие» цели (исследовательские, творческие способности ученика, развитие критического мышления) не позволяющие строго диагностировать результаты обучения. Это технологии, направленные на развитие самостоятельности, субъектности ученика.

Часто понятие «образовательные технологии» 90-х заменяют понятием личностно-ориентированные образовательные технологии.

Три парадигмы в классификации технологий:

1. 
   Традиционный частно-методический подход (эмпирическая парадигма)
   
2. 
   .Педагогические технологии (алгоритмическая парадигма), которые появились в 50-х годах прошлого столетия как противовес нечеткости и неопределенности традиционного методического подхода
   
3. 
   Образовательные технологии (стохастическая парадигма) — термин, становящийся, общепринятым для педагогических технологий 90-х годов
   

Признаки педагогической технологии:

1. 
   диагностичность описания цели (иными словами, цели урока должны быть описаны так, чтобы они определялись по четко выделенным критериям);
   
2. 
   воспроизводимость педагогического процесса (в т.ч. предписание этапов, соответствующих им целей обучения и характера деятельности, обучающего и обучаемого);
   
3. 
   воспроизводимость педагогических результатов.
   

Классификация педагогических технологий:

Существует несколько видов классификаций педагогических технологий. По своим целям, содержанию, применяемым методам и средствам существующие педагогические технологии имеют сходство, но отличаются по различным параметрам.

Параметры классификации технологий:

По уровню применения технологии бывают:

1. 
   общепедагогические (характеризуются целостностью педагогического процесса в регионе, учебном заведении, на определенной ступени обучения).
   
2. 
   частно-предметные (совокупность средств и методов для реализации определенного содержания обучения и воспитания в рамках предмета, например, иностранного языка).
   
3. 
   локальные или модульные (используются в отдельных частях учебно-воспитательного процесса
   

По организационным формам технологии бывают:

1. 
   классно-урочные;
   
2. 
   альтернативные;
   
3. 
   академические;
   
4. 
   клубные;
   
5. 
   индивидуальные;
   
6. 
   групповые;
   
7. 
   коллективных способов обучения;
   
8. 
   дифференцированного обучения.
   

По типу управления познавательной деятельностью:

1. 
   традиционные (классическое лекционное, с использованием ТСО, обучение по книге);
   
2. 
   дифференцированное (система малых групп, система «репетитор»);
   
3. 
   программированное (компьютерное, программное, система «консультант»).
   

По подходу к ребенку технологии подразделяются на:

1. 
   авторитарные (педагог является единоличным субъектом учебно-воспитательного процесса, а ученик только объект. Эти технологии отличаются жесткой организацией школьной жизни, подавлением инициативы и самостоятельности учащихся, применением требований и принуждения);
   
2. 
   сотрудничества (это демократизм. равенство, партнерство в субъект-субъектных отношениях педагога и ребенка. Учитель и учение, находясь в соавторстве вырабатывают общие цели своей деятельности, содержание, дают оценки);    
   
3. 
   свободного воспитания (такие технологии предоставляют ребенку свободу выбора и самостоятельности в разных сферах его жизнедеятельности);
   
4. 
   личностно-ориентированные (они ставят в центр образовательной системы личность ребенка, обеспечивают комфортные, бесконфликтные и безопасные условия для его развития);
   
5. 
   гуманно-личностные (отличаются психотерапевтической педагогикой, направленной на поддержку личности. на помощь ей.);
   
6. 
   массовая (традиционная) технология (школьная технология, рассчитанная на усредненного ученика);
   
7. 
   технология продвинутого образования (углубленное изучение предметов и типична для гимназического, лицейского, специального образования);
   
8. 
   технология компенсирующего обучения (используется для педагогической коррекции, поддержки. выравнивания, компенсации).
   

По ориентации на личностные структуры педагогические технологии подразделяются на:

1. 
   информационные (формирование школьных знаний, умений и навыков);
   
2. 
   операционные (обеспечивают формирование умственных действий);
   
3. 
   технологии саморазвития (направлены на формирование способов умственных действий);
   
4. 
   эвристические (развивают творческие способности учащихся);
   
5. 
   прикладные (обеспечивают формирование действенно-практической сферы личности).
   

По характеру содержания и структуры технологии бывают:

1. 
   обучающие;
   
2. 
   воспитательные;
   
3. 
   светские;
   
4. 
   религиозные;
   
5. 
   общеобразовательные;
   
6. 
   профессиональные;
   
7. 
   гуманистические;
   
8. 
   технократические;
   
9. 
   моно- и поли- технологии;
   
10. 
    проникающие.
    

Предметно-ориентированные технологии обучения:

1. 
   Технология постановки цели
   
2. 
   Технология полного усвоения (по материалам М. С. Кларина)
   
3. 
   Технология педагогического процесса по С. Д. Шевченко
   
4. 
   Технология концентрированного обучения
   

Личностно-ориентированные технологии обучения:

1. 
   Технология обучения как учебного исследования
   
2. 
   Технология педагогических мастерских
   
3. 
   Технология коллективной мысленной деятельности (КМД)
   
4. 
   Технология эвристического обучения