7. Кратные интегралы. Теоретические вопросы

• Название: Теоретические вопросы
• Дата: 27.05.2021
• Размер: 1.36 Mb.
• Имя файла: 7. Кратные интегралы.doc
• Тип: Задача; #210462
• страница: 1 из 3

VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1. 
   Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.
   
2. 
   Основные свойства двойных и тройных интегралов.
   
3. 
   Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.
   
4. 
   Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).
   
5. 
   Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).
   
6. 
   Замена переменных в двойном интеграле.
   
7. 
   Якобиан, его геометрический смысл.
   
8. 
   Двойной интеграл в полярных координатах.
   
9. 
   Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
   
10. 
    Тройной интеграл в сферических координатах.
    

Теоретические упражнения

1. 
   Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что
   

,

если и - натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно.

2. 
   С помощью теоремы о среднем найти
   

,

где - непрерывная функция.

3. 
   Оценить интеграл
   

,

т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4. 
   Вычислить двойной интеграл
   

,

если область - прямоугольник { }, а .

5. 
   Доказать равенство
   

б

если область - прямоугольник { }.

6. 
   Доказать формулу Дирихле
   

, .

7. 
   Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство
   

.

8. 
   Какой из интегралов больше
   

или ,

если ?

Расчетные задания

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

1.11. . 1.12. .

1.13. . 1.14. .

1.15. . 1.16. .

1.17. . 1.18. .

1.19. . 1.20. .

1.21. . 1.22. .

1.23. . 1.24. .

1.25. . 1.26. .

1.27. . 1.28. .

1.29. . 1.30. .

1.31. .

Задача 2. Вычислить.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

2.31.

Задача 3. Вычислить.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

3.31.

Задача 4. Вычислить.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25. 4.26.

4.27. 4.28.

4.29. 4.30.

4.31.