Главная страница

Теоретический материал Что такое система счисления


Скачать 202.83 Kb.
НазваниеТеоретический материал Что такое система счисления
Дата17.09.2022
Размер202.83 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файла2_.docx
ТипДокументы
#681273
страница3 из 5
1   2   3   4   5

8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?


Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1   ...  a ,  a-1  a-2   ...   a-m)q   сводится к вычислению значения многочлена 
 


x10 = an  q+  an-1  qn-1   +   ...   +  a0   q0   +   a-1   q -1   +   a-2   q-2   +     ...     +   a-m   q-m 


средствами десятичной арифметики. 


Примеpы:



9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:



На этом рисунке использованы следующие обозначения:

Например:   означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел
                                                                                                         Таблица 4.1.



10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?


Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е


Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
 

Сложение в двоичной системе



Сложение в восьмеричной системе



                 Сложение в шестнадцатиричной системе


При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
 
  Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.


      

Шестнадцатеричная: F16+616



Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 
258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21, 
1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21. 


  Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.





Шестнадцатеричная: F16+716+316



Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916
Проверка:
110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25,
318 = 3 . 81 + 1 . 80 = 24 + 1 = 25, 
1916 = 1 . 161 + 9 . 160 = 16+9 = 25. 


  Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.








 
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
311,28 = 3 . 82 + 181 + 1 . 80 + 2 . 8-1 = 201,25
C9,416 = 12 . 161 + 9 . 160 + 4 . 16-1 = 201,25

В ы ч и т а н и е


Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
      
      
 
  Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
      
      
 
  Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.








 
Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;
215,48 = 2 . 82 + 1 . 81 + 5 . 80 + 4 . 8-1 = 141,5;
8D,816 = 8 . 161 + D . 160 + 8 . 16-1 = 141,5.

У м н о ж е н и е


Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе



Умножение в восьмеричной системе



Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
 
  Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.




Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.
 
  Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.




Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

Д е л е н и е


Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
 
  Пример 9. Разделим число 30 на число 6.




Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
 
  Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.





Восьмеричная: 133518 :1638


Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6 . 81 + 3 . 80 = 51.
 
  Пример 11. Разделим число 35 на число 14.





Восьмеричная: 438 : 168


Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.
1   2   3   4   5


написать администратору сайта