Теоретический материал Что такое система счисления

• Название: Теоретический материал Что такое система счисления
• Дата: 17.09.2022
• Размер: 202.83 Kb.
• Имя файла: 2_.docx
• Тип: Документы; #681273
• страница: 3 из 5

8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1   ...  a0  ,  a-1  a-2   ...   a-m)q   сводится к вычислению значения многочлена    x10 = an  qn +  an-1  qn-1   +   ...   +  a0   q0   +   a-1   q -1   +   a-2   q-2   +     ...     +   a-m   q-m  средствами десятичной арифметики.

Примеpы:



9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:



На этом рисунке использованы следующие обозначения:

• 
  в кружках записаны основания систем счисления;
  
• 
  стрелки указывают направление перевода;
  
• 
  номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.
  

Например:   означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел
                                                                                                         Таблица 4.1.

10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
 

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

                 Сложение в шестнадцатиричной системе


При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
 
  Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.


      

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.  Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,  258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21,  1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.

  Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.  Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3 . 81 + 1 . 80 = 24 + 1 = 25,  1916 = 1 . 161 + 9 . 160 = 16+9 = 25.

  Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.








 
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25
311,2₈ = 3 ^. 8² + 18¹ + 1 ^. 8⁰ + 2 ^. 8^-1 = 201,25
C9,4₁₆ = 12 ^. 16¹ + 9 ^. 16⁰ + 4 ^. 16^-1 = 201,25

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆
      
      
 
  Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.
      
      
 
  Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.








 
Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;
215,4₈ = 2 ^. 8² + 1 ^. 8¹ + 5 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8 ^. 16¹ + D ^. 16⁰ + 8 ^. 16^-1 = 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
 
  Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.




Ответ: 5 ^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;
36₈ = 38¹ + 68⁰ = 30.
 
  Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.




Ответ: 115 ^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;
13351₈ = 1 ^. 8⁴ + 3 ^. 8³ + 3 ^. 8² + 5 ^. 8¹ + 1 ^. 8⁰ = 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
 
  Пример 9. Разделим число 30 на число 6.




Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.
 
  Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.





Восьмеричная: 13351₈ :163₈


Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6 ^. 8¹ + 3 ^. 8⁰ = 51.
 
  Пример 11. Разделим число 35 на число 14.





Восьмеричная: 43₈ : 16₈


Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;
2,4₈ = 2 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 2,5.